請參閱

11. 凸四邊形 ABCD 對角線相交於 M 點 (彼此不垂直)，P，Q 分別為 △AMD，△BMC 的重心，R，S 分別為 △CMD，△AMB 的垂心。試證明 PQ ⊥ RS。

另證: 利用向量內積證明垂直 -- 以 M 點為媒介。

借用 38#  thepiano 老師的圖 (先致謝)，以下所述皆指 "向量"。

PQ = MQ - MP = (1/3)*(MB + MC - MA - MD) = (1/3)*(AB + DC)

RS = MS - MR

以下欲證 PQ．RS = 0

⇐ (AB + DC)．(MS - MR) = 0

⇐ DC．MS = AB．MR

∵ DC 與 MS 的夾角 = AB 與 MR 的夾角，且 |DC|*|MS| = |DC|*|AB|*|cot∠AMB| = |AB|*|MR|

∴ 待證結果成立

12. 四面體 OABC，其中 OA = 3，OB = 4，OC = 5，∠AOB = 45˚，∠AOC = 45˚，∠BOC = 60˚，求四面體體積。


另解: 借用 40# eyeready 老師的圖 (先致謝)

無論欲用 "底面積-高" 或 "向量內外積公式" 求體積，只要求出 OA 與 △OBC 的夾角 θ (圖中的∠AOH) 就簡明了。

利用 cosθ * cos30˚ = cos45˚  (註)

⇒ cosθ = √2 /√3

利用 底面積-高 或 向量公式，所求 = (OA *OB *OC *sin60˚ *sinθ) /6 = 5


註: 當 (A,O,H 所在平面) ⊥ (C,O,H 所在平面) 時成立，式中角度皆銳角時，易由三垂線定理體會。

想請教第七題 三條切線 a和b的關係式 感謝各位老師喔

版上老師好!

請問第四題 sigma 的足標是k=1到2017, 費波南希ㄧ般式求出是(1/根號5)((1+根號5)/2)^n+(1-根號5)/2)^n))

之後算到2017Xi^(2017-費波南希ㄧ般式)  請問哪裡做錯了,或是該怎麼做呢?

抱歉,有一段打錯:
"上式三有個不等的實根" 應更正為 "上式有三個不等的實根"

第 4 題
指數有 2017 個
mod 4 後是 0、0、3、2、0、1，六個一循環，有 336 組 + 1 個
故所求 = 2 * 336 + 1 = 673

鋼琴老師您好!  謝謝答覆第四題

小弟資質愚鈍,把過程寫在pdf裡面,不知道哪裡誤解沒做對

麻煩指點迷津

倒數第二行應是
(2 - i) + 335(-1 + 1 + i + 1 + 1 - i) + (-1 + 1 + i + 1)

鋼琴老師,知道哪裡做錯了,感謝您的指點