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101田中高中

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[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-20 06:08 AM 編輯 ]

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2012-5-20 06:08, 下載次數: 14579

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1.
設a、b為實數,滿足\( (a+bi)^{2003}=a-bi \)的數對\( (a,b) \)有多少組?
(A)2002 (B)2003 (C)2004 (D)2005

實數a,b滿足\( (a+bi)^{101}=a-bi \)(其中\( i=\sqrt{-1} \)),則數對\( (a,b) \)有組解
(101文華高中,https://math.pro/db/thread-1333-1-1.html)

Find the number of ordered pairs of real numbers \( (a,b) \) such that \( (a+bi)^{2002}=a-bi \).
(A)1001 (B)1002 (C)2001 (D)2002 (E)2004
(2002AMC12,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2002)

7.
某班有48個學生,某次考試,經計算得算術平均數為70分,標準差為S分,後來發現成績登錄錯誤,A生得80分卻被誤記為50分,B生得70分而被誤記為100分,更正後重算得標準差為\( S_1 \),則下列敘述何者正確?
(A)\( S_1<S-5 \) (B)\( S=S_1 \) (C)\( S-5 \le S_1<S \) (D)\( S<S_1\le S+5 \)

某班有48名學生,某次數學考試之成績,經計算得算術平均數為70分,標準差為S分。後來發現成績登錄有誤,某甲得80分卻誤記為50分,某乙得70分卻誤記為100分,更正後重算得標準差為\( S_1 \)分,試問\( S_1 \)與S之間,有下列哪種大小關係?
(n個數值\( x_1,x_2,...,x_n \)的標準差公式為\( \displaystyle S=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2} \),而\(  \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \))
(A)\( S_1<S-5 \) (B)\( S-5 \le S_1<S \) (C)\( S_1=S \) (D)\( S<S_1\le S+5 \) (E)\( S+5<S_1 \)
(89大學聯考自然組試題,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ma/M2000A.swf)

計算7.
半徑a的半球體之容器裝滿水,今慢慢地將之傾斜\( 30^o \),求流出水量的體積。

將半徑為a的半球體容器裝滿了水,今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \),則留出水量之體積?
(93國立大里高中,https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

在半徑為6的半球容器內裝滿水,若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \),求流出的水量。
(98清水高中,https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)

在直徑12公分的半球形容器內裝滿水,將此容器傾斜\( 30^o \),求流出去的水量為多少立方公分?
(99高雄市聯招,https://math.pro/db/thread-975-1-4.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-19 08:06 PM 編輯 ]

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回復 2# bugmens 的帖子

今天從中壢趕下去考試,這份考題不難寫,選擇題第一題今年的文華高中就有考,剛自己預估一下分數。依照去年的經驗,要進入複試要很拼吧。大家在來一起討論這份考題吧。


這一題在文華高中考完後,有確實做訂正的動作。所以很快就有寫出來。
選擇題第二題,我在寫得時候,也是每一個選項做因數分解,發現125=5x5x5,  14!沒有三個5,所以就選125。
倒是第三題就有卡住了,不知道『最小多項式』為何,就把他當成特徵多項式來想。結果就錯了。
第四題令 t=x^2 因為恰有兩個實數解,所以變換變數後,t的方程式就會有
(1) 判別式大於等於0  且 (2) 兩根之積<0  這樣對x就會有兩相異實根,兩虛根。恰好兩個實數解就可以求出a的範圍,找到a的最小值


計算題第七題,去年得竹北高中,填充題最後一題也有考。這個題目在徐氏數學DIY裡面有出現。

選擇題第六題,可以先求出直線與Z軸的交點B。再利用參數式代入球體方程式。可以解出A,C兩點。
球體與直線旋轉後,切割出來的兩個圓形的半徑。兩個直角三角形正好相似。因此大圓與小圓的半徑比=AB:BC
算出來是  4比3   因此面積比就是  16比9

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-21 08:26 AM 編輯 ]

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2012-5-19 21:14

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回復 3# shingjay176 的帖子

選擇題第九題,求反矩陣存在的機率。

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2012-5-19 21:09

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計算6
利用瑕積分來做
可是算到最後答案是3[2^(1/3)-(-1)^(1/3)]
用這樣表示就好
解答寫3[2^(1/3)+1]好像會有問題
因為後面的(-1)^(1/3)不代表-1
用mathematica算這題的近似值=2.27976 - 2.59808*i
因為它把(-1)^(1/3)定義為cos60°+i*sin60°

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回復 5# Ellipse 的帖子

這題不是用變換變數,令t=x-1,就可以積分出來勒。
(-1)^3=(-1),所以不能解釋為 (-1)^(1/3)=-1嗎??

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引用:
原帖由 shingjay176 於 2012-5-19 10:10 PM 發表
這題不是用變換變數,令t=x-1,就可以積分出來勒。
(-1)^3=(-1),所以不能解釋為 (-1)^(1/3)=-1嗎??
是要用這樣做沒錯
如令t=x-1
就要分[-1,0]與[0,2]來討論,不然會被扣分,甚至於0分~
因為在t=0時,y值不存在,
最後面要這樣寫
lim{t->0-}  3[t^(1/3)-(-1)^(1/3)] + lim{t->0+}  3[2^(1/3)-(t)^(1/3)]
=3[2^(1/3)-(-1)^(1/3)]

高中的課本定義a^(1/3)這種"有理數指數" ,有說a>0
若是(-1)^(1/3)這東西要很小心定義,不能亂寫

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-20 09:47 AM 編輯 ]

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回復 7# Ellipse 的帖子

謝啦。瞭解了,考試時候真的沒有想到那麼仔細,t=0時, x=1,造成分母為0,會產生無意義的情形,希望保佑只有扣少許的分數囉。真的嚴重的話,應該會得0分,觀念有嚴重瑕疵。用極限來寫,就是要避開0,用左極限與右極限寫喔。

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積分那題不用阿,令X=1+(tanθ)^3 , dx=3(tanθ)^2*(secθ)^2 dθ
上下限就是3π/4  和arctan2^(1/3)  ,這樣就可以做出來了

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選擇第八題,有點不大懂
看到試題答案上寫這個有發散。不知為何。

這個數列不是  收斂於  1嗎…



另外(B)、(C)是用  n+1項與 n項比較就可以了嗎…還是用其它方法呢。

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