請問各位老師第１０題怎麼做
卡了很久

98數學科試題3-2.jpg (480.74 KB)

2010-5-14 00:21

數

第１０題：
數值資料x1x2x3xn的算術平均數為X，中位數為Me，標準差為S，令P=n1ni=1xi−Me 、Q=n1ni=1xi−X 、R=n1ni=1(xi−Me)2，試比較P、Q、R、S的大小。

先證幾件事情：


設 a1a2an 為任意實數，

1. 若 f(x)=x−a1+x−a2++x−an，則

　當 x 為 a1a2an 的中位數時，f(x)  有最小值.

2. 若 g(x)=x−a12+x−a22++x−an2 ，則

　當 x 為 a1a2an 的算數平均數時，g(x)  有最小值.

3. na21+a22++a2nna1+a2++an 

證明提示：1. 三角不等式（即 a+ba+b） 2. 配方法 3. 柯西不等式





如果證明出來上面這三者，

則

由 1. 可得 QP，

由 2. 可得 RS，

由 3. 可得 SQ 且 RP

如此即可得此四者的大小關係為 RSQP

謝謝老師

當初學校公佈的是圖檔，我重新打字後將完整的題目放上來，並附上初試成績供考生參考

初試最低錄取分數46分
73,63,59,50,50,46

其他
40~45  7人
30~39 20人
20~29 31人
10~19 13人
0~9    5人
缺考  11人

共計93人

填充題
7.若x=cos152+isin152，則滿足f(x)=0的最少次多項方程式是
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43637　(連結已失效)

以=cos152+isin152表1的一個真正15次方根，f為一整係數非零多項式，且知f()=0；試問滿足此條件且次數最低的 f 之次數為若干？
(94霧峰農工，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22087　(連結已失效))



9.設z是複數，且 \displaystyle \frac{z}{z-1} 是純虛數(即虛部不為0而實部為0)，試求 |\ z-i |\ 的最大值
(99中二中，https://math.pro/db/thread-934-1-1.html)



10.以前的討論
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=18271　(連結已失效)


計算題

1.三角形ABC，∠A的內角平分線 \overline{AT} 交 \overline{BC} 於T點，試證 \overline{AT}=\sqrt{\overline{AB}\cdot \overline{AC}-\overline{BT}\cdot \overline{CT}}
https://math.pro/db/thread-884-1-1.html



3.求 [\ (3+\sqrt{11})^{100} ]\ 的個位數為多少？(編按： [\ X ]\ 表高斯函數)

求 [\ (2+\sqrt{6})^{100} ]\ 的個位數。(編按：[ X]  表高斯符號)
(98清水高中，https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)

( \sqrt{23}+\sqrt{27} )^{100} 除以100的餘數為？
台大資工甄選入學指定項目考試，https://math.pro/db/thread-915-1-1.html



4. a>b ，試證：雙曲線 b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2 互相垂直二切線的交點必在圓 x^2+y^2=a^2-b^2 上。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=723

填充第2和9答案是否有錯,請大師確定一下,謝謝

填充第 2 題
三角形ABC中，D、E為\overline{AB}的三等分點，F平分\overline{BC}，\overline{AF}與\overline{CD}交於G點，求四邊形BDGF的面積是三角形ABC面積的幾分之幾？
[解答]
由孟式定理，可得 \displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}\cdot\frac{\overline{BC}}{\overline{CF}}\cdot\frac{\overline{FG}}{\overline{GA}}=1

\displaystyle \Rightarrow \frac{\overline{AG}}{\overline{GF}}=\frac{4}{1}

\triangle ADG : \triangle ABF = 2\times 4 : 3\times5=8:15

\Rightarrow \mbox{四邊形} BDGF:\triangle ADF=7:15

\Rightarrow \mbox{四邊形} BDGF:\triangle ABC=7:30

填充題第 9 題
設z是複數，且\displaystyle \frac{z}{z-1}是純虛數(即虛部不為0而實部為0)，試求|\;z-i|\;的最大值　　　。
[解答]
令 z=x+yi ，則

\displaystyle \frac{z}{z-1}=\frac{\left(x+yi\right)}{\left(x+yi\right)-1}=\frac{\left(x+yi\right)\left((x-1)-yi\right)}{\left(x-1\right)^2+y^2}=\frac{\left(x^2-x+y^2\right)-yi}{\left(x-1\right)^2+y^2}

因為 \displaystyle \frac{z}{z-1} 為純虛數，

所以 \displaystyle x^2-x+y^2=0\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}　‧‧‧‧‧‧圓（但缺一點，因為 z 不為 0）

\displaystyle \left|z-i\right|=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2}=(0,1)\mbox{到圓上的點的距離}

　　　　　　\displaystyle \leq (0,1)\mbox{到圓心的距離＋圓半徑}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

想請教填充第15題,謝謝

引用:

原帖由 阿光 於 2012-1-18 09:44 PM 發表
想請教填充第15題,謝謝

正方形ABCD，\overline{BE}=2\overline{BC}，將ABEF沿EF線段往右折，使得D點落在AB線段上。求sin∠AFD=　　　。
[解答]
假設A',B'分別為A點,B點所折過去後的點
且EB'與CD點的交點為G,
令EC=1,則BE=2,DC=3
   EG=a,則CG=(a^2-1)^0.5,DG=3-(a^2-1)^0.5,GB=2-a
三角形A'FD~三角形B'DG~三角形CEG
所以CG:EG=BG: DG
(a^2-1)^0.5:a=2-a:3-(a^2-1)^0.5
得5a^2+4a-10=0,
解得a=(-2+3(6)^2)/5
在三角形EGC中
CG=(a^2-1)^0.5=(2(6)^0.5-3)/5
所求=Sin(角A'FD)=Sin(角CEG)
=CG/EG=(2(6)^0.5-3)/ (-2+3(6)^2)
=(6-(6)^0.5)/10