請以各種不同的解題方法求點到直線距離。
題目：求點\(P(8,7)\)到直線\(L\)：\(4x-3y+19=0\)的距離。
說明1：請於每種方法概述該法的主要解題結構，再列出解題過程。
說明2：每種方法得3分，本題上限12分。
[提示]
這張大概應該80分才能進複試吧！
計算一 小弟提供自己想到了4個方法
(1)代點到直線距離公式
(2)設直線參數式，配方法求最小值
(3)三角函數
(4)柯西

110.5.3補充
請根據108課綱的數學課程安排，分別使用10年級、11年級、12年級和大學微積分介紹的數學方法解此題目：
「\(x\)、\(y\)為實數，已知\(3x+4y=5\)，求\((x-1)^2+(y+2)^2\)的最小值與此時的\((x,y)\)值。」
(請標註該方法為哪一年級，每個方法2分，共8分)
(110彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3514&page=1#pid22759)

113.1.27補充
點到直線的13種證明方法

113.5.4補充
請利用108課綱高一學生可以理解的方法證明：已知點\(P(x_0,y_0)\)，直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)，則\(P\)到\(L\)的距離為\(\displaystyle \frac{|\;ax_0+by_0+c|\;}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。
(113全國高中職聯招，https://math.pro/db/thread-3859-1-1.html)

113.5.7補充
在數學「直線與圓」單元中提到，坐標平面上一點\(P(m,n)\)到直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)的距離\(\displaystyle d(P,L)=\left|\frac{am+bn+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|\)。請回答下列問題：
(1)請以高職一年級學生的先備知識為基礎證明上式。
(2)現有一道問題「求平面上一點\(P(1,2)\)到直線\(L\)：\(x+y=-3\)的距離。」除了使用「點到直線的距離」公式之外，請你另寫出2種給高職二年級學生的解答。
(113南港高工，https://math.pro/db/thread-3863-1-1.html)

建立坐標系 B(-4,0),D(-2,0),C(0,0),E(-3,0)射線CA:x-y=0，y>＝0
作過B,D的圓其半徑R,圓心Q(-3,k),k>0 使圓交射線CA於A,則由正弦定理知 2/sinBAD=2R,欲使角BAD最大則R要最小=>圓與射線CA:x-y=0 相切
=> d(Q,射線CA:x-y=0)^2 =R^2=>(k+3)^2/2=k^2+1
=>k^2+6k+9=2k^2+2 => (k-7)(k+1)=0 =>k=7
tanBAD=tanBQE=1/k=1/7

A-7 另解
作DE垂直直線AC於E，作BF垂直直線AC於F
CD=2，DE=CE=√2，BC=4，BF=CF=2√2
令AC=x
\(\begin{align}
  & \tan BAD=\tan \left( BAF-DAE \right) \\
& =\frac{\frac{2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}}{1+\frac{2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}} \\
& =\frac{\sqrt{2}x}{{{x}^{2}}+3\sqrt{2}x+8}\le \frac{1}{7} \\
&  \\
& \frac{{{x}^{2}}+3\sqrt{2}x+8}{\sqrt{2}x}=\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{8}{\sqrt{2}x}+3\ge 2\sqrt{4}+3=7 \\
\end{align}\)

填充 A - 2 另解

取捨原理: 4⁴ - 3*2*4² + 2² = 164


填充 A - 7 另解

設 A 在 BC 上的垂足為 A'，令 AA' = A'C = x

tan∠BAD = tan(∠BAA' - ∠DAA') = x / (x²+3x+4) [ x>0 ] ⇒ 最大值 = 1/7


計算 1

除了 eyeready 老師提出的方法，另可用 1. 先求垂足  2. 向量投影長  3. 由面積求高

A-5

想請問計算第三題，這題好像在哪看過，但就是想不起來

98彰化女中，103台中二中，103南大附中都考過.....
參考https://www.physixfan.com/archives/445

x^2<=1-y^2 , z^2<=1-y^2   給定y 則x,z圍出4(1-y^2)的面積,y由-1積分到1得體積=4(y-y^3/3)[-1..1]=4[(1-1/3)-(-1-(-1)/3)]=16/3
若再加上x^2+z^2<=1的條件
則體積變成(根號2)^3+6*4(y-y^3/3)[1/根號2..1]=16-8根號2

(x^4+8x^3-2x^2+kx-5)'＝4x^3+24x^2-4x+k＝0
它的三根即為-6,-1,1＝> k＝-24

L必過反曲點（0,-5）設L:y＝mx-5代入f得x^2＝2-m
B C^2＝x^2*(1+m^2)得20＝(2-m)(1+m^2)得m＝-2
L:y＝-2x-5