計算作圖第 7 題：thepiano 老師解過了 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2816#p7601

謝謝瑋岳老師，小弟太不細心了沒有去注意，感謝

想請教填充第9題
謝謝~

已知\(x\)為實數，則\(\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+10x-24}\)的最大值為　　　。

先配方得 \( \sqrt{25-(x-4)^{2}}-\sqrt{1-(x-5)^{2}} \)

將之看作兩半圓之 \( y \) 坐標相減

而當 \( x=4 \) 時，第一個半圓 \( y \) 坐標有最大值，第二個半圓 \( y \) 坐標有最小值

\( x= 4 \) 代入得最大值 \( \sqrt{21} \)

引用:

原帖由 milkie1013 於 2012-5-21 01:46 PM 發表
想請教幾題:

填充1.   四面體ABCD
      其中AB長=4
             CD長=5
       AB到CD之距離為3
       求四面體體積=?


計算作圖2.   給定一拋物線,並給軸上一點,如何利用紙規作圖找出焦點


計算作題4.

      ...

校方公佈題目和答案說填充第一題條件不足無法解，請問要加什麼條件才能算呢？
又，請問該如何算呢？

想請問填充7該如何做

填充 7.
若\(\displaystyle z_k=cos \frac{k\pi}{12}+i sin\frac{k\pi}{12}\)，其中\(k=0,1,2,\ldots,11\)；若\(\displaystyle \omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，則\(\displaystyle \sum_{k=0}^{11}|\;z_k-\omega|\;^2=\)　　　。

\( |z|^2 = z \cdot \bar{z} \)

用力的展開，合併項得

所求 \( = 24 - \sum \bar{z_k} \omega - \sum z_k \bar{\omega} = 24  - 2Re \sum z_k \bar \omega \)

而 \( Re \sum z_k \bar \omega = 2 + \sqrt{\frac32} + \frac{3}{\sqrt{2}} +\sqrt{3} \) (硬算) 代入得

\( 20 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} -3\sqrt{2} \)

變成lim e^{1/n  ln [(1+2/n)(1+4/n).....]}
=e^{1/n [ln(1+2/n)+ln(1+4/n)+...]}
是積ln(1+2x)嗎@@..
感恩

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-25 10:24 PM 發表
填充 8.

這應該是老題目了，直覺就是取 log 黎曼和，作法如下

把 \( n = (n^n)^{\frac1n} \) 放進中括號 \( [..]  \)

取 log 後，黎曼和轉成積分

積 ln(1+x) 或 ln(1+2x) 皆可，以下補完算式

注意 \( \frac{1}{n}=(\frac{1}{n^{n}})^{\frac{1}{n}} \)，\( \frac{1}{n}\left[\prod\limits _{k=1}^{n}(n+2k)\right]^{\frac{1}{n}}=\left[\prod\limits _{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n})\right]^{\frac{1}{n}} \)，

取對數，變乘為加，\( \frac{1}{n}\ln\prod\limits _{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n})=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\ln(1+\frac{2k}{n}) \)，

上式為 \( \int_{0}^{1}\ln(1+2x)dx \) 之黎曼和，故其收斂至 \( \int_{0}^{1}\ln(1+2x)dx=\frac{3\ln3}{2}-1 \)。

故所求極限為 \( e^{\frac{3\ln3}{2}-1}=\frac{3\sqrt{3}}{e} \)。

空間中，\(x^2+y^2=3^2,z=0\)及\(x-z=0\)所圍成封閉區域的體積為何？

雖然 thepiano 老師已解，小弟幫朋友解完也順便放上來供參考。