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101彰化高中

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回復 10# man90244 的帖子

計算作圖題第 1 題:
以\(O\)表坐標平面的原點。給定一點\(A(4,3)\),而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。以\(l(x)\)表示\(\overline{AB}\)長,求\(\Delta OAB\)中兩邊長比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值。
(請給出兩種解法:一種是微積分的方法、一種是幾何觀點的方法。)

微積分法:

\(l(x)=\sqrt{(x-4)^2+3^2}=\sqrt{x^2-8x+25}\)

令 \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{l(x)}=\frac{x}{\sqrt{x^2-8x+25}}\)

\(\displaystyle f\,'(x)=\frac{25-4x}{(x^2-8x+25)\sqrt{x^2-8x+25}}\)

解 \(f\,'(x)=0\),可得 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\)

且當 \(\displaystyle x>\frac{25}{4}\) 時,\(f\,'(x)<0\);

當 \(\displaystyle x<\frac{25}{4}\) 時,\(f\,'(x)>0\)

所以, 當在 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\) 時,\(\displaystyle f(x)\) 有最大值 \(\displaystyle f(\frac{25}{4})=\frac{5}{3}\)。



幾何觀點法:

令 \(\displaystyle \angle AOB=\alpha, \angle OAB=\theta\),則 \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5}\)

    

且在 \(\triangle OAB\) 中,由正弦定理,可得

  \(\displaystyle \frac{\overline{OB}}{\sin\theta}=\frac{\overline{AB}}{\sin\alpha}\)

  \(\displaystyle\Rightarrow \frac{x}{l(x)}=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}=\frac{\sin\theta}{\frac{3}{5}}\leq\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\)

可知當 \(\displaystyle \theta=90^\circ\) 時,\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}=\frac{5}{3}\) 為最大值。



註:這題是 2006 年指考數甲的考題

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想請教填充第4&6題,謝謝

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回復 12# 阿光 的帖子

填充第 4 題:
一個抽獎活動依排隊順序抽獎,輪到抽獎的人有一次抽獎機會,抽獎方式為丟擲一枚公正銅板,正面為中獎,反面為沒中獎。獎品有四份,活動直到四份獎品都被抽中為止。則在排第六位的人可以抽獎的情況下,排第七位的人可以抽獎的條件機率為   

設 \(A\) 表示第六位可抽獎的事件, \(B\) 表示第七位可抽獎的事件,



\(\displaystyle P(A)=P(\mbox{前五位沒人中獎})+P(\mbox{前五位恰一人中獎})+P(\mbox{前五位恰兩人中獎})+P(\mbox{前五位恰三人中獎})\)

  \(\displaystyle =C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\)

  \(\displaystyle =\frac{26}{32}\)

\(\displaystyle P(A\cap B)=P(\mbox{前五位中不超過兩人中獎,第六位有沒有中獎都可以})+P(\mbox{前五位恰有三人中獎且第六位沒有中獎})\)

  \(\displaystyle =\left(C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)\cdot1+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}\)

  \(\displaystyle =\frac{21}{32}\)

所求機率=\(\displaystyle P(B\Big|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{21}{26}.\)

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回復 12# 阿光 的帖子

填充第 6 題:
在一個七位數中,若每一出現的數字都至少出現兩次,就稱這種七位數是一個好數。例如:2222222和2223323都是好數,但是2222223和3456777都不是好數。則所有的七位數中,好數有   個。

七同 → \(9\) 種

五同兩同 → \(\displaystyle C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{5!2!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{5!1!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{4!2!} = 1701\)

      註:分成「不含零」、「五同為0」、「兩同為0」


三同兩同兩同 → \(\displaystyle  C^9_1C^8_2\frac{7!}{3!2!2!}+1\cdot C^9_2\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{2!2!2!}\right)+1\cdot C^9_1C^8_1\cdot\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{3!2!1!}\right) = 68040\)

      註:分成「不含零」、「三同為0」、「兩同為0」


三同四同 → \(\displaystyle  C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{3!4!}++1\cdot C^9_1\frac{6!}{2!4!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{3!3!}= 2835\)

      註:分成「不含零」、「四同為0」、「三同為0」


所求=\(9+1701+68040+2835=72585\)

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想請問各位老師,填充第8題該如做...一直想不到...謝謝

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回復 15# jmfeng2001 的帖子

填充 8.
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[(n+2)(n+4)\ldots(n+2n)]^{\displaystyle \frac{1}{n}}=\)   

這應該是老題目了,直覺就是取 log 黎曼和,作法如下

把 \( n = (n^n)^{\frac1n} \) 放進中括號 \( [..]  \)

取 log 後,黎曼和轉成積分
文不成,武不就

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回復 13# weiye 的帖子

在第六位可以抽的條件下,第七位不能抽的機率
\(\displaystyle \frac{\displaystyle C_3^5 \times (\frac{1}{2})^5 \times \frac{1}{2}}{P(A)} \)
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 2# judochiou625 的帖子

作對稱軸
可利用對稱及尺規作圖
以該點為圓心取適當長當半徑畫弧與拋物線的交點必對稱
再以此兩點作出其線段的中垂線
必過給定點且必為軸
後面就差怎樣找正焦弦

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不好意思,能否請教一下各位老師計算第七題。

上下同乘 A-B 分母都變成1之後就不知道怎麼下手了@_@

感謝。

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回復 19# hua77825 的帖子

[]表高斯符號,求\(\displaystyle \left[\frac{1}{\root 3 \of {1^2}+\root 3 \of {1\times 2}+\root 3 \of {2^2}}+
\frac{1}{\root 3 \of {3^2}+\root 3 \of {3\times 4}+\root 3 \of {4^2}}+
\frac{1}{\root 3 \of {5^2}+\root 3 \of {5\times 6}+\root 3 \of {6^2}}+\ldots+
\frac{1}{\root 3 \of {999^2}+\root 3 \of {998\times 999}+\root 3 \of {1000^2}} \right]\)之值。

看錯題目~~抱歉~~等等想想

承您所說,同乘可得

\( \left[ \sum\limits_{n=1}^{999} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}) \right] \)

之後相消即得 \( [ \sqrt[3]{1000}-1] = 9 \)
-----------------------------------------------------------------------------------------
上面雖然是錯的,但想法可用,就是把缺項補上

令 \( A=(\sqrt[3]{2}-1)+(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3})+\ldots+(\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{999}) \), \( B=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}+\ldots+\sqrt[3]{999}-\sqrt[3]{998} \)

則 \( A + B = 10-1 =9\)。把根號寫回分數,則 \( A,\, B \) 可逐項比大小有 \( A>B \) 且 \( A-(\sqrt[3]{2}-1)<B \) 可得 \( B<A<B+0.3 \)

所以 \( 2A-0.3<A+B=9<2A \),得 \( 4.5 < A < 4.65 \)

因此 \( [A] =4 \)

以上,如有錯誤,麻煩指正

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-27 10:35 PM 編輯 ]
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