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106高雄女中(相同主題合併討論)

本主題由 weiye 於 2017-4-30 23:39 合併
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回復 29# james2009 的帖子

\( 在m=-1,-3時在(0,3)有最小值 \)

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2017-5-5 10:17

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回復 16# eyeready 的帖子

請問 第10題 60度那題,謝謝。

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第一題

不用算幾不等式的話也可以使用函數的凹凸特性來解決

step 1:
因為\(\displaystyle \log_2{x}\)是一凹函數,所以

\(\displaystyle \log_2{\frac{a+2b}{3}} \geq \frac{\log_2{a}+2\log_2{b}}{3}=\log_2{\sqrt[3]{ab^2}}\)

而等號僅成立在\(\displaystyle a=b\)時,所以在本題前提下等號不成立。

step 2:
接著比較\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{3 \cdot 3^2}}\)和\(\displaystyle 2^{\frac{3+2 \cdot 3}{3}-3}\),前者的值大於1,因此前者大於後者。

比較\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{4 \cdot 4^2}}\)和\(\displaystyle 2^{\frac{4+2 \cdot 4}{3}-3}\),兩者的值皆為2,相等。

step 3:
對於介於\(\displaystyle (3,4) \)的\(\displaystyle \frac{a+2b}{3}\),存在唯一的實數\(\displaystyle \alpha \in (0,1)\)使得
\(\displaystyle \frac{a+2b}{3}=\alpha \cdot 3+(1-\alpha) \cdot 4\)
因此
\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} = \frac{\log_2{a}+2 \log_2{b}}{3} \geq \alpha \log_2{3} + (1- \alpha) \log_2{4}\)
(因為\(\displaystyle (a,b) \subset [3,4]\)且\(\displaystyle \log_2{x}\)為凹)

step 4:
因為\(\displaystyle 2^{x-3}\)是一凸函數,承上步做法,得到

\(\displaystyle \alpha \cdot 2^{\frac{3+2 \cdot 3}{3}-3} + (1-\alpha) \cdot 2^{\frac{4+2 \cdot 4}{3}-3} \geq \frac{2^{\frac{a+2 \cdot a}{3}-3}+2 \cdot 2^{\frac{b+2 \cdot b}{3}-3}}{3} \geq 2^{\frac{a+2b}{3}-3}\)

由第2、3步得知,\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} \geq 2^{\frac{a+2b}{3}-3}\),

且等號僅成立在\(\displaystyle a=b=4\),此題前提下等號不成立

故答案為\(\displaystyle q>p>r\)

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回復 32# YAG 的帖子

請參考!(最近在忙複試的資料,第三部分有空再想了,抱歉)


PS:感謝shamath 大大精闢的解說 ~^_^~ (功力相當深厚呢!)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-6 00:33 編輯 ]

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2017-5-5 18:37

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回復 34# eyeready 的帖子

請問為什麼向量AO・向量AH=向量AO・向量AO,不太了解

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回復 27# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師.eyeready老師

我知道盲點在哪了!!

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回復 32# YAG 的帖子

剛好在網路上看到適當的解法,
分享給各位。
如附件

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2017050601.pdf (207.03 KB)

2017-5-6 22:50, 下載次數: 160

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第 11 題
O、E、F 分別是 AC、AD、BC 的中點

OE 平行 CD,直線 MR 垂直 CD
OE 和 MR 垂直
同理,直線 OF 和 MS 垂直
∠EOF = ∠RMS

AB / MS = tan∠AMB = tan∠CMD = CD / MR
OF / OE = AB / CD = MS / MR
△EOF 和 △RMS 相似
由旋轉,EF 和 RS 垂直

而 PQ 和 EF 平行
故 PQ 和 RS 垂直

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-5-7 08:45 編輯 ]

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2017-5-6 23:38

20170506.jpg

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回復 37# valkyriea 的帖子

感謝valkyriea師的分享和thepiano大的神解,小弟另外再補充一下鈍角的情形
(尤拉線解法,小弟第三點想不出來,就放棄好了XD)

已知三角形ABC中各角度皆非90°,且垂心為H,外心為O,若\( \overline {{\rm{AO}}} {\rm{ = }}\overline {{\rm{AH}}} \),則∠A=?
[解]
Case 1:當∠A為銳角時

Case2:當∠A為鈍角時


[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-7 21:42 編輯 ]

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請問12題算完底面ABC三邊長
再來要怎麼求高呢?
還是有其他算法嗎?

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