計算第 1 題：
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
[解答]
解法一：
如圖，以 \(B\) 為旋轉中心，將 \(\triangle BCP\) 旋轉，
使得 \(\overline{BC}\) 貼齊 \(\overline{AB}\)，且 \(P\) 旋轉至 \(Q\) 點位置，
則 \(\triangle PQB\) 是三內角為 \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\) 的等腰直角三角形，
且 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}, \overline{PC}=\overline{AQ}=1\)
因為 \(\overline{AQ}^2+\overline{AP}^2=1^2+7^2=(5\sqrt{2})^2=\overline{PQ}^2\)，所以 \(\triangle APQ\) 亦為直角三角形，
\(\cos\angle AQB=\cos\left(45^\circ+\angle AQP\right)\)
用和角公式展開，可得 \(\cos\angle AQB\)
在 \(\triangle AQB\) 中，用餘弦定理，即可得 \(\overline{AB}^2\)
解法二：
令 \(x=\overline{AB}\)
由餘弦定理，可得
\(\displaystyle\cos\angle ABP=\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}, \cos\angle CBP=\frac{x^2+5^2-1^2}{2\cdot 5\cdot x}\)
因為 \(\angle ABP\) 與 \(\angle CBP\) 互餘，所以 \(\cos^2\angle ABP+\cos^2\angle CBP=1\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}\right)^2+\left(\frac{x^2+5^2-1^2}{2\cdot 5\cdot x}\right)^2=1\)
解 "\(x^2\)" 的一元二次方程式，可得 \(x^2=18\) 或 \(x^2=32\)
且因為 \(\angle ABP\) 為銳角，所以 \(\displaystyle \cos\angle ABP=\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}>0\)
故，\(x^2=18\) 不合，
因此，\(x^2=32\)
解法三：
因為 \(\overline{PA}^2+\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{PD}^2\)
（等號左右兩邊～都會等於四段彩色的線段平方之和）
\(7^2+1^2=5^2+\overline{PD}^2\Rightarrow\overline{PD}=5\)，所以 \(\overline{PD}=\overline{PB} \)
因此，\(\triangle ABP\) 與 \(\triangle ADP\) 全等，\(\triangle CBP\) 與 \(\triangle CDP\) 全等，
故，\(A,P,C\) 三點共線，\(\overline{AC}=7+1=8\) 為對角線，
正方形 \(ABCD\) 邊長為 \(4\sqrt{2}\)，面積為 \(32.\)
