這份考古題大概在2,3月的時候在PTT數學版和高中版就會開始討論
但有些題目實在是太古怪了,每年都拿出來討論卻總是得不到個答案
我將手邊的資料放出來提供考生參考

n=142n−142n−1 =？

(23+27)100 除以100的餘數為？

求e與e的大小關係？
利用f(x)=xln(x)當x>e時單調遞減

T={(x,y)|xyNx1000x2−2y2=1}，求T之元素個數
可以用Google搜尋"pell方程式",可以找到公式
前幾組解(3,2)，(17,12)，(99,70)，(577,408)，(3363,2378)，(19601,13860)...
答案4個

limn(cosx2cosx4cosx2n)=？
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=2935


求101000010100+7被100除的餘數？([]為高斯符號)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=708


已知xyz0，x2+y2+z2=1，求x1+yz+y1+zx+z1+xy的最大值？
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1008042902094
連老王都發問了!

103臺大資工申請入學第二階段筆試試題
http://www.ptt.cc/bbs/SENIORHIGH/M.1396156101.A.6E9.html



更早的試題解答可以來這裡找－老王的夢田
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/category/217243

前陣子 學生在問
所以也解了一下
已知xyz0，x2+y2+z2=1，求x1+yz+y1+zx+z1+xy的最大值？

請參考附件

題目 n=142n−142n−1 
解 令 xn=42n，利用 xnxn+1−1=211xn+1+211xn−1,  1xn−1=1x2n−1−1=−211xn−1+1+211xn−1−1，可得以下：

4142−1=21141+1+2114−1
4244−1=21142+1−4114+1+4114−1
4448−1=21144+1−41142+1−8114+1+8114−1
43416−1=21148+1−41144+1−81142+1−11614+1+11614−1
...
斜的加，從左上往右下加，把每一條斜線加總可得

mn=142n−142n−1=12m+1mn=12n42n−1+1+2m2m−13131 

題目：(23+27)100  除以 100 的餘數，這題應該加上高斯符號
解 (23+27)100=50+66950 。
令 xn=50+66950+(50−669)50 ，則 xn+2=100xn+1−16xnx50x0(−16)25−2101  (Mod  100)。
(25)=20x50−2  (Mod  25)x500  (Mod  4)，故 x5048  (Mod  100)。
注意 0(50−669)501 ，故 x50=50+66950+(50−669)50=50+66950+1 。
因此 (23+27)10047(Mod  100) 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-13 11:14 PM 編輯 ]

可以請問大家第4~6還有第8題的解法嗎
說實在都是一些沒看過的@@
謝謝大家~~

B4. 先把奇數項的負號改成正，再減去兩個奇數項
改正的部分和原偶數項裂項相消，
減去兩個奇數項的部分，也是裂項，但不相消變成 \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots 會變成 \arctan x 的Maclaurin series 代入 x=1

\begin{aligned}\sum\frac{(-1)^{k}}{4k^{2}-1} & =\sum\frac{1}{4k^{2}-1}-2\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\frac{1}{4k^{2}-1}\\ & =\frac{1}{2}\sum\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)-\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\\ & =\frac{1}{2}-\sum\limits _{k\mbox{ odd}}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{1}{2}-\tan^{-1}1=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4} \end{aligned}

後面那一項是不是大學才會學到阿@@
好像不是我目前能力所及QQ

B6. 感覺抄錯題目了

按上面的題目，移項提出 a-c，再用正弦定理、三角不等式可得 a-c=0

變成等腰三角形 a=c，無法求得角 C

B5. 有類似題...

分解，配對，算幾

注意 a^2+ab+ac+bc = (a+b)(a+c)

及 3a+b+2c = (a+b) + 2(a+c)

由算幾不等式有 \frac{3a+b+2c}{2}=\frac{(a+b)+(2a+2c)}{2}\geq\sqrt{2(a+b)(a+c)}=\sqrt{12+2\sqrt{20}}=\sqrt{10}+\sqrt{2}

故 3a+b+2c \geq 2\sqrt{10} + 2\sqrt{2} (等號我懶得驗了...)

B6
應是(a-c)\left( \sin A+\sin C \right)=\left( a-b \right)\sin B