題目https://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/109hsm/index.php?menu=Exam

在1781 年，日本藤田貞資於《精要算法》中提出所謂「蟲蝕算」這種填字遊戲。顧名思義，蟲蝕算遊戲就是將算式中打□被蟲損傷的地方，根據算術或代數推理手段恢復原來的數字使等式成立。下圖是一道稱為〈一個8〉的蟲蝕算遊戲：
　☐☐☐
✕　８☐
－－－－
☐☐☐☐
☐☐☐
－－－－
☐☐☐☐
試問：這道遊戲的最後四個數字為　　　。
(109高中數學能力競賽　北一區複試筆試二)
(108新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=6#pid19979)
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邊長 4 的正方體內擺放八個半徑相同的球體，在此八個球體半徑最大的情形下，在他們中間放置一個小球，求此小球的最大半徑。
(109高中數學能力競賽　北一區口試)

更多類似問題https://math.pro/db/thread-1268-1-1.html
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超過2020的正整數中，恰有14個正因數的最小數是　　　。
(109高中數學能力競賽　北二區複試筆試二)

求有30個正因數的最小正整數。
(106學年度第1學期中山大學雙週一題)
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現有A、B兩個水桶，我們利用以下規則交換兩個水桶的水：我們從A水桶取出2/3的水，從B水桶取出全部的水，並且將這些取出來的水倒入另一個水桶。現在假設A水桶裝水1公升，B水桶裝水2公升，不斷重複上述規則，請問AB兩水桶的水量分別會趨近為　　　。
(109高中數學能力競賽　北二區複試筆試二)
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設xy為實數。已知y21且滿足(1+x2−x)(y−y2−1)=1 ，試求x2−y2=　　　。
(109高中數學能力競賽　北二區複試筆試二)

(a+a2+4)(b+b2+9)=16 ，求ab2+9+ba2+4 。
(100南科實中，https://math.pro/db/thread-1153-1-1.html)
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滿足(x2−21x+109)x2−212x+2020=1的所有實數x之總和為　　　。
(109高中數學能力競賽　臺北市複試筆試二)

方程式(x2−3x+1)x+1=1有幾個整數解？
(98彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1294)
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若實數與滿足3−62+13=20203−32+4=−2008 ，則+=　　　。
(109高中數學能力競賽　台北市複試筆試二)

(x−1)3+(x−1)(2016)=−105(y−1)3+(y−1)(2016)=105 ，求x+y=　　　。
(105師大附中代理，https://math.pro/db/thread-2543-1-1.html)
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函數f的定義為f(xy)=x2+4xy−10x+5y2−24y+35,其中xy為實數。則函數f的最小值為　　　。
(109高中數學能力競賽　新北市複試筆試二)
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957
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西元2019年9月，布克與薩瑟蘭兩位數學家發現42可以寫成下面三整數的立方和：
(−80538738812075974)3+(80435758145817515)3+n3=42.其中正整數n的最末兩位數為　　　。
(109高中數學能力競賽　新北市複試筆試二)

三立方和整數解
http://mathland.idv.tw/history/sums_of_three_cubes.htm
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平面有一個凸10邊形，連接其所有對角線，最多可以把此10邊形的內部分為　　　塊區域。
(109高中數學能力競賽　新北市複試筆試二)
[公式]
C0n+C2n+C4n−n

凸10邊形，把每條對角線都連上，最多可以把此10邊形內部分為幾塊區域？
(A)256　(B)246　(C)200　(D)128
(109新北市國中聯招，https://math.pro/db/thread-3346-1-1.html)
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設nN，n2，令An=nk=1k1+k2+k4 ，Bn=nk=2k3+1k3−1 ，求AnBn。
(109高中數學能力競賽　中投區複試筆試一)
\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{1+k^2+k^4}=\sum_{k=1}^n \frac{k}{(k^2-k+1)(k^2+k+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k^2-k+1}-\frac{1}{k^2+k+1}\right)
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
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設\Delta ABC滿足cosA:cosB:cosC=1:1:2，求sinA。
(109高中數學能力競賽　中投區複試筆試二)

感謝satsuki931000告知出處
設三角形ABC滿足cosA:cosB:cosC=1:1:2。將sinA表示為\root s \of t，其中s為正整數，t為正有理數且為最簡分數。試問：s+t=　　　(化為最簡分數)。
(2020APMO初選試題，http://imotwn.math.ncu.edu.tw/topics/APMO)

\Delta ABC，cosA:cosB:cosC=25:39:(-3)，求a:b:c。
(102內湖高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1621&page=1#pid8281)
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一個凸四邊形ABCD如圖所示，其中∠ABC=135^{\circ}，∠BCD=120^{\circ}，\overline{AB}=\sqrt{6}，\overline{BC}=6-\sqrt{3}，\overline{CD}=6，求\overline{AD}之長度。
(109高中數學能力競賽　中投區複試筆試二)
(114建功高中，https://math.pro/db/thread-3942-1-1.html)

四邊形ABCD中，\overline{AB}=5，\overline{AD}=3\sqrt{2}，\overline{CD}=4\sqrt{3}，∠BAD=135^{\circ}，∠ADC=105^{\circ}，則其面積為何？
(建中通訊解題第90期)
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正方形ABCD的邊長為2，點E和F分別在邊BC和CD上，使得\Delta CEF的周長為4，試求：
(1)∠EAF的度數；
(2)\Delta EAF面積的最小值。
(109高中數學能力競賽　台南市複試筆試一)
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求方程式\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{13}的所有整數解。
(109高中數學能力競賽　台南市複試筆試二)

設x,y為整數，x\ge y且滿足方程式\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}，求數對(x,y)？
(94年高中數學能力競賽決賽獨立研究(一)試題，95基隆高中，建中通訊解題第64期)
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試求\displaystyle \frac{1}{2} \{\;(sin15^{\circ}+\sqrt{(sin15^{\circ})^2-1})^{2020}+(sin15^{\circ}-\sqrt{(sin15^{\circ})^2-1})^{2020} \}\;之值。
(109高中數學能力競賽　高雄市複試筆試一)
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已知實數a,b,c滿足下列條件：
\cases{\displaystyle \frac{a}{1^2+2^2}+\frac{b}{2^2+3^2}+\frac{c}{2^2+5^2}=1\cr \frac{a}{1^2+4^2}+\frac{b}{3^2+4^2}+\frac{c}{4^2+5^2}=1\cr \frac{a}{1^2+6^2}+\frac{b}{3^2+6^2}+\frac{c}{5^2+6^2}=1}
試求a+b+c之值。
(109高中數學能力競賽　高雄市複試筆試一)

若對 n=4,6,8,10 ，實數a,b,c,d滿足 \displaystyle \frac{a^2}{n^2-3^2}+\frac{b^2}{n^2-5^2}+\frac{c^2}{n^2-7^2}+\frac{d^2}{n^2-9^2}=1 ，求a^2+b^2+c^2+d^2=？
(105彰化高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2492&page=1#pid15192)
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已知x,y,z是正數且滿足\cases{2x+2y+xy=18 \cr 2y+2z+yz=20 \cr 2x+2z+xy=29}，試求x+y+z+xyz之值。
(109高中數學能力競賽　高雄市複試筆試二)
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求證：\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}，n為正整數。
(109高中數學能力競賽　高屏區複試口試)

第七題
從1~120這120個正整數中取出n個數，使得沒有一個數是另一個數的2倍，則n的最大值是多少？

解答是80

想了很久但想不到該怎麼下手，還請各位大大幫幫我，感謝！

先考慮後半段61-120，再來考慮這些前面1-60乘上兩倍不會在61-120裡面，全部最多有1-30的奇數，
最後還有一些偶數在1-30裡面，這些偶數有個特性就是乘上兩倍不為1-30的奇數的兩倍，兩倍後數也可以在31-60裡面。

首先61,63,65....119,這30個不為別數兩倍也不會被別數兩倍的數,一定要全選,少選一個就損失一個.
接下來62,64,66....120,這30個可以考慮全選,因為例如少選一個64,則只可多選一個32,但16又不能選了.
最後選1,3,5...29有15個以及4,8,12,16,20,24,28這7個中最多只能挑5個,如4,12,16,20,28.
因此n最多30+30+15+5=80
本以為從1~3m這3m個正整數中取出n個數，使得沒有一個數是另一個數的2倍，則n的最大值是2m,
但是m=7時,即 1~21中卻可挑出1,3,4,5,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21共15(>2m)個數.

每次向下切一半，一段選一段不選
61-120選
31-60不選
16-30選
8-15不選
4-7選
2-3不選
1-1選
60+15+4+1

本題有兩個方式可以進行而且重點是要說明為何能是最多個數的取法.
1.由小而大能取就取的取法(此為總和最小的取法) :
   以1,2 這兩數而言有 A:只取1 , B:只取2 ,C:都不取 三種選擇 , 針對後面的3--120取法而言A,C是一樣的,但C顯然就比A少取一個,
   故C不能採用,又B顯然比A少了一個4可以選,故A可以保證是最多個數的取法.
   取了1之後,2馬上刪掉,接下來以3,6這兩數而言有 A:只取3 , B:只取6 ,C:都不取 三種選擇 , 針對後面的4--120(不含6)取法而言A,C是一樣
   的,但C顯然就比A少取一個, 故C不能採用,又B顯然比A少了一個12可以選,故A可以保證是最多個數的取法.如此以同樣方式由小
   而大能取就取的取法進行下去,就可以保證是最多個數的取法.由此法我們會選出1,3,5..119共60個奇數,當然2的奇數倍全數刪除,以及 還有
   4的倍數.......4,12,16,20,28,36,44,48,52,60,64,68,76,80,84,92,100,108,112,116 總共有60+20=80 個數是最多個數的取法.
2.由大而小能取就取的取法(此為總和最大的取法) :
   以120,60 這兩數而言有 A:只取120 , B:只取60 ,C:都不取 三種選擇 , 針對前面的119--1(不含60)取法而言A,C是一樣的,但C顯然就比A少取一個, 故C不能採用,又B顯然比A少了
   一個30可以選,故A可以保證是最多個數的取法.
   如此我們選出(120,119...61),(30,29...16),(7,6,5,4),(1)共60+15+4+1總共有80 個數是最多個數的取法.

請問第一題和第七題要如何下手？

第1題
\begin{align}   & \frac{{{n}^{3}}-1}{{{n}^{3}}+1}=\frac{n-1}{n+1}\times \frac{n\left( n+1 \right)+1}{n\left( n-1 \right)+1} \\ &  \\ & \frac{1}{3}\times \frac{2}{4}\times \frac{3}{5}\times \cdots \times \frac{n-1}{n+1}=\frac{2}{n\left( n+1 \right)} \\ & \frac{2\left( 2+1 \right)+1}{2\left( 2-1 \right)+1}\times \frac{3\left( 3+1 \right)+1}{3\left( 3-1 \right)+1}\times \frac{4\left( 4+1 \right)+1}{4\left( 4-1 \right)+1}\times \cdots \times \frac{n\left( n+1 \right)+1}{n\left( n-1 \right)+1}=\frac{n\left( n+1 \right)+1}{3} \\ &  \\ & \prod\limits_{k=2}^{n}{\frac{{{k}^{3}}-1}{{{k}^{3}}+1}}=\frac{2}{n\left( n+1 \right)}\times \frac{n\left( n+1 \right)+1}{3}=\frac{2}{3}\left[ 1+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \right] \\ & \frac{2}{3}\left[ 1+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \right]\ge \frac{401}{600} \\ & \cdots \cdots  \\ \end{align}

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-10-24 11:52 編輯 ]

第 7 題
AP - PF >= AP - PE = AE
等號成立於 AP 和 BD 垂直