填充題
1.求使得
2n+216+219為完全平方數的正整數n?
試求所有的正整數
n使得
x=28+211+2n為一完全平方數。
(2006TRML團體賽)
若n為正整數,且
4n−2+28+1為一完全平方數,則n的最大值為多少?
(2005TRML接力賽)
使得
497+42008+4n為完全平方數的最大正整數n為?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
https://math.pro/db/thread-919-1-2.html
求最大自然數n,使得
42009+42008+4n是完全平方數
(建中通訊解題第68期)
108.4.27補充
n為正整數,已知
22+2n+210為完全平方數,
n的最大值與最小值之和為
。
(108彰化女中,
https://math.pro/db/thread-3123-1-1.html)
2.將
n2個正數排成一個
n
n階方陣,其中每一列的數成等差,每一行的數成等比,且所有的公比皆相等。已知
a24=1,
a42=81,
S=a11+a22+

+ann,若
S+1210的和為一正整數,則n之值為。
[出處,1990大陸高中數學競賽]
解答可以到
https://math.pro/db/thread-919-1-2.html 下載"97高中數學能力競賽補充資料.rar"
3.如圖,兩個全等之矩形置於一直角三角形內,並使其一長邊各與三角形之一股重合。設兩股長a,b可以調整,又設矩形短邊長為mb,則m之最大值為。
[出處,97高中數學能力競賽 南區(高雄區)筆試一試題]
4.若兩圖形
y=f(x)=ax與
y=g(x)=logax有唯一的交點,則不為1的正實數a之範圍為。
指數函數
y=f(x)=ax與對數函數
y=g(x)=logax,若已知
f(x)與
g(x)相交三點,求實數a的範圍。
(97中一中)
7.某特徵(如拇指是否可以彎曲)是根據一對基因來分類的,若A,a分別代表顯性及隱性基因,則某人有AA之基因稱為純顯性,Aa(同為aA)稱為混合型,aa稱為純隱性。外觀上,Aa和AA都有這個特徵。孩子從父母各得一因子,假設AA,Aa,aa之人口比例分別為
41,
21,
41,且婚配與否和此特徵無關。若有一對夫妻他們4個小孩中有3個具顯性特徵,求此對夫妻皆為混合型之機率為。
[出處,97高中數學能力競賽 台中區筆試二試題]
9.若
n100
2cos72
100n+1,
n
N,則n=。
[提示]
z=cos72
+isin72
是
z6+z5+z4+z3+z2+z+1=0的一根
同除
z3,
z3+z2+z+1+z1+1z2+1z3=0
(z+z1)3−3(z+z1)+(z+z1)2−2+(z+z1)+1=0
(z+z1)3+(z+z1)2−2(z+z1)−1=0
令
t=z+z1=2cos72
是
t3+t2−2t−1=0的一根
只是要找出
t=1
246979603717467這個近似值就比較麻煩了
2011.4.17感謝moun9指正
z=cos
7+isin
7更正為
z=cos72
+isin72
計算證明題
1.地圖上某一地區有n(
n
3 )個國家相鄰,但n個國家只有一個公共點(如右圖)。現用紅,黃,綠,藍四種顏色給地圖染色,但使相鄰的國家顏色不同,滿足上述染色規則的方法有
an種。
(1)試求
a3、
a4的值。
(2)試求數列
an
的遞迴關係式。
(3)求出
an的一般項。
https://math.pro/db/thread-499-1-1.html