第一題
不用算幾不等式的話也可以使用函數的凹凸特性來解決
step 1:
因為\(\displaystyle \log_2{x}\)是一凹函數，所以
\(\displaystyle \log_2{\frac{a+2b}{3}} \geq \frac{\log_2{a}+2\log_2{b}}{3}=\log_2{\sqrt[3]{ab^2}}\)
而等號僅成立在\(\displaystyle a=b\)時，所以在本題前提下等號不成立。
step 2:
接著比較\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{3 \cdot 3^2}}\)和\(\displaystyle 2^{\frac{3+2 \cdot 3}{3}-3}\)，前者的值大於1，因此前者大於後者。
比較\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{4 \cdot 4^2}}\)和\(\displaystyle 2^{\frac{4+2 \cdot 4}{3}-3}\)，兩者的值皆為2，相等。
step 3:
對於介於\(\displaystyle (3,4) \)的\(\displaystyle \frac{a+2b}{3}\)，存在唯一的實數\(\displaystyle \alpha \in (0,1)\)使得
\(\displaystyle \frac{a+2b}{3}=\alpha \cdot 3+(1-\alpha) \cdot 4\)
因此
\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} = \frac{\log_2{a}+2 \log_2{b}}{3} \geq \alpha \log_2{3} + (1- \alpha) \log_2{4}\)
(因為\(\displaystyle (a,b) \subset [3,4]\)且\(\displaystyle \log_2{x}\)為凹)
step 4:
因為\(\displaystyle 2^{x-3}\)是一凸函數，承上步做法，得到
\(\displaystyle \alpha \cdot 2^{\frac{3+2 \cdot 3}{3}-3} + (1-\alpha) \cdot 2^{\frac{4+2 \cdot 4}{3}-3} \geq \frac{2^{\frac{a+2 \cdot a}{3}-3}+2 \cdot 2^{\frac{b+2 \cdot b}{3}-3}}{3} \geq 2^{\frac{a+2b}{3}-3}\)
由第2、3步得知，\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} \geq 2^{\frac{a+2b}{3}-3}\)，
且等號僅成立在\(\displaystyle a=b=4\)，此題前提下等號不成立
故答案為\(\displaystyle q>p>r\)
