再練習一次立方體開闔的範例，只是轉動的次數變多了，花比較多的時間才完成

以立方體相鄰的兩點作為起點和終點，試問經過立方體6個面的最短路徑為何？



附加檔案：folding cube.ggb

這是我參考 葉耀明、林梵君，"以可縮放式向量圖形語言呈現碎形圖形"
利用JavaScript+Geogebra實作，另外84大學聯考自然組也考過類似的題目

執行時會將全部的點座標先計算出來才顯示圖形所以會有20~30秒的延遲
可以調整KochSnowflake.htm的var TotalPoly=4;來觀察更多層的雪花碎形



附加檔案：KochSnowflake.rar

空間中一球面S:x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2，由點A(0,4,4)置一光源照射球面。
求球面S在xy平面上的影子輪廓的方程式
(98國立臺中一中期中考試題)

動畫內容是我一張一張抓圖再另外加上解題過程
所以ggb檔案就只有球面及空間中一點




附加檔案：DandelinSpheres.rar

放置邊長為1的正六邊形PABCDE沿x軸滾動。設頂點P(x,y)的軌跡方程式為一週期函數y=f(x)。試求在一次週期中，y=f(x)的函數圖形與x軸所圍成的面積為？
(100中壢高中，https://math.pro/db/thread-1119-1-3.html)



附加檔案：RollingHexagon.ggb

一球面的球心與一正四面體的中心重合，考慮球面與正四面體所有邊的交點，則交點個數可能是：(A)0　(B)4　(C)6　(D)8　(E)12
(國立台中一中　99學年度第1學期　期末考試　高二自然組　數學科試題)
http://www.tcfsh.tc.edu.tw/web/a ... -1-3/99-1-3-2-2.pdf



附加檔案：Sphere and Tetrahedron.ggb

之前做過正六邊形的滾動，日前剛好看到Putnam這題，順手將滾動的長方形的動畫也做出來。
A1.
The rectangle with vertices (0, 0), (0, 3), (2, 0) and (2, 3) is rotated clockwise through a right angle about the point (2, 0), then about (5, 0), then about (7, 0), and finally about (10, 0). The net effect is to translate it a distance 10 along the x-axis. The point initially at (1, 1) traces out a curve. Find the area under this curve (in other words, the area of the region bounded by the curve, the x-axis and the lines parallel to the y-axis through (1, 0) and (11, 0) ).
(52nd Putnam 1991，http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/putn91.html)



附加檔案：RollingRectangle.ggb

1972ASHME
Equilateral triangle ABP with side AB of length 2 inches is placed inside a square AXYZ with side of length 4 inches so that B is on side AX. The triangle is rotated clockwise about B, then P, and so on along the sides of the square until P,A, and B all return to their original positions. The length of the path in inches traversed by vertex P is equal to(A)320　(B)332　(C)12　(D)340　(E)15


按照題意一開始是△ABP，繞了一圈回到起點變成△PAB，繞第二圈回到起點變成△BPA，繞第三圈才回到△ABP。

　開始　　　　第一圈　　　　第二圈　　　　第三圈
　Ｐ　　　　　　Ｂ　　　　　　Ａ　　　　　　Ｐ
　△　　　　　　△　　　　　　△　　　　　　△
Ａ　Ｂ　　　　Ｐ　Ａ　　　　Ｂ　Ｐ　　　　Ａ　Ｂ


但將各段加起來會比較麻煩，我將正方形攤開成一直線
P點每次旋轉32，共旋轉16次，但有8次實際上只轉了6
(第一圈的Y,Z，第二圈的X,Y,W，第三圈的X,Z,W)
總共旋轉3216−28=320
扇形半徑是2，P點路徑長為2320=340，答案D





附加檔案：RollingTrangle1.rar



102木柵高工考了一題類似題，將三角形繞著正方形外面，問P點經過的路徑為何？
https://math.pro/db/thread-1662-1-2.html

一樣要繞三圈才會回到△ABP
P點旋轉32共16次，但有8次要多轉2
總共旋轉3216+28=344
102木柵高工的扇形半徑是1，所以P點路徑長為1344=344





附加檔案：RollingTrangle2.rar

將任意三角形的每個邊三等分，將每個邊的第一個等分點和另一個頂點相連，所形成的小三角形面積是原本三角形面積的1/7。

在Proof Without WordsⅡ這本書中，William Johnston和Joe Kennedy以切割重組的方式解決這個問題。

99彰化女中也考過這題
https://math.pro/db/thread-948-1-1.html



附加檔案：Heptasection of a triangle.ggb

原文章https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1876&page=1#pid10303
https://help.geogebra.org/topic/geogebra-demo#comment-26361


這次我使用GeoGebra的JavaScript程式語言做出Lattice Reduction功能。
以下是原始碼
var u1x=ggbApplet.getValue("v_1x");
var u1y=ggbApplet.getValue("v_1y");
var u2x=ggbApplet.getValue("v_2x");
var u2y=ggbApplet.getValue("v_2y");
var temp,k,End;
do{End=true;
     if(u1x*u1x+u1y*u1y > u2x*u2x+u2y*u2y)
       {temp=u1x;  u1x=u2x;  u2x=temp;
        temp=u1y;  u1y=u2y;  u2y=temp;
        End=false;
       }
      k=Math.round((u1x*u2x+u1y*u2y)/(u1x*u1x+u1y*u1y));
      if(k!=0)
        {u2x=u2x-k*u1x;
         u2y=u2y-k*u1y;
         End=false;
        }
    }
while (End==false);
ggbApplet.setValue("u_1x",u1x);
ggbApplet.setValue("u_1y",u1y);
ggbApplet.setValue("u_2x",u2x);
ggbApplet.setValue("u_2y",u2y);
ggbApplet.evalCommand("u1=Vector[(u_1x,u_1y)]");
ggbApplet.evalCommand("u2=Vector[(u_2x,u_2y)]");




附加檔案：2DimensionLatticeReduction.ggb

意外地發現 110桃園高中的填充 12 圖形中的區線，其實畫得是折線，應當是作圖的老師利用多邊形的功能進行著色填滿

實際上，Geogebra 對於以圓弧、線段組合而成的封閉區域有用 Locus 指令的著色方式：

在官長壽老師的阿壽工坊有教學
http://120.101.70.8/longlife/GGB_Classroom/
http://120.101.70.8/longlife/GGB_Classroom/Unit_3/Command-03.html