偷懶我就不寫證明,寫一些想法供參考
1. 推(猜)測
f10(x),的
10 是一個不重要的數,換成
100,
999 亦無妨
2. 也就是改成
f999(x)=2022 的答案及作法,應該也沒什麼變化
3. 故猜測固定正實數
x 時,
fn(x)
應該是一個「看起來」很快收斂的數列
4. 例:若
x=100,
f1(x)=10,
f_2(x) \approx 10.488 ,
f_3(x) \approx 10.511 ,
f_4(x) \approx 10.512 ...
也可以再試其他數字例如若
x=10000 ,不難發現,只有
f_1(x) 到
f_2(x) 增加約
0.5 ,之後數列以極微小的幅度再增加
5. 延續上可的猜測,可推(猜)得
f_1(x) = \sqrt{x} \approx 2022 -0.5 \Rightarrow x \approx 2022^2 -2022 +0.25
6. 上面的估計可能是對的,但有點討厭,在平方(去根號) 時,會讓誤差放大,降低對答案是
2022^2 -2022 的信心
所以寫證明的時候,想用 5. 的估計的話,應該不太容易。回到原方程式,整理可得以下:
f_{10}(x) = 2022 \Rightarrow x + f_9(x) =2022^2 \Rightarrow x = 2022^2 - f_9(x) \approx 2022^2 -2022
剩下的就是認真估計
f_9(x)