18. a, b, c ∈ R⁺，證明 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c) (ab + bc + ca)。

thepiano 老師的方法大概是最簡潔的!


個人嘗試:


1. 排序不等式及其衍申

1-1 排序不等式 / Chebyshev 不等式

3 (a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c) (a² + b² + c²) ≥ (a + b + c) (ab + bc + ca)，得證。

1-2 微微對偶不等式

a³ + b³ + c³ ≥ 3abc
a³ + b³ + c³ ≥ a²b + b²c + c²a
a³ + b³ + c³ ≥ a²c + b²a + c²b

三式相加，得證。


2. Jensen 不等式

3 (a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³ / 3

(a + b + c)² ≥ 3 (ab + bc + ca)

綜上得證。


3. 柯西不等式(推廣型) [不知道教甄是否允許逕用此法?]

(a³ + b³ + c³) (1 +1 +1) (1 + 1 + 1) ≥ (a + b + c)³

(a³ + b³ + c³) (b³ + c³ + a³) (1 + 1 + 1) ≥ (ab + bc + ca)³

二式相乘，開立方，得證。


4. Muirhead 不等式

因 (3, 0, 0) 蓋 (1, 1, 1) ⇒ a³ + b³ + c³ ≥ 3abc

因 (3, 0, 0) 蓋 (2, 1, 0) ⇒ 2a³ + 2b³ + 2c³ ≥ a²b + b²c + c²a + ab² + bc² + ca²

二式相加，得證。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-22 02:22 PM 編輯 ]

第七題直接算，計算過程有點冗長

可以請教一下想法嗎？

謝謝

[ 本帖最後由 Sandy 於 2016-5-2 04:42 PM 編輯 ]

\(\begin{align}
  & {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\ge ab \\
& \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\ge ab\left( a+b \right) \\
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge {{a}^{2}}b+{{b}^{2}a} \\
\end{align}\)

第 7 題
a_1 + a_2 + ... + a_11 = 6
0 ≦ a_1，a_2，...，a_11 ≦ 4
所以要扣掉 a_1，a_2，...，a_11 = 6 和 a_1，a_2，...，a_11 = 5 的情形

教甄可用廣義柯西不等式

看成11個相同的袋子，每個袋子最多有4顆球 全部共有6顆，放法有

H(11,6)-C(11,1)*H(11,1)=7887

小弟算的參考答案，有錯誤請指正
1 83
2 [(1/4)^n+2]*(1/3)
3 26根號2
4  (x-0.5)^8
5  太難打了
6 (36+25根號3)*(1/4)
7 7887
8 4根號593
9 9
10 404
11 369/400
12 1/2
13 1/3
14 2015又2015/2016
15 20°
16 3
17 52
18 排序不等式

[ 本帖最後由 eyeready 於 2016-5-3 10:49 AM 編輯 ]

4.http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-0.5)%5E8

eyeready您好
4. 應該打錯了是(x-1/2)^8才對

已更正，感謝！