第 18 題:一袋中有 \(6\) 顆黑球,\(2\) 顆白球,從袋中一次取一球,每一球被取出的機會均等,取後不放回,一直取到出現白球為止,則取出黑球個數的期望值為何?
解一:
取出黑球個數為 \(k\) 的機率是 \(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}\)(其中 \(k=0,1,2,3,4,5,6\)),
所求期望值為 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{6} k\cdot \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}=\sum_{k=0}^{6}\frac{k(7-k)}{28}=2.\)
(數字不大,直接算也還算快!:P)
解二:
先把 \(2\) 顆白球排一直線,再將 \(6\) 顆黑球「平均分配」到兩顆白球所形成的三個空隙,
由左至右一路取球,至首次取到白球時,取出黑球的個數為 \(2\),此即為答案。
(解二的想法請參考
https://math.pro/db/thread-976-1-1.html 的第八題。)
註:原本把題目的「一直取到出現白球為止」誤看成「到白求取完為止」,感謝 waitpub 於後方回覆的提醒,本文已修改成正確的答案!