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99高雄市聯招

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引用:
原帖由 Duncan 於 2010-6-23 11:36 PM 發表
首先謝謝八神庵辛苦的打字

想請問各位老師第14題如何下手
第 14 題:
有七個火柴盒,圍成一圓圈,如圖(請見首篇的附加檔案)所示,長方形框框表示火柴盒,框框內的數字表示該火柴盒內所裝火柴數,現在想搬動各盒中的一些火柴至相鄰的火柴盒中,每次搬一根,最後使每一盒火柴盒內的火柴數相等,則搬動次數最少為幾次?



把各位置都扣掉平均數之後,

我的移動方式如下(取最短移動路徑,且不出現同一線段有互逆的箭頭。)



移動次數為 \(\left(4+3+1+7\right)\times1+\left(1+2\right)\times3=24\) 次。

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引用:
原帖由 kuen 於 2010-6-24 12:41 PM 發表
絕對值函數
http://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc
原來如此,感謝! ^_^

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第 18 題:一袋中有 \(6\) 顆黑球,\(2\) 顆白球,從袋中一次取一球,每一球被取出的機會均等,取後不放回,一直取到出現白球為止,則取出黑球個數的期望值為何?

解一:

取出黑球個數為 \(k\) 的機率是 \(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}\)(其中 \(k=0,1,2,3,4,5,6\)),


所求期望值為 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{6} k\cdot \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}=\sum_{k=0}^{6}\frac{k(7-k)}{28}=2.\)


(數字不大,直接算也還算快!:P)


解二:

先把 \(2\) 顆白球排一直線,再將 \(6\) 顆黑球「平均分配」到兩顆白球所形成的三個空隙,

由左至右一路取球,至首次取到白球時,取出黑球的個數為 \(2\),此即為答案。

(解二的想法請參考 https://math.pro/db/thread-976-1-1.html 的第八題。)




註:原本把題目的「一直取到出現白球為止」誤看成「到白求取完為止」,感謝 waitpub 於後方回覆的提醒,本文已修改成正確的答案!

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引用:
原帖由 YAG 於 2011-4-3 05:06 PM 發表
請問weiye老師
https://math.pro/db/redirect.php?tid=587&goto=lastpost#lastpost
最後一個問題的內容
這你可能要問寫那個解答的原發文者了,謝謝。^__^

或是版上其他高手,有沒有人對於統計比較熟析的了。^__^

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第 13 題:試證 \(C^2_2 C^n_1 + C^3_2 C^n_2 + C^4_2 C^n_3 + \cdots +C^{n+1}_2 C^n_n=n(n+3) 2^{n-3}\)

證明:

左式 \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n C^{k+1}_2 C^n_k\)

     \(\displaystyle= \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)k}{2} C^n_k\)

     \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{k(k-1)+2k}{2} C^n_k\)

     \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n k(k-1) C^n_k+\sum_{k=1}^n k C^n_k\)

     \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n k(k-1) C^n_k+\sum_{k=1}^n k C^n_k\)

     \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n n(n-1) C^{n-2}_{k-2}+\sum_{k=1}^n n C^{n-1}_{k-1}\)

     \(\displaystyle=\frac{1}{2}n(n-1)\cdot 2^{n-2} + n\cdot 2^{n-1}\)

     \(\displaystyle=n(n+3) 2^{n-3}\)


使用此技巧的相似考題:

1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-62-1-5.html

2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-401-1-5.html

3. 求 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{100} \left(x+\frac{k}{100}\right)^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\) 之值
https://math.pro/db/thread-941-1-1.html

4.
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322

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回復 18# waitpub 的帖子

喔~對耶,我把題目看成「到取完白球為止」,我看錯了,馬上來修改!XD

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回復 33# nanpolend 的帖子

\(\overline{PA}^2=\vec{PA}\cdot\vec{PA}=\left(\vec{PG}+\vec{GA}\right)\cdot\left(\vec{PG}+\vec{GA}\right)\)

         \(=\vec{PG}\cdot\vec{PG}+2\vec{PG}\cdot\vec{GA}+\vec{GA}\cdot\vec{GA}\)

         \(=\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+2\vec{PG}\cdot\vec{GA}\)

同理,

\(\overline{PB}^2=\overline{PG}^2+\overline{GB}^2+2\vec{PG}\cdot\vec{GB}\)



\(\overline{PC}^2=\overline{PG}^2+\overline{GC}^2+2\vec{PG}\cdot\vec{GC}\)


將上列三式相加,可得

\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=3\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2\)

           \(+2\vec{PG}\cdot\left(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\right)\)


\(\Rightarrow \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=3\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2\)

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引用:
原帖由 qazjack123 於 2011-6-13 10:18 PM 發表
第七題的最適合直線的公式
其中 斜率的算法應該要多乘r(相關係數)吧?
是滴~是我回站內訊息給 nanpolend 的時候漏掉了~:P

迴歸直線方程式是 \(\displaystyle\frac{y-\overline{y}}{S_y}=r\cdot\frac{x-\overline{x}}{S_x}\)

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回復 43# casanova 的帖子

小弟模仿 kuen 的老師的做法再寫一次,如下僅供參考。

附件

99高雄市聯招第14題.doc (33 KB)

2012-10-12 09:09, 下載次數: 4303

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回復 45# martinofncku 的帖子

因為當 \(s=2\) 時,\(y-2=s(x-1)\) 剛好通過原點,

所以不會形成 \(\triangle OAB\)。

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