100麗山高中

n 不可能是無限大，

r 也不可能是 1，

因為 100a1a2a3an1000

100 到 1000 中至多只有 901 個相異的數！

如附件的表格，由最左上角那一格填起，那一格只有兩種可能～：）

9.
已知a,b為實數，若ax17+bx16+1能被x2−x−1整除，則a=？
(1988AIME，94嘉義女中，2006TRML團體賽)
(100楊梅高中，https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html)

12.
已知a1a2an是由正整數所組成的等比數列，而且滿足100a1a2an。試求n的最大值，且其公比為r，則此(n,r)=？

Find the longest possible geometric progression in {100, 101, 102, ... , 1000}.
(4th Canadian Mathematical Olympiad Problems 1972，https://schoolexercisebooks.blog ... tical-olympiad.html)


已知a1、a2、、an是由正整數所組成的等比數列，而且滿足100a1a2an1000。
(91高中數學能力競賽　獨立研究試題二，http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_02.pdf)

113.5.11補充
15.
設函數f滿足f(1)=2，且對每一個正整數x，f(x+3)f(x)+3f(x+1)f(x)+1 都成立，試求f(2011)=　　　。
連結有解答，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212

設函數f滿足f(1)=2，且對每一個正整數x，f(x+3)f(x)+3，f(x+1)f(x)+1都成立，試求f(2024)=　　　。
(113武陵高中，https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html)

17.
已知有121314112011共2011個數，若規定『運算一次』如下：『消去其中兩數a,b，再加上另一數a+b+ab』，則經過2010次的『運算一次』後，只剩下一數，則此數為何？

已知有1213112008共有2008數，規定「運算一次」如下：消去其中二數a,b，再加入另一數a+b+ab，經過2007這樣的運算後只剩一數，試問此數為何？
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題，https://math.pro/db/thread-919-1-9.html)

已知有1、21、31、41、、12001共有2001個數，規定“操作”一次如下：拿掉其中任兩數a,b後，其餘不動，再加入一數a+b+ab，經過2000次這樣的操作之後只剩一數，求此數。
(2001TRML個人賽)
楊明雯，2001TRML個人賽之解法，科學教育月刊，第244期
https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... 09345be7f/16-21.pdf

18.
一圓交一正三角形ABC於D、E、F、G、H、I六點，若CF=1，\overline{FG}=13，\overline{AG}=2，\overline{HI}=7，則\overline{DE}=　　　。

正三角形ABC交一圓於六個點，若\overline{AG}=2，\overline{GF}=13，\overline{FC}=1，\overline{HJ}=7，則\overline{DE}之長為　　　。
(101高中數學能力競賽　台北市筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)

20.
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF，由ABCDEF任取相異三點圍三角形，求此種三角形面積的期望值=？
(高中數學101　P286)

在半徑為1的圓上取6個六等分點，從中任取三點A，B，C，則ΔABC面積的期望值為？
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF，在6個頂點中任取相異3點作三角形的頂點，則此三角形周長的期望值為何？
(99清水高中，https://math.pro/db/thread-1017-1-2.html)

請問瑋岳老師，這要從何下筆破題勒

7.
恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
我剛剛解出來了，把我的作法分享出來。
[\sqrt{1}]=1,[\sqrt{2}]=1,[\sqrt{3}]=1
[\sqrt{4}]=2,[\sqrt{5}]=2,[\sqrt{6}]=2,[\sqrt{7}]=2,[\sqrt{8}]=2
[\sqrt{9}]=3,\ldots
所以由此觀察可知道
1^2=1,2^2=4,4-1=3個
2^2=4,3^2=9,9-4=5個
3^2=9,4^2=16,16-9=7個
\ldots
30^2=900,31^2=961,961-900=61個
31^2=961,32^2=1024,1024-961=63個
所以整數值為31

請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下

7.
恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
您是用列舉法,其實可以這樣做
令此連續63個整數最小為a,最大為a+62
依題意知0<(a+62)^0.5 -a^0.5<1
所以(a+62)^0.5<1+a^0.5
a+62<1+2*a^0.5+a
30.5<a^0.5
因為a是整數所以a^0.5>=31
a>=961=31^2
又a+62=1023,但a+63=1024=32^2
從961~1023共63個
且開根號後的整數部份皆相同
所求=31

已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597

7.
恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
(n+1)^2-n^2=63
解出 n 之後從 n^2 到 (n+1)^2-1
另外，為求閱讀順暢，請附圖檔，不要附pdf檔，感謝。

仔細看我之前回覆中的表格的話，

就會發現 b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.

：）

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然後小弟模仿 thepiano 老師的解法，來解一下 b...（詳見如下或附件）