.

填6:
已知複數\(z_1,z_2\)滿足\(|\;z_1|\;=|\;z_2|\;=1\)，且\(\displaystyle z_1+z_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，求\((z_1z_2)^{10}=\)　　　。
[解答]
偷懶做法:
取z1=1+0i ,z2=cos120度+i*sin120度
(z1*z2)^10=(cos120度+i*sin120度)^10
=cos1200度+i*sin1200度
=cos120度+i*sin120度
= -1/2+(3^0.5/2)i

填充7.
將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？

將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第1000項之值。
(新奧數教程高一第2講　有限集元素的數目，98高雄市聯招，https://math.pro/db/thread-797-1-1.html)

和105互質的正整數.gif (50.91 KB)

2014-5-5 22:54

104.6.20新增
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為。
(104高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-2290-1-1.html)

111.7.12補充
所有正整數從小排列到大，求與105互質的第1204項的數為何？
(111屏東高中，https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html)

112.5.30
將與110互質的所有正整數，從小到大排成數列，求此數列的第2023項。
(112羅東高中，https://math.pro/db/thread-3752-1-1.html)

計算3.
請問：函數\( f(x)=cos \root{3}\of{x} \)是不是週期函數？若是，請證明；若不是，也請證明。

證明：函數\( y=sin x^2 \)不是一個週期函數。
(奧數教程高一　第10講　三角函數的性質及應用)

證明不是週期函數.gif (54.66 KB)

2014-5-10 04:15

計算4.
設甲袋原有\( k-1 \)( \( k \ge 2 \) )個白球與1個黑球，而乙袋原有k個白球。今先自甲袋取一球放入乙袋中，再自乙袋取一球放入甲袋中，這動作我們稱之為一局。對每個正整數n，令\( P_n \)表示n局後黑球仍在甲袋的機率。
(1)求\( P_2 \)。
(2)求\( P_n \)。
(3)利用(1)的結果，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n \)的值。
(96筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)

12.
在整數列\(\displaystyle \left[\frac{1^2}{103}\right],\left[\frac{2^2}{103}\right],\left[\frac{3^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{k^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{103^2}{103}\right]\)中，共有　　　個互不相等的整數(其中符號[]為高斯符號)。
[解答]
做一下填 12.，
\( \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] \),
\( 53^{2}=52^{2}+103+2, \left[\frac{53^{2}}{103}\right]=27+\left[\frac{26+2}{103}\right] \)
\( 54^{2}=53^{2}+103+4, \left[\frac{54^{2}}{103}\right]=28+\left[\frac{26+2+4}{103}\right] \)
\( 55^{2}=54^{2}+103+6, \left[\frac{55^{2}}{103}\right]=29+\left[\frac{26+2+4+6}{103}\right] \)
...
\( 103^{2}=102^{2}+103+102 , \left[\frac{103^{2}}{103}\right]=77+\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right] \)

所求 \( =103+1-\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right]=78 \)。

說明如下：上面的算式計算有幾個相鄰項的差為 2，這些相鄰的差為 2，就產生某個正整數被跳過而沒有出現。

\( (k+1)^2 - k^2 = 2k+1 \)，當 \( k \leq 52 \)，分子增加不到 103，相鄰項的差至多為 1

而 \( k \geq 53 \) 的情況，我們將第 k 項寫成 \( \left[\frac{k^{2}}{103}\right]=(k-26)+\left[\frac{}{103}\right] \)

每次至少增加 1，而當後方的 [ ] 也增加 1 時，就會增加 2。

而後方的 [ ] 如同 \( k \leq 52 \) 之情況，不會產生增加 2，不是加 0 就是加 1

故計算其在 \( k =103 \) 之值為 26，便知這些相鄰項的差有 26 個為 2。

因此從 0~103 的整數中，有 26 個被跳過，所求 = \( 103 + 1 -26 =78 \)。

這題目我寫104個，明知道會錯，應該有些會沒有。但已經餓到受不了。就把104寫下去了

填 12. 做完發現，其實沒有這麼複雜，做到 \( k=52 \)，其實就完成了後，因為 \( k\geq 53 \) 後每項皆相異

故所求 = \( 1 + \left[ \frac{52^2}{103} \right ] + (103 -52) = 78\)

將與105 互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列的第2014 項為　　　?
[解答]
我直接算105-35-21-15+7+5+3-1=48(每105個數會跟105互質的個數)
2014/48=41.....46=42..多兩位
105*42=4410 往回推3位 4409 4408 "4406"
很粗淺的方法供參考

105*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)=48  每４８個—循環
（1,2,4,...101,103,104)
2014＝４8＊４１＋４６（４８個數中第４６個）
ａ_｛2014｝＝ｌ０５＊４１＋101＝４４０６


順便請問，若用Ｘ*（1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)<=2014解
X<=4405.625（此題是小數，小數是否需進位至4406？以往遇到都是整數，再後往前尋找非3,5,7之倍數）。

想請教計算證明題第1(2)、3應該如何下手，沒什麼頭緒，謝謝。

第一行就看不懂了><
[52^2/103]=26
為什麼可以寫成34+[26/103]呢???