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為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣?

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在下不才,也來試試,我實在不明白相同物為何要改用相異物觀點。

以簡單例子來說:將2白球分給甲乙兩人,恰一人沒有拿到球的機率。
以相同物觀點是:樣本空間 (甲,乙)=(2,0)、(1,1)、(0,2),故所求機率為 2/3。
以farewell324的觀點,上述樣本空間中(1,1)含有兩種情況:
若將球編號為白1白2,則可分成(白1,白2)、(白2、白1)
另外兩個(2,0)、(0,2)則不可再分,
所以樣本空間應為: (甲,乙)=(白1白2,0)、(白1,白2)、(白2,白1)、(0,白1白2),所求機率為2/4。

以上兩個樣本空間,在各自的討論範圍(相同物或相異物)中,都是正確的。

在相同物中,若硬是要將球編號,則哪顆球先分出去是不同的情況,
所以樣本空間應為: (甲,乙)=(白1白2,0)、(白2白1,0)、(白1,白2)、(白2,白1)、(0,白1白2)、(0,白2白1)
所求機率為4/6=2/3是一樣的。

這時一定會問,那若是相異物該如何,例如1紅1黃球分給甲乙兩人,恰一人沒有拿到球的機率,
樣本空間為(紅黃,0)、(黃紅,0)、(先拿紅,後拿黃)、(後拿紅,先拿黃)、(先拿黃,後拿紅)、(後拿黃,先拿紅)、
(0,紅黃)、(0,黃紅)
所求機率為4/8=2/4,與前述相異物分球機率一樣。

因此,在這問題:將10個相同的球分給甲乙兩人,甲獨得10球的機率是多少?
(10,0)可分成 10! 種不同情況
(9,1)也可分成 10! 種不同情況
所以機率仍是1/11無誤。

以上只是自己觀點,試著回答看看而已。

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回復 12# andydison 的帖子

謝謝您的回饋,不僅將球視為相異物,再依不同順序分球
事實上,
 andydison認為"將球編號,則哪顆球先分出去是不同的情況" 
 這是明顯的不合理。
 如果每個球是公平的分配,那麼哪顆先分怎麼可能會有差異呢?
 由於每顆球分配時均為獨立事件,因此您將球衣不同順序分出
 不過是將整個樣本空間等比例放大而已(如同您後面所述10!、9!),但機率不可能會改變

but,那麼為何依照andydison所列,樣本空間不是4*2!=8 種呢?
 因為andydison除了
 (甲,乙)=(白1白2,0)、(白2白1,0)、(白1,白2)、(白2,白1)、(0,白1白2)、(0,白2白1)外
 您少列了兩種: (白1,白2)、(白2,白1)
 既然甲獨得兩白球有(先分到白1、再分到白2)或是(先分到白2、再分到白1)兩種狀況
 那麼(白1,白2)自然也有(甲先分到白1、乙再分到白二)&(乙先分到白2、甲再分到白1)
    同理,(白2,白1)也有(乙先分到白1、甲再分到白二)&(甲先分到白2、乙再分到白1)各兩種狀況
 因此,因為您漏掉了這兩種,否則答案仍為4/8=1/2
    即便乘了9!、10!後,答案仍然以相異物的觀點為符合
 
 如此,您明白相同物為何要改用相異物觀點切入了嗎?

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回復 13# farewell324 的帖子

我還是不明白為何相同物問題要改用相異物觀點,明明結果不一樣。

您有說到「將球編號,則哪顆球先分出去是不同的情況,這是明顯的不合理。如果每個球是公平的分配,那麼哪顆先分怎麼可能會有差異呢?」
我也認為多此一舉,就像原問題是說相同球,甲乙各拿一球就是一種情況,怎麼還要分成兩種呢?
球是公平的分配,那麼甲乙拿哪顆白球怎麼可能會有差異呢?
因此,將相同球編號以相異物觀點討論,本就是不合理的事。

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回復 14# andydison 的帖子

古典機率的定義,需要先滿足「樣本空間中每個樣本點的發生機會均等」。

可以先看看以前討論過的 https://math.pro/db/thread-1109-1-1.html 這篇。

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成大統計劉應興副教授在 PTT 關於本問題的說法

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-29 09:14 AM 編輯 ]

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20140529.jpg (134.44 KB)

2014-5-29 09:04

20140529.jpg

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回復 16# thepiano 的帖子

我的看法相同,在  weiye 老師的連結,已經是2年前的回文了
引用:
原帖由 tsusy 於 2012-4-30 10:46 PM 發表
個人認為,真正的問題,在於 #3 所給之問題題意不明

「將6個相同的球,放進甲、乙、丙等3個不同的箱子中,每箱球數不限,則甲箱恰得2球的機率為何?」

敘述中,並不任何隨機、機率的敘述,才會造成各個的解讀的不同

舉例來說:丟一 ...
網頁方程式編輯 imatheq

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回復 16# thepiano 的帖子

是的,在與這裡、及美夢成真論壇的老師討論後(似乎認同我想法的並不多),
我廣泛地尋求各種意見,而在PTT 發表文章詢問的也是小弟我,
除了yhliu留言之外,也尚有更多人回覆指教。
也提供另外一個答覆給各位,我請教的是前中一中的賴瑞楓老師,我想由他來做教甄的試教委員是最適合不過了
http://gb.tovery.net/jflai/   第#594則留言

如果說不以相異物的觀點視之,我比較能夠接受題意沒有敘述清楚這種說法。
如果將分球改為擲公平的硬幣,則較不會有各自表述的問題發生(除非老師仍存有迷思,堅持使用重複組合)

只是就分球原題的敘述,也許嚴格一點看來並不夠完整,
但正如同版上兩年前的這篇討論中,詳細的命題有時會讓人有畫蛇添足的感覺
如此地敘述應該還是可以讓人知道就是"公正的分球"
若要用重複組合來分,就必須在分球前先看到樣本空間中所有分球的可能性
再令每種可能發生的機會均等,重複組合的作法才會正確(但要在題目中如此敘述將更加複雜)

謝謝各位的悉心指教,
我想來這裡討論數學是開心的,但問問題並不是就是要"虛心接受指教",而是在討論中傾聽不同的說法
有既定的想法很好,可以互相討論,就此認定沒有討論的空間就很難再溝通下去
就像若學生來問問題,老師的回應是武斷而沒有傾聽空間的
或是直接請你去鑽研其他題目,別再問了。這樣的回覆實在讓人感覺很糟糕。
由於先前在美夢成真論壇的討論並不那麼令人開心,因此態度上若有讓各位覺得不舒服的地方,請多見諒!
謝謝各位在這裡奉獻想法,營造了一個討論數學的優良環境,非常感謝!

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 10:16 AM 編輯 ]

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你是來指教我們,不是來傾聽不同的說法

你是來告訴我們,你的觀點才是對的,而我們某些人的觀點是錯的

我可以很簡單的舉出一種分法,證明用重複組合來做是對的,不過懶得寫了

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回復 19# thepiano 的帖子

其實這些討論過程與數學、甚至這裡都沒有關係,
把紛爭帶來這裡相信不是大家所樂見的,我只想講我請益的想法,信不信...就在您了

感謝piano老師的熱心,在板上幫忙解了這一題,(且選的到正確答案)
而我在數年後一樣寫到這一題,有不同的想法但因為沒有答案可以選,
因此留言請教piano老師當時解題的想法。 
在此一階段,我的本意就是請教想法,而我也留下了我的想法供piano老師參考。

而在piano老師明確的告知解題想法後,
我查閱了各方資料(包含mathpro幾年前的討論),確定我的作法應該並沒有錯誤的時候
我才有了自己的意見,並主張自己的想法。
如果讓piano老師有種跳入陷阱的感覺,我實在非常抱歉。
畢竟您的熱心實在幫助我非常多,而我由衷的感激。

接著有其他人要加入討論,主張他的意見當然是好事,
若是想要跳出來"指教別人"的也歡迎,但至少要先能提出正確的觀點說服人才行

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 11:33 AM 編輯 ]

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你確定你的做法正確,那是你的事,犯不著對跟你想法不同的人說三道四

我很後悔幫助到你,以後看到你的帖子,我會略過

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