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本試題題目與參考解答，經 ptt 的 demon 網友同意轉錄. 感謝. ^___^

因小弟重新排版修飾，如有打字錯誤，希望網友不吝告知，感謝.

請問第6題

第 6 題：求 100k=0x+k1002Ck100xk1−x100−k  之值.



把完全平方展開，然後利用

1. 100k=0kCk100xk1−x100−k=100k=1100xC99k−1xk−11−x100−k=100x199=100x 

2. 100k=0k2Ck100xk1−x100−k=100k=1kk−1+kCk100xk1−x100−k 

　=100k=1kk−1Ck100xk1−x100−k+100k=1kCk100xk1−x100−k 

　=100k=210099x2C98k−2xk−21−x100−k+100k=1100xC99k−1xk−11−x100−k 

　=10099x2198+100x199=9900x2+100x

可得所求為 x2+2x1100100x+110029900x2+100x=100399x2+x 









註：如果對於中間的變化手法不熟悉，也可以參看看下面有相似手法的兩題：

1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-62-1-5.html

2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-401-1-5.html

3.
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322

可以請問板上的老師
第五題嗎?
我好像是用比較麻煩的方式處理
我令z2=a+bi z1=(a+1)+(b-2)i
然後再去處理

可是也一直沒有解出來

請板上老師賜教

第 5 題：

設 z1z2 為複數，滿足 z1=z2，且 z1−z2=1−2i，求 z1z2z1z2 之值.


解答：

令 z1=rcos+isinz2=rcos+isin ，則

由 z1−z2=1−2i，可得

rcos−cosrsin−sin==1−2 

將兩式相除，再用和差化積，可得 tan2+  之值，

再利用切表弦公式（也有人稱萬能公式），可得 cos+  與 sin+  之值，

故，可得 z1z2z1z2=z1z2z1z2=cos++isin+  之值.

謝謝瑋岳老師
我懂了
看來我的方法太土法煉鋼了
感謝老師!

3.試求正整數n使得下式成立tan−131+tan−141+tan−151+tan−1n1=4。
(2008AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2008)


4.圓C1、C2、C3的圓心分別為(00)、(120)、(240)且其半徑分別為1、2、4，直線L1是C1與C2的內公切線，其斜率為正，直線L2是圓C2與C3的內公切線，其斜率為負，設直線L1、 L_2 交於 (x,y) ，若 x=p-q \sqrt{r} ，其中p、q、r為正整數且r不能被任何質數的平方整除，求 p+q+r ？
(2006AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2006)


6. \displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^{100} (x- \frac{k}{100})^2 C_k^{100} x^k (1-x)^{100-k} ，已知P(x)為二次多項式，求P(x)？
(98台大資工申請入學)
將原本99東山高中這題改為相減，答案 \displaystyle \frac{x}{100}-\frac{x^2}{100}

第 8 題

P\left(ab-cd \mbox{ 是偶數}\Bigg|a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)

\displaystyle=\frac{n\left(ab-cd \mbox{ 是偶數且 }a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)}{n\left(a,b,c,d\mbox{ 至少有一奇數}\right)}

\displaystyle=\frac{n\left(ab \mbox{ 是偶且 }cd\mbox{ 是偶}\right)+n\left(ab\mbox{ 是奇且 }cd\mbox{ 是奇}\right)-n\left(a,b,c,d \mbox{ 都是偶數}\right)}{n(a,b,c,d至少有一奇數)}

\displaystyle=\frac{ \left(6\cdot 6-3\cdot3\right)\left(6\cdot 6-3\cdot 3\right)+3\cdot3\cdot3\cdot3-3\cdot3\cdot3\cdot3}{6^4-3^4}

\displaystyle=\frac{3}{5}

為什麼第9題我想到頭腦壞掉,都想不出來,
請大師指點迷津,3Q