去年中正那題截痕是拋物線，

今年填充5的截痕是橢圓，線段BD長=長軸長

而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點。

以上為小弟的想法，有錯誤請指正。

[ 本帖最後由 wayloon 於 2012-7-3 02:10 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 wayloon 於 2012-7-3 02:06 PM 發表
去年中正那題截痕是拋物線，

今年填充5的截痕是橢圓，線段BD長=長軸長

而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點。

以上為小弟的想法，有錯誤請指正。 ...

如上面紅字的部分是怎麼來的？

引用:

原帖由 larson 於 2012-7-3 12:38 PM 發表
謝謝！填充5的截痕之正焦弦長，解不出官方的答案！

填充第10題老王的方法：設為 x
再設中間的點走到下方停止的期望值為 y
x=1+y
y=41(1+(1+x)+(1+y)+(1+y))
聯立解得答案
很 ...

x=(1/4)(1+y)  *4   =1+y
　^^^^^^^^^^^^^
   A到任一中點的機率是１/４, 有四條選擇

y=(1/4)*1    +   (1/4)(1+y)          　　 +(1/4)(1+y)              　　    + (1/4)(1+x)
    ^^^^^^^^         ^^^^^^^^^^^             　　 ^^^^^^^^^^^^^                　　　    ^^^^^^^^^^^^
    B-->C    B-->另ㄧ個中點-->C  　 B-->另ㄧ個中點-->C　　　　　B-->A-->C

感謝 mandy 老師已經幫忙解說了。
至於今年台大數學推甄題解，其實我已經寫好了，只是很懶惰!!
打字還缺最後兩題沒打~~~~

http://goo.gl/sDR8I

請參考本篇文章主題二，有相關內容和證明

這是利用到過球外一點會產生無限多條切線的觀念，有錯請指正

謝謝王老師與mandy與wayloon這麼快的回覆！太感激了！

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 10:03 PM 編輯 ]

填充 5

我畫了個圖，如下：

因為100年中正一招時，可知綠色的軌跡為抛物線，

現今我將底圓以點 B 為定點，順著圓錐面向上滑 30，則

所以 P Q 將順著此抛物線向上滑動到 P Q 形成所求橢圓的短軸

利用 y=tx2 定座標 E(00)Q(2−2)，可算出 t=−21  

而 Q(k−1) 代入可求出 k=2 

所以 b=2 

又 a=21BD=2123=3 

所以正焦弦為 a2b2=43 

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 08:33 PM 編輯 ]

填充 7. 其實應該改寫成組合數，才會有 Fu

17n=1(n−1+1)C3n+2=417n=2C4n+2+17n=1C3n+2=4C520+C420=66861 

類題

100 文華高中代理 填充16
試求 (1+x2)+2(1+x2)2+3(1+x2)3++15(1+x2)15 展開式中， x4 項的係數。

100 中壢高中 填充9
試求 18k=3k2C3k 。

想請教填充2和4題,謝謝

填充2

就是要找 x2+2(a−c)x+(b−d)=0 無實數解的情形，
即 (a−c)2b−d 的機率

(1)a−c=0且b−d1：6363615
(2)a−c=1且b−d2：36103610
(3)a−c=2且b−d5：836136

所以答案為 363690+100+8=7211

填充4

\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=\sum^{n}_{k=1}kC^{n}_{k}C^{n}_{k}=\sum^{n}_{k=1}nC^{n-1}_{k-1}C^{n}_{k}=n\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}

再考慮 (1+x)^{2n-1} 展開後 x^{n} 的係數： C^{2n-1}_{n}

且

(1+x)^{2n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^{n}

=\left(C^{n-1}_{0}+C^{n-1}_{1}x+C^{n-1}_{2}x^2+\cdots+C^{n-1}_{n-1}x^{n-1} \right )\left(C^{n}_{0}+C^{n}_{1}x+C^{n}_{2}x^2+\cdots+C^{n}_{n}x^{n} \right )

乘開後 x^{n} 的係數為 \sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}

所以，\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=nC^{2n-1}_{n}

套入原題中，\sum^{2012}_{k=1}k(C^{2012}_{k})^2=2012\times C^{4023}_{2012}=2012\times C^{4023}_{2011}

故 (m,n)=(4023,2012),~or~(4023,2011)

[ 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 09:52 AM 編輯 ]