9.
已知a,b為實數，若\( ax^{17}+bx^{16}+1 \)能被\( x^2-x-1 \)整除，則a=？
(1988AIME，94嘉義女中，2006TRML團體賽)
(100楊梅高中，
https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html)
12.
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是由正整數所組成的等比數列，而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <... a_n \le \)。試求n的最大值，且其公比為r，則此(n,r)=？
Find the longest possible geometric progression in {100, 101, 102, ... , 1000}.
(4th Canadian Mathematical Olympiad Problems 1972，
https://schoolexercisebooks.blog ... tical-olympiad.html)
已知\( a_1、a_2、...、a_n \)是由正整數所組成的等比數列，而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <...< a_n \le 1000 \)。
(91高中數學能力競賽 獨立研究試題二，
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_02.pdf)
113.5.11補充
15.
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(\cases{f(x+3)\ge f(x)+3\cr f(x+1)\le f(x)+1}\)都成立，試求\(f(2011)=\)
。
連結有解答，
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(f(x+3)\ge f(x)+3\)，\(f(x+1)\le f(x)+1\)都成立，試求\(f(2024)=\)
。
(113武陵高中，
https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html)
17.
已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{2011} \)共2011個數，若規定『運算一次』如下：『消去其中兩數a,b，再加上另一數\( a+b+ab \)』，則經過2010次的『運算一次』後，只剩下一數，則此數為何？
已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{2008} \)共有2008數，規定「運算一次」如下：消去其中二數a,b，再加入另一數\( a+b+ab \)，經過2007這樣的運算後只剩一數，試問此數為何？
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題，
https://math.pro/db/thread-919-1-9.html)
已知有\( \displaystyle 1、\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、...、\frac{1}{2001} \)共有2001個數，規定“操作”一次如下：拿掉其中任兩數a,b後，其餘不動，再加入一數\( a+b+ab \)，經過2000次這樣的操作之後只剩一數，求此數。
(2001TRML個人賽)
楊明雯，2001TRML個人賽之解法，科學教育月刊，第244期
https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... 09345be7f/16-21.pdf
18.
一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點，若\(\overline{CF}=1\)，\(\overline{FG}=13\)，\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{HI}=7\)，則\(\overline{DE}=\)
。
正三角形\(ABC\)交一圓於六個點，若\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{GF}=13\)，\(\overline{FC}=1\)，\(\overline{HJ}=7\)，則\(\overline{DE}\)之長為
。
(101高中數學能力競賽 台北市筆試二試題，
https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)
20.
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF，由ABCDEF任取相異三點圍三角形，求此種三角形面積的期望值=？
(高中數學101 P286)
在半徑為1的圓上取6個六等分點，從中任取三點A，B，C，則ΔABC面積的期望值為？
(93國立大里高中，
https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF，在6個頂點中任取相異3點作三角形的頂點，則此三角形周長的期望值為何？
(99清水高中，
https://math.pro/db/thread-1017-1-2.html)
