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103新北市高中聯招

103新北市高中聯招

如附件~

附件

103新北市高中數學教甄試題.pdf (350.83 KB)

2014-6-1 14:06, 下載次數: 14039

103新北市高中數學教甄答案..pdf (163.87 KB)

2014-6-1 14:06, 下載次數: 13243

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填充2.
在一勾九寸、股十二寸的直角三角形內,有兩個直徑相同的圓,彼此相切,與邊也相切,如圖所示。試求這兩個相同圓的半徑。

平面上有一直角三角形ΔABC,∠C為直角,且\( \overline{AC}=1 \)、\( \overline{BC}=a \),將兩半徑相等的圓置於ΔABC內部,並如圖與各邊相切,而且兩圓亦相切。求此圓的半徑長。
(101臺灣大學數學系學士班甄選入學,連結已失效h ttp://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32)

104.5.20補充
《天地明察》是有關和算家澀川春海的傳記故事,也納入澀川春海與同時代日本算聖關孝和的競爭,將數學知識活動,譬如解題與出題等對話,極為成功地融入故事情節之中。下圖是該小說裡一道數學題目的插圖:
在一勾九寸、股十二寸的直角三角形內,有兩個直徑相同的圓,彼此相切,與邊也相切,如上圖所示。試求這兩個相同圓的半徑為   
(104木柵高工,https://math.pro/db/thread-2259-1-1.html)

112.4.25補充
設整數\(x,y\)滿足\(logx+logy\)為整數,但\(logx\)、\(logy\)及\(logx^3y^2\)都不是整數,若\(x^3y^2\)是一個6位數,則求所有的整數數對\((x,y)\)。
(112台南女中,https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

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計算5:
鞋帶綁法~可看下列這本書,p47~p58
它的圖跟書中p50頁,一模一樣
http://facesfaces.pixnet.net/blog/post/24913656
書名:20個數學世界裡的奇妙謎題《數學可以救羅馬?!》
作者:伊恩‧史都華(Ian Stewart)
翻譯:陳品秀
出版社:臉譜
註:還有一種"歐式綁法"沒有出
   鞋帶綁法長度結論是:美式<歐式<鞋店式

填充5:
多米諾骨牌效應?  竟跟911恐怖攻擊事件有關?
http://wiki.mbalib.com/zh-tw/%e5 ... c%e6%95%88%e5%ba%94

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選擇 2. 迴文數挺有趣的

x 表示非 0,a 可為 0 或非 0

一位數:x ;兩位數:xx
三位數 xax;四位數:xaax
五位數 xaaax;六位數:xaaaax

以上有 \( 9+9+90+90+900+900=1998 \)

\( 2014-1998=16 \),七位迴文數的第 16 個即為所求

七位的前 10 個為 \( 100a001, a=0,1,2,\ldots,9 \);

七位的第 11~16 個為 \( 101a101, a=0,1,2,3,4,5 \)

故第 2014 個迴文數為 1015101

填充 7. 人人為我 我為人人

先將 為我我為 看成一樣 XXXX,排列數有 \( \frac{8!}{4!4!} \)

而 XXXX 中,為是最後一個 X,填上「我我為為」等三種排法,

故所求 \( \frac{8!}{4!4!}\cdot3=210 \)

計算 2. 由 \( \displaystyle a_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{(2-\sqrt{2})(a_{n}-\sqrt{2})}{a_{n}+2} \) 容易證明此。

填充 4. 另解. 柯西不等式

\( (\cos^{4}\theta+3\sin^{4}\theta)(1+\frac{1}{3})\geq(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)^{2} \)

\( \Rightarrow\cos^{4}\theta+3\sin^{4}\theta\geq\frac{3}{4} \),等號在 \( \cos^{4}\theta=9\sin^{4}\theta \) 時成立,

即 \(\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \) 時,該函數有最小值 \( \frac{3}{4} \)。
網頁方程式編輯 imatheq

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先做點簡單的
填充第1題:
做直角三角形得到關係式 \({{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x-\frac{y}{2} \right)}^{2}}={{x}^{2}}\Rightarrow \left( 2x-5y \right)\left( 2x-y \right)=0\)
所以\(y=\frac{2}{5}x\)

填充第2題:
令半徑為r, 頂角為\(2\theta \), 則\(\cos 2\theta =\frac{3}{5}\), \(\cot \theta =2\), 兩圓連心線長度\(2r\),
作圖得知此關係式: \(r\left( \cot \theta +2\cos 2\theta +1 \right)=9\Rightarrow r=\frac{15}{7}\)

填充第4題:
化簡\(f\left( x \right)={{\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}-\frac{1}{2}\left( {{\sin }^{2}}2x \right)+2\cdot {{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)}^{2}}\) 得到
\(f\left( x \right)={{\left( \cos (2x)-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\) , 故最小值為 \(\frac{3}{4}\)

填充第9題:
\({{r}^{3}}=1-2r\Rightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{r}^{3k+1}}}=\frac{r}{1-{{r}^{3}}}=\frac{r}{1-\left( 1-2r \right)}=\frac{1}{2}\)
本題由勘根易知\(r\in \left( 0,1 \right)\), 故題目中\(r\in \left( 0.4,0.5 \right)\)條件去掉應也無傷大雅

計算第4題:
先推出\({{a}_{n}}=\left( 1+1+1 \right)+\left( 2+2+2+2+2 \right)+\ldots \)
先估算\(\sum\limits_{k=1}^{n}{k\left( 2k+1 \right)}\approx 2014\)之\(n\), 求出\(n\)最接近14, 取\(n=13\)時左式和為\(1729\),
表示\({{a}_{195}}=\left[ 1 \right]+\left[ 2 \right]+\ldots +\left[ 195 \right]=1729\),
由\((2014-1729)=14\cdot \left( 20 \right)+5=14\cdot \left( 21 \right)-9\)知再補\(20\)項此時和為\(2009\)最接近\(2014\), 所以所求\(N=215,{{a}_{N}}=2009\)

選擇第3題: (103.06.05:可參考後面        kb750523兄跟寸絲兄的想法,比較簡潔
做表如下,
\(\left[ \begin{matrix}
   {} & Game & Win & Lose(Rest)  \\
   A & x & 22 & x-22  \\
   B & y & 20 & y-20  \\
   C & x & 32 & z-32  \\
\end{matrix} \right]\)
解方程式\(\left\{ \begin{align}
  & x+y+z=2\left( 22+20+32 \right)=148 \\
& x=\left( y-20 \right)+\left( z-32 \right) \\
\end{align} \right.\), 解出 \(x=48\)

2014.06.03 觀念補充:
已知x+y+z=148,考慮4種情況
(1) 第一場是甲乙比或甲丙比,最後一場甲輸,
      此時x=(y-20)+(z-32)+1 , x 解出不為整數,故此情況不合
(2) 第一場是甲乙比或甲丙比,最後一場乙輸或丙輸,
      此時x=(y-20)+(z-32)+1-1 , x =48
(3) 第一場是乙丙比,最後一場甲輸,
      此時x=(y-20)+(z-32) , x =48
(4) 第一場是乙丙比,最後一場乙輸或丙輸,
      此時x=(y-20)+(z-32)-1 , x 解出不為整數,故此情況不合

故本題可能的情形下,均有算式 x=(y-20)+(z-32), x=48
(感謝 peter兄 提醒和 鋼琴老師 的觀念補充)

選擇第1題:
令短邊、長邊長度分別為\(x,y\), 利用面積與圖形的關係可得知聯立方程式
\(\left\{ \begin{align}
  & \left( x+y \right)\cdot \frac{2r}{2}=\frac{25}{4}{{r}^{2}} \\
& {{\left( \left( y-r \right)+\left( x-r \right) \right)}^{2}}-{{\left( \left( y-r \right)-\left( x-r \right) \right)}^{2}}={{\left( 2r \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.\), 整理得到
\(\left\{ \begin{align}
  & x+y=\frac{25}{4}r \\
& xy=\frac{25}{4}{{r}^{2}} \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{xy}=\frac{25}{4}\Rightarrow \left( x-4y \right)\left( 4x-y \right)=0\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{4}\),
怎麼這麼多相切的幾何題…

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-5 05:18 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 hua0127 於 2014-6-1 02:47 PM 發表
計算第4題:
先推出an=1+1+1+2+2+2+2+2+
先估算nk=1k2k+12014 之n, 求出n最接近14, 取n=13時左式和為1729,
表示a195=1+2++195=1729 ,
由(2014−1729)=1420+5=1421−9 知再補20項此時和為2009最接近2014, 所以所求N=215aN=2009
補充:
k<=√x<k+1 , k²<=x<k²+2k+1
x=k²,k²+1,..................,k²+2k
共有2k+1 個
[註:這題很像96北港高中考題]

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填充2 , 7

填充2.
是102年臺北市國中教甄最後一題
可作出一個以兩圓的圓心連線為斜邊,且與大直角三角形相似的小直角三角形
其兩股為 6r/5、8r/5,斜邊為 2r
再去做幾條平行的輔助線到大三角形上
利用 ( x + 6r/5 + r ) + ( r + 8r/5 + y ) = 9 + 12 = 21
    與   x + 2r + y =15
可解出 r = 15/7

填充7.
我是這樣理解題目
最後一個「我」要出現在最後一個「為」字之前,所以直接將「我為」當作一字
人人為我 (我為) 人人
7! / 4! = 210
想法不知對不對

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回復 7# Superconan 的帖子

填充7感覺是巧合?
如果「我」跟「為」的字數超過兩個 這方法好像就不對了

小弟的想法:
因為「我」和「為」在此題意中為對稱的
所以「人人為我我為人人」的排列總方法數中
必恰有一半符合:最後一個「我」字要出現在最後一個「為」字之前
(亦有一半符合:最後一個「為」字要出現在最後一個「我」字之前)
得:
[8! / (4!)(2!)(2!)]*(1/2) = 210 即為所求

這個想法不知道對不對?

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請問hua0127老師

選擇3 小弟看了您的作法 一直想不通為什麼x=y-20+z-32?

但小弟一直在想以下的特例 似乎又覺得更怪了

第一天  甲(輸) vs 乙
第二天  丙(輸) vs 乙
第三天  甲 vs 乙(輸)
第三天  甲(輸) vs 丙

                   game        win          lose
甲                 3                1              2
乙                 3                2              1
丙                 2                1              1

但是此時乙輸的場次加上丙輸的場次等於2  卻不等於甲的比賽場次3場

再請老師幫我解惑!!

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回復 9# peter0210 的帖子

peter 兄你客氣了~
剛看了你的這個特例,我用我的想法下去帶
解出來的甲的場次是分數,
代表我原本的想法應該是有一些瑕疵,
我原本的想法是:
乙丙每輸一場~均表示甲的出場數會多一場
但看來可能要做個修正~
感謝你的偵錯,是我解法上太粗糙~~差點誤導大家XD

(備註:剛看到鋼琴老師有提供想法,感謝!!)

這個想法的瑕疵點目前看來有兩個:
(1)  一開始挑的兩個人的第一場的場次沒有被加到
(2)  最後一場結束時輸的那一方,我的算法會讓輸方外的其餘兩方再加一場

以peter兄舉的特例來看,怎麼樣補成對的式子呢?
(1) 甲的場次 = 乙輸的場次 +  丙輸的場次 + 第一場甲有比 =1+1+1=3
(2) 乙的場次 = 甲輸的場次 +  丙輸的場次 + 第一場乙有比 - 最後一場甲輸(因為甲輸後下一次是 乙vs丙 ,根據我的算法乙的場次會多加1要扣回來) =2+1+1-1=3
(3) 丙的場次 = 甲輸的場次 +  乙輸的場次  - 最後一場甲輸(因為甲輸後下一次是 乙vs丙 ,根據我的算法丙的場次會多加1要扣回來) =2+1-1=2
目前這樣可以解釋到

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-3 10:41 PM 編輯 ]

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