請教一題三角函數

求3cos92cos94+3cos94cos98+3cos98cos92 的值


算了好久
不知道要用什麼方法

求3cos92cos94+3cos94cos98+3cos98cos92 的值

求以cos92，cos94，cos98為根的三次方程式
=929498滿足cos3=−21
cos3=4cos3−3cos
所求方程式為4x3−3x=−21　，　8x3−6x+1=0
利用根與係數的關係可以得到三根之和為0，兩兩相乘的和為−43，三根之積為−81


若要求三根平方的方程式
x(8x2−6)=−1　，　x2(8x2−6)2=1　，　y(8y−6)2=1　，　64y3−96y2+36y−1=0
若要求三根立方的方程式
8x3+1=6x　，　(8x3+1)3=(6x)3　，　(8y+1)3=216y　，　512y3+192y2−192y+1=0
但這題要的是立方根的方程式
8x3+1=6x　，　38x3+1=36x   
將3x 換成y，但左式就換不出來了

或許有其他的方法可以解出答案

我在淡江圖書館找到這題的解答
Jiří Herman, Radan Kučera, Jaromír Šimša
Equations and Inequalities:Elementary Problems and Theorems in Algebra and Number Theory
第81頁

書上的題目是3cos72+3cos74+3cos76=321(5−337) 
相同的方法就可以解出答案
3cos92+3cos94+3cos98=32339−3 
3cos92cos94+3cos94cos98+3cos98cos92=343(1−39) 

用maxima驗證答案
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=3#pid2756

109.7.12補充
3cos40+3cos80−3cos20=323(39−2) 
(101高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html)

113.3.31補充
101學年度全國高中數學科能力競賽決賽在彰師大數學系舉行，其中的筆試試題(一)第二題就是證明拉馬奴姜的恆等式3cos40+3cos80−3cos20=323(39−2) 
在五十位考生中只有一位作對，而且是位高二的女生，以下是羅啟心這位女學生的作法：
(龍騰數亦優第22期，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/att ... ngtengmath_22th.pdf)

龍騰出版社數亦優第 22 刊提供羅啟心女同學對拉瑪奴姜恆等式3cos40+3cos80−3cos20=323(39−2) 
的一種證法。本人試圖利用另一種方法來證明這個拉瑪奴姜恆等式，請看下文的剖析。
(數亦優第45期，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/att ... ungtengmath45th.pdf)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
上個世紀初期，當印度數學家拉瑪奴姜在英國留學時，他的老師哈代常常好奇的問說「你每天早上一起床，就寫下這麼多的恆等式，到底是如何發生的？」拉瑪奴姜總是說「那些是昨晚神明託夢給我的。」例如，其中一個等式3sec40+3sec80−3sec20=36(39−1)  ，本文試圖去證明上述等式達人拉瑪奴姜的等式，以下是證明的過程。
(數亦優第36期，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/att ... ngmath_36th.pdf.pdf

Google 圖書有 第82頁，該頁最中間那一段就是整個解法的核心！

註：bugmens 真是太強了～

那我把這題的求解過程補完好了，請見如下：



令 y1=cos92y2=cos94y3=cos98，

先求出以 y1y2y3 為三根的一元三次方程式 y3−43y+81=0（這一步驟可見最上方 bugmens 的第一次回覆）

因此可得 y1+y2+y3y1y2+y2y3+y3y1y1y2y3===0−43−81



設以 3y13y23y3  為根的方程式為 z3−Az2+Bz−C=0，則可得

3y1+3y2+3y33y1y2+3y2y3+3y3y13y1y2y3===ABC



顯然，C=3−81=−21 ，




再來要利用 m+p+q3=m3+p3+q3+3m+p+qmp+pq+qm−3mpq ‧‧‧‧‧※※（←　整個解法的核心之一！）



（ｉ）將 mpq 分別以 3y13y23y3  帶入※※，

可得　3y1+3y2+3y33=y1+y2+y3+33y1+3y2+3y33y1y2+3y2y3+3y3y1−33y1y2y3 

　　A3=3AB+23　．．．．（第一式）



（ｉｉ）將 mpq 分別以 3y1y23y2y33y3y1  帶入※※，

可得　B3=−43−23BA−43

　　B3=−23AB−23　‧‧‧‧（第二式）





將〝（第一式）乘（第二式）〞，

可得 (AB)3=3AB+23−23AB−23 

把 AB 視為一個變數，可解其一元三次方程式（這一部分可能要套一元三次方程式的公式解比較快），

得其中的實根 AB=−23+39 

再分別帶入（第一式）及（第二式），

即可得 A=32339−3  且 B=343(1−39) ，

亦即，

3cos92+3cos94+3cos98=32339−3 

且

3cos92cos94+3cos94cos98+3cos98cos92=343(1−39) 



^____^

補上相關的題目
Prove the identity
3cos72+3cos74+3cos78=321(5−337) 

https://artofproblemsolving.com/community/c6h370998
https://artofproblemsolving.com/community/c6h363946p1998666
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1079891p4739612


設
=cos72+isin72
=+6=2cos72，
=2+5=2cos74，
=3+4=2cos76，
求以，，為三根的三次方程式為？
(88高中數學能力競賽　宜花東區試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2000_Taiwan_High_Ilan_02.pdf連結已失效


試證：2cos72為x3+x2−2x−1之一根
(88高中數學能力競賽　高屏區試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2000_Taiwan_High_Pingtung_02.pdf連結已失效


若n1002cos72100n+1，nN，則n=。
(99建國中學，https://math.pro/db/thread-968-1-1.html)

書裡還有很多值得準備的題目，google books有的我就將網址列出來
沒有的我就將內容抄出來，想知道更多題目可以到圖書館去找這本書。

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Prove that the number c=391+3−92+394  is a zero of F(x)=x^3+\root 3 \of 6 x^2-1 .
第44頁
http://books.google.com.tw/books?id=l0CDp-YVyjoC&lpg=PP1&ots=01zdioOshi&dq=Equations%20and%20Inequalities:Elementary%20Problems%20and%20Theorems%20in%20Algebra%20and%20Number%20Theory&pg=PA44#v=onepage&q&f=true



求滿足下列等式的數a： \displaystyle \root 3 \of{\root 3 \of 2 -1}=\frac{1}{\root 3 \of a}(1-\root 3 \of 2+\root 3 \of 4)
(1995日本奧林匹克預選賽)

若 \displaystyle \root 3 \of{\root 3 \of 2 -1}=\root 3 \of a+\root 3 \of b+\root 3 \of c ，則 a+b+c= ？
(92高中數學能力競賽，高中數學101　P25)

110.9.23補充
\displaystyle \root 3 \of{\root 3 \of 2 -1}=\root 3 \of a+\root 3 \of b+\root 3 \of c ，其中a、b、c \in Q。求a+b+c=　　　。
(100中科實中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=3#pid3377)

112.8.21補充
已知實數x滿足拉馬努金等式\displaystyle \root 3 \of{\root 3\of 2-1}=\frac{1-\root 3\of 2+\root 3 \of 4}{x}，求實數x的值。(須以最簡單形式表示)
(111高中數學能力競賽　第一區(花蓮高中)口試試題，https://math.pro/db/thread-3782-1-1.html)

當\root 3\of{\root 3\of{16}-2}=\root 3\of a+\root 3\of b+\root 3\of c，其中a,b,c \in Q。求a+b+c。
(109第1學期中山大學雙週一題)

110.2.25補充
若a是一個有理數且滿足\displaystyle \frac{1}{\root 3 \of 4+\root 3 \of 2+a}=\alpha \root 3 \of 4+\beta \root 3 \of 2+\gamma，其中\alpha,\beta,\gamma為有理數。試求\alpha,\beta,\gamma(用a表示)
(109北科附工，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3326&page=2#pid21223)

111.1.10補充
有理化 \displaystyle \frac{1}{\root 3 \of 2+\root 3 \of 3+\root 3 \of 5}
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
For the expression
\displaystyle Q(n)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdot \cdot \frac{2n-1}{2n} 　　　　　　　　( n \ge 2 )
we will prove the bounds \displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{n}}<Q(n)<\frac{1}{\sqrt{2n+1}} .
第103頁
http://books.google.com.tw/books?id=l0CDp-YVyjoC&lpg=PP1&ots=01zdioOshi&dq=Equations%20and%20Inequalities:Elementary%20Problems%20and%20Theorems%20in%20Algebra%20and%20Number%20Theory&pg=PA103#v=onepage&q&f=true


\displaystyle a_n=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdot \cdot (2n)} ，試求 \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n 。
(97文華高中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781)

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Show that for arbitary x,y,z \in R we have
\displaystyle (\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6})^2 \le \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{6} 　　　　　　　　(43)
Furthermore,determine when equality occures in (43).
第129頁
http://books.google.com.tw/books?id=l0CDp-YVyjoC&lpg=PP1&ots=01zdioOshi&dq=Equations%20and%20Inequalities:Elementary%20Problems%20and%20Theorems%20in%20Algebra%20and%20Number%20Theory&pg=PA129#v=onepage&q&f=true


求 \displaystyle (\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6})^2=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{6} 的所有整數解。
(90高中數學能力競賽　中彰投區試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2002_Taiwan_High_Taichung_02.pdf　連結已失效


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Show that the inequality \sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{50-3x}\le 12 holds for all values x \in R for which the left-hand side is defined.

SOLUTION.　By (48) with n=3 , u_1=\sqrt{x+1} , u_2=\sqrt{2x-3} , and u_3=\sqrt{50-3x}
we have (\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{50-3x})^2 \le 3(x+1+2x-3+50-3x)=144 ,
from which, upon taking the square root, we obtain the result.


求函數 y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x} 的最大和最小值。
(2009大陸高中數學競賽)


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Given an aribitrary prime p, solve the Diophantine equation x^4+4^x=p .(第245頁)
SOLUTION.　For any integer x<0 , 4^x is not an integer, and neither is x^4+4^x .
Thus for any prime p, the given equation has no negative solution.
For x=0 we have 0^4+4^0=1 , which is not a prime, and for x=1 we have 1^4+4^1=5 , a prime.
We will now show that for any integer x\ge 2 , the number x^4+4^x is composite. If x=2k is even, where k \in N , then
x^4+4^x=2^4 k^4+4^{2k}=16(k^4+4^{2(k-1)}) ,
which is a composite number. If x=2k+1 ( k \in N ) is odd, then
x^4+4^x=x^4+4 \cdot 4^{2k}=[x^4+4x^2(2^k)^2+4(2^k)^4]-4x^2(2^k)^2
　　　　 =[x^2+2(2^k)^2]^2-(2x \cdot 2^k)^2
　　　　 =[x^2+2x \cdot 2^k+2(2^k)^2][x^2-2x \cdot 2^k+2(2^k)^2]
　　　　 =[(x+2^k)^2+2^{2k}][(x-2^k)^2+2^{2k}] ,
which is again compostie, since (x±2^k)^2+2^{2k}\ge 2^{2k} \ge 2^2 >1 .
To summarize, for p=5 the given equation has the unique solution x=1 ,while there are no solutions for any prime p \ne 5


Prove that if n>1 then n^4+4^n is compostie.
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=328143


設 n,a 為自然數，試證：有無限多個a使得 n^4+a 必不為質數
(藍藍天上一朵雲　歷屆教甄考題整理2005版第75題)


Prove that there are infinitely many natural numbers a with the following property: the number z=n^4+a is not prime for any natural number n.
(1969IMO，http://www.artofproblemsolving.c ... p/1969_IMO_Problems)


Compute \displaystyle \frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)} .
(1987AIME)
101.1.10補充
100卓蘭實驗高中，https://math.pro/db/thread-1165-1-1.html
高中數學101　P26

請問
(88高中數學能力競賽　宜花東區試題)這題
答案是 x^{3}+x^{2}-2x-1=0 嗎?

將α+β+γ 、 αβ+βγ+γα 、  αβγ  都算出來 花了些時間
發現   x^{3}+x^{2}-2x-1=0 恰好是 (88高中數學能力競賽　高屏區試題)的題目條件
這兩者之間是不是有什麼關係?

是否有更好的方法?

應該不用幾分鐘
\begin{align}   & {{\omega }^{7}}=1,\omega \ne 1 \\ & {{\omega }^{6}}+{{\omega }^{5}}+{{\omega }^{4}}+{{\omega }^{3}}+{{\omega }^{2}}+\omega =-1 \\ &  \\ & \alpha +\beta +\gamma =\omega +{{\omega }^{6}}+{{\omega }^{2}}+{{\omega }^{5}}+{{\omega }^{3}}+{{\omega }^{4}}=-1 \\ & \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\left( \omega +{{\omega }^{6}} \right)\left( {{\omega }^{2}}+{{\omega }^{5}} \right)+\left( {{\omega }^{2}}+{{\omega }^{5}} \right)\left( {{\omega }^{3}}+{{\omega }^{4}} \right)+\left( {{\omega }^{3}}+{{\omega }^{4}} \right)\left( \omega +{{\omega }^{6}} \right) \\ & =2\left( {{\omega }^{6}}+{{\omega }^{5}}+{{\omega }^{4}}+{{\omega }^{3}}+{{\omega }^{2}}+\omega  \right)=-2 \\ & \alpha \beta \gamma =\left( \omega +{{\omega }^{6}} \right)\left( {{\omega }^{2}}+{{\omega }^{5}} \right)\left( {{\omega }^{3}}+{{\omega }^{4}} \right)=2+\left( {{\omega }^{6}}+{{\omega }^{5}}+{{\omega }^{4}}+{{\omega }^{3}}+{{\omega }^{2}}+\omega  \right)=1 \\ \end{align}

所求為{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1=0