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100高師大附中代理

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100高師大附中代理

因為有朋友問當中的題目,解完順便放上來。:)

註:感謝 Ellipse 補充~第二題的答案應該為 2366 ,而非 2365.

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100高師大附中代理.pdf (98.37 KB)

2012-2-2 10:24, 下載次數: 4095

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第一題:令 \(x=2009\),

則 \(2011\times2010\times2009\times2008-1=(x+2)(x+1)x(x-1)+1=(x^2+x-1)^2\)

所以所求=\((x-1)^{2011} = 2008^{2011}\equiv 8^{2011}\pmod{10}\)

剩下用同餘處理~應該就沒有問題了!:)





第 12 題:



解答:

設 \(\overline{BH}=x, \overline{HE}=y, \overline{EC}=z\),

因為 \(\triangle IHC\) 與 \(\triangle ABC\) 相似,所以 \(\displaystyle \frac{\overline{HC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{IH}}{\overline{AB}}\Rightarrow \frac{y+z}{x+y+z}=\frac{d}{425}\)

因為 \(\triangle DBE\) 與 \(\triangle ABC\) 相似,所以 \(\displaystyle \frac{\overline{BE}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{AC}}\Rightarrow \frac{x+y}{x+y+z}=\frac{d}{510}\)

因為 \(\displaystyle \overline{GF}=\overline{GP}+\overline{PF}=\overline{BH}+\overline{EC}\),所以 \(\displaystyle \frac{x+z}{x+y+z}=\frac{d}{450}\)

將上列三個分式相加,可得 \(\displaystyle 2=\left(\frac{1}{425}+\frac{1}{510}+\frac{1}{450}\right)\times d\)

\(\Rightarrow d=306\)

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qq.jpg (38.26 KB)

2012-2-2 10:42

qq.jpg

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好多題想請教,
#2 是要實際算出來嗎?我實際算出來是\(1183+374 \sqrt{10} \) 但 \(\sqrt{10} \) 須估計到小數點以下好幾位,才算得出正確答案.不知道有沒有更好的算法
還有#4,#6,#7,#9(第九題只能用猜得還是?)

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第 2 題:

令 \(p=\sqrt{5}+\sqrt{2}, q=\sqrt{5}-\sqrt{2}\)

則 \(pq=3\) 且 \(p^2+q^2=14\)

  \(\Rightarrow p^6+q^6 = \left(p^2+q^2\right)^3-3p^2q^2\left(p^2+q^2\right)=2366\)

因為 \(0<q<1\),所以 \(0<q^6<1\)

  \(\Rightarrow p^6=2366-q^6=2365.xxx\)

所以,大於 \((\sqrt{5}+\sqrt{2})^6\) 的最小整數值為 \(2366.\)

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第 4 題:

由算幾不等式,可得

  \(a_1^2+1\geq 2\sqrt{a_1^2\cdot1}=2a_1\)

同理,

  \(a_2^2+1\geq 2a_2\),\(a_3^2+1\geq 2a_3\),‧‧‧,\(a_{10}^2+1\geq 2a_{10}\),

因為上列十個式子的左右兩端都非負,十式連乘可得

  \(\left(a_1^2+1\right)\left(a_2^2+1\right)\cdots\left(a_{10}^2+1\right)\geq2^{10}\cdot a_1a_2\cdots a_{10}\)

  \(\displaystyle\Rightarrow \frac{\left(a_1^2+1\right)\left(a_2^2+1\right)\cdots\left(a_{10}^2+1\right)}{a_1a_2\cdots a_{10}}\geq1024\)

且當等號成立時,\(a_1=a_2=\cdots=a_{10}=1.\)

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第 7 題:

\(120=2^3\cdot3\cdot5\)

一、若約到最簡分數後分子為 \(1\),則

 \(n=2^a\cdot3^b\cdot5^c\),

 其中 \(a=0,1,2,3\),\(b=0,1\),\(c=0,1\)

 但 \((a,b,c)=(3,1,1)\) 時,\(\displaystyle \frac{n}{120}=1\) 不是分數,不合,

 有 \(4\times2\times2-1=15\) 種可能。

二、若約到最簡分數後分子為 \(2\),則

 \(n=2^a\cdot3^b\cdot5^c\),

 其中 \(a=4\),\(b=0,1\),\(c=0,1\)

   但是 \((a,b,c)=(4,1,1)\) 會讓 \(n>120\) 不合

 有 \(1\times2\times2-1=3\) 種可能。

三、若約到最簡分數後分子為 \(3\),則

 \(n=2^a\cdot3^b\cdot5^c\),

 其中 \(a=0,1,2,3\),\(b=2\),\(c=0,1\)

   但是 \((a,b,c)=(3,2,1),(2,2,1)\) 會讓 \(n>120\) 不合

 有 \(4\times1\times2-2=6\) 種可能。

四、若約到最簡分數後分子為 \(4\),則

 \(n=2^a\cdot3^b\cdot5^c\),

 其中 \(a=5\),\(b=0,1\),\(c=0,1\)

   但是 \((a,b,c)=(5,1,1),(5,0,1)\) 會讓 \(n>120\) 不合

 有 \(1\times2\times2-2=2\) 種可能。

五、若約到最簡分數後分子為 \(5\),則

 \(n=25\times1,25\times2,25\times3,\) 或 \(25\times4\)

 有 \(4\) 種可能。

六、若約到最簡分數後分子為 \(6\),則

 \(n\geq2^4\times3^2=144\) 不可能,此與 \(n\leq120\) 相矛盾。

七、若約到最簡分數後分子為 \(7\),則

 \(n=7\times 2^a\cdot3^b\cdot5^c\),

 其中 \(a=0,1,2,3\),\(b=0,1\),\(c=0,1\)

   但是 \((a,b,c)=(3,1,1),(2,1,1),(1,1,1),(3,0,1),(3,1,0),(2,0,1)\) 會讓 \(n>120\) 不合

 有 \(4\times2\times2-6=10\) 種可能。

八、若約到最簡分數後分子為 \(8\),則

 \(n=2^6\),有 \(1\) 種可能。

九、若約到最簡分數後分子為 \(9\),則

 \(n=27\times1,27\times2,27\times4\),有 \(3\) 種可能。

以上共 \(15+3+6+2+4+0+10+1+3=44\) 種。



不知道有沒有碰巧多列或漏列的呢?有勞大家了?

不知道除了條列之外,有沒有更好的做法。感謝。

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第 9 題:

因為 \(\overline{aa}\) 與 \(\overline{bb}\) 皆有 \(11\) 的因數,

所以 \(\overline{aa}^2\) 與 \(\overline{bb}^2\) 皆有 \(11^2\) 的因數,

亦即 \(\overline{aabb}\)  也有 \(11^2\) 的因數,

而 \(\overline{aabb}=1000a+100a+10b+b=11(100a+b)\)

\(\Rightarrow 11\Bigg| (100a+b)\Rightarrow 11\Bigg| \left(99a+(a+b)\right)\Rightarrow 11\Bigg| (a+b)\)

且因為 \(a,b\) 皆為 \(0\) 到 \(9\) 的阿拉伯數字,所以 \(a+b=11\)

檢查 \(22^2+99^2=10285\) 不合

   \(33^2+88^2=8833\Rightarrow \overline{aa}=88,\,\overline{bb}=33\)

   \(44^2+77^2=7865\) 不合

   \(55^2+66^2=7381\) 不合

ps. 考試時候要速度的話,可以先檢查個位數字,

  如: \(22^2\) 個位數字為 \(4\),\(99^2\) 個位數字為 \(1\),

  兩者個位數字和為 \(5\) ,不會是 \(2\) 或 \(9\),因此不合,不用真的算出來相加。


  另解也可以列 \(1^2,2^2,\cdots,9^2\) 的個位數字,

  然後看有沒有哪兩者相加的個位數字會回到其中一個,

  然後再條列計算一下,應該也很快。

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