101中正高中二招

請問

１.　１+２(１+３)+３(１+３+６)+４(１+３+６+１０)+........+１７(１+３+６+.....+１５３)=?

２.　一線段ＡＢ,ＡＢ長為根號３,　若ＡＭ=ＭＮ=ＮＢ,　且三角形ＡＭＢ面積為Ｓ,　三角形ＭＮＢ面積為Ｔ,求Ｓ^２+Ｔ^２之最大值＝?

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-28 06:39 AM 編輯 ]

7.
\( 1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+...+17(1+3+6+...+153)= \)？
[解答]
\( f(0)=0 \)，\( f(1)=1 \)，\( f(2)=1+2(1+3)=9 \)，\( f(3)=1+2(1+3)+3(1+3+6)=39 \)，\( f(4)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)=119 \)
\( f(5)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+5(1+3+6+10+15)=294 \)
\( f(6)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+5(1+3+6+10+15)+6(1+3+6+10+15+21)=630 \)

\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
0 & & 1 & & 9 & & 39 & & 119 & & 294 & & 630 \cr
& 1 & & 8 & & 30 & & 80 & & 175 & & 336 & \cr
& & 7 & & 22 & & 50 & & 95 & & 161 & & \cr
& & & 15 & & 28 & & 45  & & 66 & \cr
& & & & 13 & & 17 & & 21 & & \cr
& & & & & 4 & & 4 & & & } \)
\( f(n)=0 \times C_0^n+1 \times C_1^n+7 \times C_2^n+15 \times C_3^n+13 \times C_4^n+4 \times C_5^n \)

8.
將6個A，6個B及6個C共18個字母排成一列，使得前6個字母沒有Ａ，中間6個字母沒有B，最後6個字母沒有C，試問共有多少種排列方式？
https://math.pro/db/thread-454-1-1.html

9.
若\( a,b,x,y \in R \)，\( \displaystyle \cases{a+b=4 \cr ax+by=13 \cr ax^2+by^2=41 \cr ax^3+by^3=127} \)，求\( ax^4+by^4 \)
https://math.pro/db/thread-799-1-1.html
[另解]
\( \Bigg\vert\; \matrix{4 & 13 & 41\cr 13 & 41 & 127\cr 41 & 127 & a_4} \Bigg\vert\;=0 \)
\( a_4=389 \)

計算題
3.
令\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{729}} \)，若\( [\; x ]\; \)表不大於x的最大整數，求\( [\; S ]\;= \)？
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

4.
求\( \displaystyle tan \frac{\pi}{7} \cdot tan \frac{2\pi}{7} \cdot tan \frac{3\pi}{7} \cdot tan \frac{4\pi}{7} \cdot tan \frac{5\pi}{7} \cdot tan \frac{6\pi}{7}= \)？

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-30 08:36 PM 編輯 ]

１.　１+２(１+３)+３(１+３+６)+４(１+３+６+１０)+........+１７(１+３+６+.....+１５３)=?

這題括號內其實是(1+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3+......+n)) = n(n+1)(n+2)/6  這樣的形態
再來就用級數去求就可以~

注意的是會出現求級數K^4  我是用 級數(K+1)^5 - K^5 去導的
而這方法剛好是計算最後一題問的東西!!

請問填充第6題橢圓焦點的座標答案是否有誤??

我找出來的是同為正，同為負，並非答案給的一正一負，

另外請問老師們，計算第1、2題應該怎麼處理呢??

能否稍微指點一下，謝謝您。

[註]：已在美夢成真討論區看到鋼琴老師的詳解，謝謝您。

[ 本帖最後由 bluewing 於 2012-6-30 10:09 PM 編輯 ]

我很喜歡這個題目求正交弦長，但求不出來 可否指點一下，謝謝

去年中正就考過了。

抱歉~這題我也想不出來 應該是有規律 請指點一下 謝謝

下圖為一個正八面體。一隻螞蟻自正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點處牠會從四條稜邊中隨機地選擇一條向另一頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。則螞蟻自上方頂點爬行到下方頂點，所經過的稜邊數的期望值為　　　。
[解答]
設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案


105.4.24補充
右圖為一個正二十面體，每邊長度均為1。有一螞蟻由\(A\)點出發，只走邊，且在頂點時轉向任意邊的機率相等，求走至\(M\)點距離之期望值？
(105板橋高中，https://math.pro/db/thread-2483-1-1.html)

請教各位老師，計算3算出來的結果S在52.~與54之間，請問[S]要取多少？這題跟之前考古題比較感覺是特殊情況題

[ 本帖最後由 brace 於 2012-7-1 08:28 AM 編輯 ]

計算 3. 做了一下，沒什麼問題 \( 52+\frac1{27}\leq S \leq 53 \)

也許是估計做的不夠準，而主要的誤差來源在於前幾項，

所以保留部分項，其它再估計吧