第 12 題小弟提供另一種作法。

第 12 題：

\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k-1)^5\)

\(\displaystyle = \sum_{k=1}^n (2k)^5 + \sum_{k=1}^n \left(-5(2k)^4+10(2k^3)-10(2k)^2+5(2k)-1\right)\)

\(\displaystyle =32\sum_{k=1}^n k^5+O(n^5)\)

\(\displaystyle =32\left(\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\right)+O(n^5)\)

\(\displaystyle =\frac{32}{6}n^6+O(n^5)\)　　（當 \(n\to\infty\) ）

所以，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)^5}{n^6}=\frac{16}{3}.\)




註：Big-O 定義請見 http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

請問老師填充的第7,8,9題該怎麼做?謝謝!

第 7,8 題用旋轉跟平移（善用轉軸不變量解題速度較快），

第 7,8,9 題的解法，可見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2469 當中 nanage 老師的回覆之中的解題。

第 9 題是常見考古題，在 https://math.pro/db/thread-156-1-1.html 也有用積分的解法（與 thepiano 老師的解題方法一樣）。

謝謝老師!

對吔...了解...感謝^^

什麼原理可以用如此快速的方法呢?...真的快很多

若四次多項式方程式 \(f(x)=0\) 的四個根為 \(a,b,c,d\)，則

令 \(\displaystyle f(x)=k\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\)，其中 \(k\neq0\)，

\(\Rightarrow f\, '(x)=k\Bigg[\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)+\left(x-a\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\)

　　　　　　\(+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-d\right)+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\Bigg]\)

因此，

\(\displaystyle\frac{f\, '(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}\)。

不知有沒有老師可以解一下第13題，謝謝。

轉貼自美夢成甄網站詳解2.7.8.9.12

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:42 AM 編輯 ]

第 13 題

解答：

令 \(\displaystyle h(x)=\int_0^x f(t) dt\)，則

\(h(x)-h(x-1)=x^2\)

所以，

\(\displaystyle h(x)=h(0)+\left(h(1)-h(0)\right)+\left(h(2)-h(1)\right)+\cdots+\left(h(x)-h(x-1)\right)\)

　　\(\displaystyle =0+1^2+2^2+\cdots+x^2\)

　　\(\displaystyle =\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

　　\(\displaystyle =\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}\)

故，

\(\displaystyle f(x)=\frac{d}{dx}h(x)=x^2+x+\frac{1}{6}\)

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上方解法有 bug（有興趣的可以想想看在哪裡），
用來猜出填充題的答案尚可~但其實有點問題~：Ｐ
小弟目前沒想到更好的解法～：Ｐ