計算作圖題第 1 題：
以O表坐標平面的原點。給定一點A(43)，而點B(x0)在正x軸上變動。以l(x)表示AB長，求OAB中兩邊長比值xl(x)的最大值。
(請給出兩種解法：一種是微積分的方法、一種是幾何觀點的方法。)

微積分法：

l(x)=(x−4)2+32=x2−8x+25 

令 f(x)=xl(x)=xx2−8x+25

f(x)=25−4x(x2−8x+25)x2−8x+25

解 f(x)=0，可得 x=425

且當 x425 時，f(x)0；

當 x425 時，f(x)0

所以， 當在 x=425 時，f(x) 有最大值 f(425)=35。



幾何觀點法：

令 AOB=OAB= ，則 sin=53

　　　　

qq.png (10.93 KB)

2012-5-24 00:23

且在 OAB 中，由正弦定理，可得

　　OBsin=ABsin

　　xl(x)=sinsin=53sin531=35

可知當 =90 時，xl(x)=35 為最大值。



註：這題是 2006 年指考數甲的考題

110.8.25補充
以O表坐標平面的原點，給定一點A(43)，而點B(x0)在正x軸上變動。若l(x)表\overline{AB}長，則\Delta OAB中兩邊比值\displaystyle \frac{x}{l(x)}的最大值為　　　。(化成最簡分數)
(110蘭陽女中，https://math.pro/db/thread-3538-1-1.html)

想請教填充第4&6題,謝謝

填充第 4 題：
一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅板，正面為中獎，反面為沒中獎。獎品有四份，活動直到四份獎品都被抽中為止。則在排第六位的人可以抽獎的情況下，排第七位的人可以抽獎的條件機率為　　　。

設 A 表示第六位可抽獎的事件， B 表示第七位可抽獎的事件，

則

\displaystyle P(A)=P(\mbox{前五位沒人中獎})+P(\mbox{前五位恰一人中獎})+P(\mbox{前五位恰兩人中獎})+P(\mbox{前五位恰三人中獎})

　　\displaystyle =C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5

　　\displaystyle =\frac{26}{32}

\displaystyle P(A\cap B)=P(\mbox{前五位中不超過兩人中獎，第六位有沒有中獎都可以})+P(\mbox{前五位恰有三人中獎且第六位沒有中獎})

　　\displaystyle =\left(C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)\cdot1+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}

　　\displaystyle =\frac{21}{32}

所求機率＝\displaystyle P(B\Big|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{21}{26}.

填充第 6 題：
在一個七位數中，若每一出現的數字都至少出現兩次，就稱這種七位數是一個好數。例如：2222222和2223323都是好數，但是2222223和3456777都不是好數。則所有的七位數中，好數有　　　個。

七同 → 9 種

五同兩同 → \displaystyle C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{5!2!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{5!1!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{4!2!} = 1701

　　　　　　註：分成「不含零」、「五同為0」、「兩同為0」


三同兩同兩同 → \displaystyle  C^9_1C^8_2\frac{7!}{3!2!2!}+1\cdot C^9_2\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{2!2!2!}\right)+1\cdot C^9_1C^8_1\cdot\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{3!2!1!}\right) = 68040

　　　　　　註：分成「不含零」、「三同為0」、「兩同為0」


三同四同 → \displaystyle  C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{3!4!}++1\cdot C^9_1\frac{6!}{2!4!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{3!3!}= 2835

　　　　　　註：分成「不含零」、「四同為0」、「三同為0」


所求＝9+1701+68040+2835=72585

想請問各位老師,填充第8題該如做...一直想不到...謝謝

填充 8.
\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[(n+2)(n+4)\ldots(n+2n)]^{\displaystyle \frac{1}{n}}=　　　。

這應該是老題目了，直覺就是取 log 黎曼和，作法如下

把 n = (n^n)^{\frac1n} 放進中括號 [..]  

取 log 後，黎曼和轉成積分

在第六位可以抽的條件下，第七位不能抽的機率
\displaystyle \frac{\displaystyle C_3^5 \times (\frac{1}{2})^5 \times \frac{1}{2}}{P(A)}

作對稱軸
可利用對稱及尺規作圖
以該點為圓心取適當長當半徑畫弧與拋物線的交點必對稱
再以此兩點作出其線段的中垂線
必過給定點且必為軸
後面就差怎樣找正焦弦

不好意思，能否請教一下各位老師計算第七題。

上下同乘 A-B 分母都變成1之後就不知道怎麼下手了@_@

感謝。

[]表高斯符號，求\displaystyle \left[\frac{1}{\root 3 \of {1^2}+\root 3 \of {1\times 2}+\root 3 \of {2^2}}+ \frac{1}{\root 3 \of {3^2}+\root 3 \of {3\times 4}+\root 3 \of {4^2}}+ \frac{1}{\root 3 \of {5^2}+\root 3 \of {5\times 6}+\root 3 \of {6^2}}+\ldots+ \frac{1}{\root 3 \of {999^2}+\root 3 \of {998\times 999}+\root 3 \of {1000^2}} \right]之值。

看錯題目~~抱歉~~等等想想

承您所說，同乘可得

\left[ \sum\limits_{n=1}^{999} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}) \right]

之後相消即得 [ \sqrt[3]{1000}-1] = 9
-----------------------------------------------------------------------------------------
上面雖然是錯的，但想法可用，就是把缺項補上

令 A=(\sqrt[3]{2}-1)+(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3})+\ldots+(\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{999}) , B=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}+\ldots+\sqrt[3]{999}-\sqrt[3]{998}

則 A + B = 10-1 =9。把根號寫回分數，則 A,\, B 可逐項比大小有 A>B 且 A-(\sqrt[3]{2}-1)<B 可得 B<A<B+0.3

所以 2A-0.3<A+B=9<2A ，得 4.5 < A < 4.65

因此 [A] =4

以上，如有錯誤，麻煩指正