101文華高中（含計算題）

6.
一個實係數三次多項式函數通過(1012012)、(992008)、(1022005)、(1032016)四點，求此函數的切線中，斜率最小的切線所在的直線方程式為？
[解法]
可以用這篇所提到的牛頓差值多項式來解題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274

將這四點向左平移99，向下平移2008
f(0)0yf(1)y4−2y4−y−15+3yf(2)4y−11−729−yf(3)−318  11f(4)8    
三次多項式在三階差分時會相等
−15+3y=29−y，y=11

f(n)=0C0n+11C1n−18C2n+18C3n=3n3−18n2+26n
f(x)=3x3−18x2+26x
f(x)=9x2−36x+26=9(x−2)2−10
過點(24)有最小斜率-10
平移回去
過點(1012012)有最小斜率-10
切線方程式為y−2012=−10(x−101)，10x+y=3022

9.
有一組正整數a2，a3，a4，a5，a6，a7使得74=2!a2+3!a3+4!a4+5!a5+6!a6+7!a7，其中0aii(i=2,3,4,5,6,7)，求數對(a2a3a4a5a6a7)

有唯一一組整數a2，a3，a4，a5，a6，a7使得74=2!a2+3!a3+4!a4+5!a5+6!a6+7!a7，其中0aii(i=2,3,4,5,6,7)，求a2+a3+a4+a5+a6+a7=？
(A)8　(B)9　(C)10　(D)11
(97台南縣國中聯招，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=50888　連結已失效)

There are unique integers a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 such that \displaystyle \frac{5}{7}=\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!} , where 0 \le a_i < i for i=2,3,4,5,6,7. Find a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 .
(A)8　(B)9　(C)10　(D)11　(E)12
(1999AMC12，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1999)

112.6.17補充
若n為正整數，定義n!(讀作n的階乘)為從1到n的所有正整數之蓮乘積，即n!=1\cdot 2\cdot 3\ldots n，設0\le a_k<k，其中a_k為整數，已知 \displaystyle \frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\frac{a_4}{4!}+\frac{a_5}{5!}+\frac{a_6}{6!}+\frac{a_7}{7!}=\frac{4}{7} ，求a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7之值。
(建中通訊解題第155期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

10.
設甲、乙兩袋中，甲袋有1白球1黑球，乙袋有1白球，從甲袋隨機取1球放入乙袋後，再從乙袋隨機取1球放回甲袋，完成這樣的動作稱為一局，試求n局後甲袋有1白球1黑球的機率？(答案以n表示)
(105彰化高中，https://math.pro/db/thread-2492-1-1.html)
(110彰化女中，https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)

11.
實數a,b滿足 (a+bi)^{101}=a-bi (其中 i=\sqrt{-1} )，則數對 (a,b) 有組解

Find the number of ordered pairs of real numbers (a,b) such that (a+bi)^{2002}=a-bi .
(A)1001　(B)1002　(C)2001　(D)2002　(E)2004
(2002AMC12，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)

13.
將十次多項式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10) 展開後得 x^{10}+55x^9+a_8x^8+a_7x^7+...+10! ，若 a_8=55M ， a_7=55^2 N ，其中M、N為正整數，求數對 (M,N)= ？

thepiano所提供的解法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7448#p7437
但這個公式是我在2008年在ptt數學版看到的，想不到過了這麼多年這篇文章終於派上用場，請參閱附加檔案

15.
四邊形ABCD， \overline{AB}=14 、 \overline{BC}=9 、 \overline{CD}=7 、 \overline{DA}=12 ，求四邊形ABCD的所有內切圓中，面積最大者為

Consider all quadrilaterals ABCD such that \overline{AB}=14 , \overline{BC}=9 , \overline{CD}=8 , \overline{DA}=12 . What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?
(2011AMC12A，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_24)
(2011中文版AMC12，https://math.pro/db/thread-1080-1-1.html)

112.6.13補充
若四邊形ABCD中，\overline{AB}=8、\overline{BC}=15、\overline{CD}=17、\overline{DA}=10，則四邊形ABCD的內切圓面積的最大值為　　　。
(112大直高中，https://math.pro/db/thread-3759-1-1.html)

計算題2.
設 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \in Z[x] ，若 a_n ， a_0 ， f(1) 均為奇數，試證：方程式 f(x)=0 沒有有理根
(88台中一中高一期末考試題，h ttp://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T88113.pdf　連結已失效)