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為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣?

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引用:
原帖由 shiauy 於 2012-4-27 01:29 PM 發表
分子:\(H^{2}_4\)
看成是y+z=4的非負整數解

分母:\(H^{3}_6\)
看成是x+y+z=6的非負整數解

請問這跟f大的答案差異
造成出入的原因為何?
有出入的原因是因為你把球視為一樣 ^^
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回復 8# tsusy 的帖子

個人認為,真正的問題,在於 #3 所給之問題題意不明

「將6個相同的球,放進甲、乙、丙等3個不同的箱子中,每箱球數不限,則甲箱恰得2球的機率為何?」

敘述中,並不任何隨機、機率的敘述,才會造成各個的解讀的不同

舉例來說:丟一枚公正的硬幣,正反出現的機率皆為 \( \frac{1}{2} \)

就是公正二字,告訴了我們隨機、機率的訊息。

如果,今天是丟一枚不公正的硬幣,那又有誰曉得正反的機率是多少呢?

但實際上,在經過做題目的制約作用後,往往我們會習慣,談硬幣、骰子,就是公正、正常的硬幣、骰子

而古典機率中,使用事件集合的元素個數/樣本空間的元素個數

回到硬幣的問題,我們所知「公正」的事是每個硬幣出現正反的機會一樣

而樣本空間本身,是一種人為的定法,我們兩個人可以各自定義不同的樣本空間,

但只要這兩個樣本空間是公平,那計算的機率就相同。

例如在撲克牌的問題,5 張牌,計算 2 pairs 或 三條等的機率

有人覺得,要算機率,不管三七二十一 ,五張視為不一樣,算排列數,算完再除以分母 \( P^{52}_{5} \)

實際上,以前讀書時,某段時間,自己就是這樣。

但實際上,拿到任五張的機率一樣,所以用組合算,算完再除以分母 \( C^{52}_{5} \),答案也是相同。
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老實說,我不太懂TSUSY老師的意思 ^^!!

那TSUSY老師覺得那一題的題目該如何改比較不要造成誤會?

應該這麼說,為什麼有的題目視為相同或相異的結果會一樣,

原因是視為相同時,每一情況在樣本空間出現的機會一樣,
視為相異時,若剛好每一情況的排列數是相同的話,那麼它們在樣本空間出現的機會也會剛好一樣,
所以視為相同與相異的結果都一樣,就如同你舉的撲克牌的例子,

但有的題目將物品視為相同時,每一情況在樣本空間出現的機會並不一樣,

所以不能直接套用古典機率,那會違背古典機率的前提,

通常這個都是題目中的物品是「實際的物體」時才會發生的情形。

[ 本帖最後由 poemghost 於 2012-5-10 09:04 PM 編輯 ]
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回復 9# poemghost 的帖子

也許是我的回答,模糊了焦點,其實我想說的是有沒有自明的隨機性

而當題目沒有自明隨機性的時候,自然會產生誤會

而自明的隨機性,來自哪了?通常是應該是來自實際操作的經驗,這樣說應該還是很模糊,而且也許不對,

舉例來說:箱子中有 6 紅球 5 黃球 3 白球,任取一球,是紅色的機率是 \( \frac{6}{11} \)

問題可以繼續延伸,如問取後不放回,紅球先取完的機率是多?

這個問題中,隱含自明的是:每次取球箱中任一顆球被取到的機率一樣

再一個例子,據說是台大某年的微積分考題

在圓上任取一弦,求弦長的期望值

據說,當時學生算出來多種不同的答案,原因何在?

就是我所說的,缺少自明的「隨機性」,所以不同的人用不同的抽樣方式計算。

如可能這樣計算,選定某一方向的弦算就好了,反正方向對稱,然以架坐標(設半徑 1)

列出這樣的 \( \frac{\int_{-1}^{1} 2\sqrt{1-x^2}dx}{2}  \) 或是 \( \frac{\int_{0}^{\pi} 2 \sin \theta d \theta}{\pi} \)

不知道這個例子,是否能表達出我要說的事了

另外,突然想起來以前考試的時代,也許那時候還沒被制約...

不知道大家是否也有這樣經驗,題目明明是問機率,但敘述中卻是一件確切的事,只是不知道結果而已(好像是一個普查問題...本來抽樣的平均值有隨機性,但一普查,就變母群體的真平均值,是固定的數,沒有隨機性)

然後,在答案欄裡填上 1 或 0,但顯然答案一定不是這樣,之後再跑去找老師說題目敘述的疑義

所以,回到 # 3 的問題,個人的看法是,不是隨機的東西,就不應該亂問機率才是

如果真的要問,可能改成「將6個相同的球,任意放進甲、乙、丙 3個不同的箱子中,每球放入每箱的機率相同,並且互不影響。則甲箱恰得2球的機率為何?」

本來應該是獨立的說法,但用獨立事件敘述,好像有點麻煩 (其實是想用獨立變數,但高中沒有...)

再翻了一下手邊全華第二冊的課本,在習題 3-1 有一個這樣問題,其敘述如下:

將 6 個相同的球,放入甲、乙、丙三個不同的箱子中,S 表甲、乙、丙三箱分別放置球數之樣空本空間,A 表甲箱球數大於乙箱球數之事件,B 表甲、丙兩箱球數和為 5 的事件,
1. 試求 n(S)。
2. 以列舉法表 A 與 B 的積事件。

附帶一提,3-1 的標題是「樣本空間與事件」,之後這個問題在第三章的就沒有再出現過了。

也許編者也有注意到相同的事,所以之後第三章都沒有問這個機率的題目,並把它放在古典機率之前,所以只是單純的樣本空間,並不一定公平

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-29 08:38 AM 編輯 ]
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回復 10# tsusy 的帖子

不知道為什麼,小弟突然聯想到了張海潮教授寫的一篇《審書趣談》

http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/R ... 1-a8c4-4dcaa163d2a3

要點連結中的"詳全文"喔!

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樣本空間的疑問

袋中有三黑四白 自袋中隨機抽取一球 取後不放回 有一種色球取完就停止  全部洽取五球的機率

解1
慮第五顆球是黑球或白球兩種情況
1.第五顆是黑球,前四顆是2黑2白,所以共有4! / (2!2!)=6種
2.第五顆是白球,前四顆是1黑3白,所以共有4!/3!=4種
[ (3*2*1*4*3) / (7*6*5*4*3) ] *6 + [ (4*3*2*1*3) / (7*6*5*4*3) ] *4 = 2/7


解2
(1) 5 球是黑球,前 4 2 2 白:4! / (2!2!) = 6
(2) 5 球是白球,前 4 1 3 白:4! / 3! = 4
所求 = (6 + 4) / [7! / (3!4!)]

Q
請問此題的樣本空間是    7*6*5*4*3  還是  7! / (3!4!)

還有像這種有一樣的色球 在考慮樣本空間  到底是將每個同色球視為相異還是視為相同
如三黑四白 逐一取球  樣本空間是  7!  還是   7!/3!4!  如何跟學生解釋

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樣本空間的問題

袋子中有三顆黑球  四顆白球  每次取出一球取後不放回  而在有一種色球被取完時就停止 則全部取五球的機率是

解1
慮第五顆球是黑球或白球兩種情況
1.第五顆是黑球,前四顆是2黑2白,所以共有4! / (2!2!)=6種
2.第五顆是白球,前四顆是1黑3白,所以共有4!/3!=4種
[ (3*2*1*4*3) / (7*6*5*4*3) ] *6 + [ (4*3*2*1*3) / (7*6*5*4*3) ] *4 = 2/7
解2
(1) 第 5 球是黑球,前 4 球 2 黑 2 白:4! / (2!2!) = 6
(2) 第 5 球是白球,前 4 球 1 黑 3 白:4! / 3! = 4
所求 = (6 + 4) / [7! / (3!4!)]

請問這個問題的樣本空間是  7*6*5*4*3  還是 7! / (3!4!)
這類逐一取球問題在考慮時 樣本空間到底要怎麼考慮  是要本同色球看成相異 還是相同(不盡相異物排列)  
如何跟學生說

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回復 17# YAG 的帖子

這問題延續本討論串,因此合併主題。

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回復 17# YAG 的帖子

在這個問題裡,當成相同球與相異球時,所列樣本空間雖然不同,但是兩個樣本空間
裡的樣本點出現的機會是均等,計算起來是事都可以的,另外注意一件事情,兩種計算
方式分子與分母差別在於是否同乘3!4!,也就是說每一個當成相同物的樣本點會對應
對應4!3!個當成相異物的樣本點。
    跟學生解釋時,我會跟學生說,現在你是閉著眼睛取球,沒有球相不相同問題。
但是要強調的事,依照古典機率的定義,所列出的樣本空間裡的樣本點出現的機會
需均等。

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分相同物品的機率問題

先前在國中教甄,99年南區遇到一個機率問題:

36.(B)   將5個相同的球分給三個小朋友,則其中有一個小朋友沒有分到球的機率是多少?
          (A)2/7  (B)4/7  (C)5/21  (D)7/21

 在友板與人討論,有兩種不同的說法,想向大家請教一下哪一種才是正確的想法:
 (a)  把相同的球編號視為相異物,則所有的可能有3^5=243種
   一個小朋友沒有拿到球:球全部分給另外兩個小朋友 3*(2^5-2)=90
          因此機率為90/243=10/27  .....沒有正確答案

 (b)  這題根本不需要將球編號,一看就要用重複組合方式
          假設第一位得x顆,第二位得y顆,第三位得z顆,x+y+z=5
          S:樣本空間,A:其中有一個人沒有得到球的事件
          n(S)=H(3,5)=C(7,5)=7*6/2=21
          n(A)=C(3,1)*[H(2,5)-2]=3*[C(6,5)-2]=3*4=12
          (先選沒得到球的人,剩下兩人分5球,要扣掉(0,5) ,(5,0) 情況)
          所求p(A)=n(A)/n(S)=12/21=4/7
          A包含在S內,並沒有矛盾,答案也沒有錯~
     您將球編號去分組作,基本上方向就錯了~      此想法由Ellipse老師提供,原文轉述,一開始沒有標註是我的疏忽,非常抱歉!

兩個說法在友版有非常激烈的爭論,這裡討論的人比較多,想知道更多人的想法,謝謝!

[ 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-23 06:50 PM 編輯 ]

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