計算作圖題第 1 題：
以\(O\)表坐標平面的原點。給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。以\(l(x)\)表示\(\overline{AB}\)長，求\(\Delta OAB\)中兩邊長比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值。
(請給出兩種解法：一種是微積分的方法、一種是幾何觀點的方法。)
微積分法：
\(l(x)=\sqrt{(x-4)^2+3^2}=\sqrt{x^2-8x+25}\)
令 \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{l(x)}=\frac{x}{\sqrt{x^2-8x+25}}\)
\(\displaystyle f\,'(x)=\frac{25-4x}{(x^2-8x+25)\sqrt{x^2-8x+25}}\)
解 \(f\,'(x)=0\)，可得 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\)
且當 \(\displaystyle x>\frac{25}{4}\) 時，\(f\,'(x)<0\)；
當 \(\displaystyle x<\frac{25}{4}\) 時，\(f\,'(x)>0\)
所以， 當在 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\) 時，\(\displaystyle f(x)\) 有最大值 \(\displaystyle f(\frac{25}{4})=\frac{5}{3}\)。
幾何觀點法：
令 \(\displaystyle \angle AOB=\alpha, \angle OAB=\theta\)，則 \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5}\)
且在 \(\triangle OAB\) 中，由
正弦定理，可得
\(\displaystyle \frac{\overline{OB}}{\sin\theta}=\frac{\overline{AB}}{\sin\alpha}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{x}{l(x)}=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}=\frac{\sin\theta}{\frac{3}{5}}\leq\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\)
可知當 \(\displaystyle \theta=90^\circ\) 時，\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}=\frac{5}{3}\) 為最大值。
註：這題是
2006 年指考數甲的考題
110.8.25補充
以\(O\)表坐標平面的原點，給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。若\(l(x)\)表\(\overline{AB}\)長，則\(\Delta OAB\)中兩邊比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值為
。(化成最簡分數)
(110蘭陽女中，
https://math.pro/db/thread-3538-1-1.html)
