題目和答案如附件

填充題
1.求使得2n+216+219為完全平方數的正整數n？

試求所有的正整數n使得x=28+211+2n為一完全平方數。
(2006TRML團體賽)

若n為正整數，且4n−2+28+1為一完全平方數，則n的最大值為多少？
(2005TRML接力賽)

使得497+42008+4n為完全平方數的最大正整數n為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
https://math.pro/db/thread-919-1-2.html

求最大自然數n，使得42009+42008+4n是完全平方數
(建中通訊解題第68期)

108.4.27補充
n為正整數，已知22+2n+210為完全平方數，n的最大值與最小值之和為　　　。
(108彰化女中，https://math.pro/db/thread-3123-1-1.html)

2.將n2個正數排成一個nn階方陣，其中每一列的數成等差，每一行的數成等比，且所有的公比皆相等。已知a24=1，a42=81，S=a11+a22++ann，若S+1210的和為一正整數，則n之值為。
[出處，1990大陸高中數學競賽]

解答可以到https://math.pro/db/thread-919-1-2.html　下載"97高中數學能力競賽補充資料.rar"


3.如圖，兩個全等之矩形置於一直角三角形內，並使其一長邊各與三角形之一股重合。設兩股長a,b可以調整，又設矩形短邊長為mb，則m之最大值為。
[出處，97高中數學能力競賽　南區(高雄區)筆試一試題]


4.若兩圖形y=f(x)=ax與y=g(x)=logax有唯一的交點，則不為1的正實數a之範圍為。

指數函數y=f(x)=ax與對數函數y=g(x)=logax，若已知f(x)與g(x)相交三點，求實數a的範圍。
(97中一中)


7.某特徵(如拇指是否可以彎曲)是根據一對基因來分類的，若A,a分別代表顯性及隱性基因，則某人有AA之基因稱為純顯性，Aa(同為aA)稱為混合型，aa稱為純隱性。外觀上，Aa和AA都有這個特徵。孩子從父母各得一因子，假設AA,Aa,aa之人口比例分別為41，21，41，且婚配與否和此特徵無關。若有一對夫妻他們4個小孩中有3個具顯性特徵，求此對夫妻皆為混合型之機率為。
[出處，97高中數學能力競賽　台中區筆試二試題]


9.若n1002cos72100n+1，nN，則n=。
[提示]
z=cos72+isin72是z6+z5+z4+z3+z2+z+1=0的一根
同除z3，z3+z2+z+1+z1+1z2+1z3=0
(z+z1)3−3(z+z1)+(z+z1)2−2+(z+z1)+1=0
(z+z1)3+(z+z1)2−2(z+z1)−1=0

令t=z+z1=2cos72是t3+t2−2t−1=0的一根
只是要找出t=1246979603717467這個近似值就比較麻煩了

2011.4.17感謝moun9指正
z=cos7+isin7更正為z=cos72+isin72

計算證明題
1.地圖上某一地區有n( n3 )個國家相鄰，但n個國家只有一個公共點(如右圖)。現用紅，黃，綠，藍四種顏色給地圖染色，但使相鄰的國家顏色不同，滿足上述染色規則的方法有an種。
(1)試求a3、a4的值。
(2)試求數列an的遞迴關係式。
(3)求出an的一般項。
https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

填充八參考作法
連結已失效h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=3429&prev=3437&next=3421


已知A、B、C為橢圓Γ：x2+3y2=156上三相異點，若A點之坐標為(12−2)且ABC有最大面積，則\overline{BC}邊之長為　　　。

第6題
試問曲線x^2+y^2-6x=6 \sqrt{x^2+y^2}上的P(x,y)有多少個點與A(8,0)距離是整數？
[解答]
x=r cos \theta ，y=r sin \theta 化為極坐標
r=6(1+cos \theta) , 為心臟線
如附圖以 A(8, 0) 為圓心，半徑 1, 2, 3, ...... 作圓，共有18個交點
只是考場上不能用電腦GeoGebra來作圓

http://learn.jhsh.ntpc.edu.tw/~smath/Question/polar.png
(已修改網址, 北縣改為新北市之後, 所有的 tpc , 都要改為 ntpc)

今日練習這份試題，來補一下心臟線這題

填充 6. 以極坐標寫之可得 r=6(1+\cos\theta)

以原點、曲線上一點和 (8,0) 為三角形，利用餘弦定理可計算曲線上的點到 (8,0) 之距離平方

\begin{aligned}d(\theta)^{2} & =36(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta)+64-96(\cos\theta+\cos^{2}\theta)\\ & =100-24\cos\theta-60\cos^{2}\theta\\ & =-60(\cos^{2}\theta+\frac{2}{5}\cos\theta+\frac{1}{25})+100+\frac{60}{25}\\ & =-60(\cos\theta+\frac{1}{5})^{2}+\frac{512}{5}.\end{aligned}

所以 16\leq d^{2}\leq\frac{512}{5} ，且在 [-1,-\frac{1}{5}] 和 [-\frac{1}{5},1] 皆為單調函數。

d(-1)=8 , d(-\frac{1}{5})=\frac{32}{\sqrt{10}}<11 , d(1)=4。

從單調性就可數出距離 5-10, 10-9 上下對稱各兩點，及距離 4, 8 x 軸上各一點

因此共 8\times2+2=18 個交點。

Taylor series 都出現了，那小弟再來補牛頓法好了

填 9. 令 x=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7} ，則 x+\frac{1}{x}=2\cos\frac{2\pi}{7} 且 x^{6}+x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1=0 。

令 y=x+\frac{1}{x} ，則 y^{3}+y^{2}-2y-1=0 。令 f(y)=y^{3}+y^{2}-2y-1 。

以牛頓法解之：取 y_{1}=1 , 1-\frac{f(1)}{f'(1)}=\frac{4}{3} ，取 y_{2}=\frac43 ； y_{2}-\frac{f(y_{2})}{f'(y_{2})}=\frac{4}{3}-\frac{13}{162}\approx1.25 ，取 y_{3}=1.25 ； y_{3}-\frac{f(y_{3})}{f'(y_{3})}=\frac{5}{4}-\frac{1}{332}\approx1.246 。

f(1.24)\approx-0.04 , f(1.25)\approx0.02。由勘根定理知有一實根在 (1.24,1.25)

注意該方程式有三根： 2\cos\frac{2\pi}{7}, 2\cos\frac{4\pi}{7}, 2\cos\frac{6\pi}{7} ，其中僅 2\cos\frac{2\pi}{7} 為正根。故 n =124

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給23萬個讚。
突然想看悠遊白書，想念小閻王。

那不過就是自我安慰而已，招式一過，就回原形，
不如使用眾神假死之法。

方法上，基本上和 7# 的牛頓法精神一樣，一個用牛頓加勘根，一個用二分加勘根。

另外挑個小瑕疵，所以知道 1 < 2\cos \frac{2\pi}{7} <2 ，但上面的式子，並沒有論證到它是這個範圍裡的唯一實根。

同意，好的帖子是讓讀者看完會有體會的！但，要怎麼樣讀者才會有所體會？

是鉅細靡遺的詳解、撬開門鎖的那把鑰匙，或隱藏背後的原始思考？

或許沒有標準答案，對每位讀者，需要的可能都是不同的吧！？

題外話：泰勒級數的解似乎不見！？