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103臺中女中

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填充12 個人心得:


直角三角形中,兩股上中線之夾角,與兩股長比值有一對一之關係。亦即,給定兩股上中線之夾角,則這個直角三角形的"形狀"就確定。又再給了斜邊長後,此直角三角形唯一決定。


原題: 在坐標平面上,有一直角△ABC,以∠C 為直角,AD, BE, CF 為△ABC 之三中線,已知AD落在直線 2x + y = 5上,BE落在直線 x + 2y =1上,AB = 30,則△ABC 的面積為?




解: 令△ABC兩股長為 a,b,且 b/a = m


設兩股上中線之銳夾角θ,則 tanθ = 3/4 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2) (tan 之和角公式)


即 1/2 = m / (1+m²)


解得 m=1 (一般情形下,會解得互為倒數之兩正根,表相似形,即前面提的: 給定兩股上中線之夾角,則這個直角三角形的"形狀"就確定。本題的數據剛好為等腰直角三角形: a = b)。


再由 a² + b² = 900,所求 = ab/2 = a²/2 = 900/4 = 225


註: 直角三角形中,兩股上中線之銳夾角θ的取值範圍: 0 < θ <= arctan(3/4)




(102中山大學雙週一題第2題)

令△ABC為在 xy 平面上的直角三角形,其中∠C為直角。給定斜邊AB的長度為60,且穿過A與B的中線分別為 y=x+3 與 y=2x+4,試求三角形ABC的面積。




解: 令△ABC兩股長為 a,b,且 b/a = m


設兩股上中線之銳夾角θ,則 tanθ = 1/3 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2)


即 2m² + 2 = 9m ....(1)


以下仿上題解出 m 固然可行,但本題是無理根較麻煩,可以不必直接解出 m。


令所求面積 = ab/2 = k,又 b/a = m ,兩者乘除分別可得 a² 與 b² 而代入下面關係式:


斜邊AB的長度為60,故 a² + b² = 3600,即 2k*(m + 1/m) = 3600


又由(1)式,得 m + 1/m = 9/2,故面積 = k = 400




註: 用這個思維,若題目不是給中線而是給 "n等分線",亦不難求得面積。



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請教thepiano老師~計算2這種題目有類似的題目可以練習?

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回復 62# 小傑 的帖子

可搜尋 "構造法解題"

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引用:
原帖由 thepiano 於 2014-6-20 11:14 AM 發表
可搜尋 "構造法解題"
計算2.
設\( \alpha,\beta,\gamma \)為銳角,且\( cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1 \),試證明\( tan \alpha+tan \beta+tan \gamma \ge 3 \sqrt{2} \)


在構造法解題P24有個類題
已知\( \alpha,\beta,\gamma \)都是銳角,且\( cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1 \),求證:\( \displaystyle \frac{3 \pi}{4}<\alpha+\beta+\gamma< \pi \)。


另外我選了一些書上的題目讓各位做做看

設正數\( x,y,z \)滿足方程組\( \cases{\displaystyle x^2+xy+\frac{z^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+z^2=9 \cr z^2+xz+z^2=16} \),試求\( xy+2 yz+3 xz \)的值。
P17
(104嘉義女中,https://math.pro/db/thread-2287-1-1.html)
(104華江高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2302&page=2#pid13858)
(105大同高中二招,https://math.pro/db/thread-2515-1-1.html)

求二元函數\( \displaystyle z=(a-b)^2+\left( \sqrt{2-a^2}-\frac{9}{b} \right)^2 \)的最小值。
P29

設\( a,b,c \)互不相等,證明\( \displaystyle \frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1 \)。
P34

如果\( x,y,z,w \)滿足方程組\( \cases{\displaystyle \frac{x^2}{2^2-1^2}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{4^2-1^2}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{6^2-1^2}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{8^2-1^2}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1} \)
求\( x^2+y^2+z^2+w^2 \)的值。
P35

設長為\( a,b,c \)的三線段構成銳角三角形,證明:存在一個對棱相等且分別為\( a,b,c \)的四面體,並計算其體積。
P66

最後面的習題我也選了一些題目讓各位做做看
1.
已知\( a>0,b>0,c>0 \),且\( \cases{a^2+ab+b^2=19 \cr b^2+bc+c^2=37 \cr c^2+ca+a^2=28} \),求\( a+b+c \)的值。

3.
設\( x,y,z \)是三個正實數,證明\( \sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}>\sqrt{z^2-xz+x^2} \)。

4.
設\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \),證明\( sin x<x<tan x \)。

5.
設\( x,y,z \)都是實數,並滿足\( x+y+z=a \),\( \displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{a^2}{2} \) ( \( a>0 \) ),證明:\( \displaystyle 0 \le x,y,z \le \frac{2}{3}a \)。

10.
設n為正整數,則\( \displaystyle sin \frac{\pi}{2n+1} \cdot sin \frac{2 \pi}{2n+1} \ldots sin \frac{n \pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n} \)。

11.
設\( P(x) \)是n次多項式,且\( \displaystyle P(k)=\frac{k}{1+k} \)( \( k=0,1,\ldots , n \) ),試求\( P(n+1) \)。

12.
證明:對任何正整數\( n \),有\( \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\ldots +\sqrt{n}}}}<2 \)。

16.
設\( a,b,c,d \)都是正數,證明:存在一個三角形,其三邊之長分別為\( \sqrt{b^2+c^2} \),\( \sqrt{a^2+c^2+d^2+2cd} \),\( \sqrt{a^2+b^2+d^2+2ab} \),並計算這個三角形的面積。

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想知道答案的網友,可以到各大學的圖書館查詢有沒有這本書,再到圖書館櫃檯憑身分證辦理臨時進出證,因為這裡只是節錄少部分的題目而已,而這本書值得你仔細閱讀

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-7-1 10:19 AM 編輯 ]

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回復 58# thepiano 的帖子

分子是四次的要怎嚜用上面的方法解釋阿  
構造的是四次函數 但是只有a,b,c三個跟 所求事二次項係數???

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回復 65# leo790124 的帖子

\(f\left( x \right)={{x}^{4}}-\left[ \frac{{{a}^{4}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]\)
之四根為a、b、c、d


\(\begin{align}
  & a+b+c+d=0 \\
& d=-\left( a+b+c \right) \\
&  \\
& \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \\
& =-\left( ab+ac+ad+bc+bd+cd \right) \\
& =-\left[ ab+ac+bc+\left( a+b+c \right)d \right] \\
& =-\left[ ab+ac+bc-\left( a+b+c \right)\left( a+b+c \right) \right] \\
& ={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca \\
\end{align}\)

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tsusy大我可以問一下嗎?第9題...感謝
為什麼分母不是 P(甲中乙不中丙中)+P(甲不中乙中丙中)+P(甲不中乙不中丙中)  @@....
引用:
原帖由 tsusy 於 2014-4-28 11:55 PM 發表
第 9 題,提供一下算的結果,自己檢查哪個數字可能不小心算錯了

\( P(甲中) = \frac47 \), \( P(甲不中) = \frac37 \)

\( P(甲中且乙不中) = \frac47 \times \frac12 = \frac27 \),所求 \( = \displaystyle \frac{\frac ...

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回復 67# natureling 的帖子

(填 9.) 寫成加法,只是把一個事件作分割 (Partition)

就像作排組問題的時候,方法經常不唯一,但結果相同

這裡只是丙中的事件作分割的方法不唯一而已,

例如這個加法表示式 \( 3 = 1 + 2 = 1 + 1 + 1 \),我的方法就像 \( 1 + 2  \),你的分割就像 \( 1+1+1 \),你的後兩個 1 相加,正是我的 2
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回復 33# tsusy 的帖子

仿造老師的作法
z^8(z^20-1)=1
|z^8| |z^20-1| =1
因為已知 |z|=1 得 |z^20-1| =1

接下來該怎麼用複數來找出那八個解?

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回復 69# leo790124 的帖子

\( |z^{20}| = |z^{20} -1 | =1 \) 可得 \( z^{20} = \frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}2i \), \( z^{20} -1 = -\frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}2i \)

\( z^8 = \frac1{z^{20} -1} = -\frac12 \mp \frac{\sqrt{3}}2i\),而 \( z^4 = z^{8\cdot3 -20} = \frac12 \mp \frac{\sqrt{3}}2i \)
(以上為兩組 ++-- 和 --++ )

由 \( z^4 \) 之值,解得 8 個 \( z \) 值...
(每次寫,過程都不一樣XD)
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