題目和答案如附件

選擇題
2.已知x1x2是方程式x2−(k−2)x+(k2+3k+5)=0的兩個實數根，則x21+x22的最大值是多少？
(1)19　(2)18　(3)595　(4)−31　(5)不存在。

Suppose kR and are two real roots of the equation x2−(k−2)x+(x2+3x+5)=0,
then find the maximum value of 2+2.
連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=251904

95忠明高中，95文華高中，97大安高工，97全國高中聯招都考過這題
下次再看到這題時請把答案18直接填上去

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
102.3.25補充
已知x1、x2是方程x2−(k−2)x+(k2+3x+5)=0(k為實數)的兩個實數根，x21+x22的最大值是(A)19，(B)18，(C)595，(D)不存在。請選擇一正確答案。
錯解
由根與係數之關係可知x1+x2=k−2，x1x2=k2+3k+5，
x21+x22=x21+2x1x2+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2=(k−2)2−2(k2+3k+5)=k2−4k+4−2k2−6k−10=−k2−10k−6=−(k+5)2+19。
由此可以得出當k=−5時，x21+x22的最大值是19，∴此題應該選擇(A)

剖析
本題主要考查學生一元二次方程部分的基本知識、根的判別式。根與係數之關係及函數的極值，從以上解法來看，解題過程和計算沒有錯誤，此題的錯誤在於忽視了題目中給出的一個條件，即x1、x2是方程的兩個實數根，由於忽視了這個條件，因而無法確定k的取值範圍，造成了此題選擇的錯誤。

正確解法
∵　x1、x2是方程的兩個實數根，∴0，即[−(k−2)]2−4(k2+3k+5)0，
又∵　[−(k−2)]2−4(k2+3k+5)=k2−4k+4−4k2−12k−20=−3k2−16k−16，
∴　−3k2−16k−160，即　3k2+16k+160，
∴　−4k−34。
由根與係數之關係可知x1+x2=k−2，x1x2=k2+3k+5，
∴　x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(k−2)2−2(k2+3k+5)=k2−4k+4−2k2−6k−10=−k2−10k−6=−(k+5)2+19。
由於x21+x22=−(k+5)2+19是k的一個二次函數，而且在−4k−34範圍內是減函數，因此在k=−4處取得最大值。
∴　 x_1^2+x_2^2 的最大值是18，∴　此題應該選擇(B)
(錯在哪裡？中學生解數學題常犯的錯誤分析P17，九章出版社)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
5.設 x_1,x_2,x_3,...,x_n 均為整數且滿足：
(a) -1 \le x_i \le 2 ， i=1,2,3,...,n ，
(b) x_1+x_2+x_3+...+x_n=19 ，
(c) x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2=19
令 S=x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3 ，S的最大值和最小值分別為M,m，試問下列敘述哪些是正確的？
(1)m為質數　(2)M為7的倍數　(3) \displaystyle \frac{M}{m} 為整數
(4)當S有最小值時，此級數中有30項為 -1 　(5)當S有最大值時，此級數中非0的項有42項
(2010年台灣區數甲第5次模擬考03.02　RA566.swf)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1582

99.8.21補充
設 x_1,x_2,x_3,...,x_n \in \{\; -1,0,1,2 \}\; 滿足
\displaystyle \cases{x_1+x_2+x_3+...x_n=19 \cr x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2=99} ，
求 x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_n^3 之最大值M與最小值m。
(中一中合作盃第25期)

99.10.20補充
設 x_1,x_2,...,x_{2010} 是整數，且滿足下列條件
(1) -1 \le x_n \le 2 　( n=1,2,...,2010 )
(2) x_1+x_2+...+x_{2010}=204
(3) x_1^2+x_2^2+...+x_{2010}^2=2010
試求 x_1^3+x_2^3+...+x_{2010}^3 之最小值及最大值
(建中通訊解題第82期)

設 a_1,a_2,...,a_{50} 是從 -1 ，0，1這三個整數中取值的數列。若 a_1+a_2+...+a_{50}=9 且
(a_1+1)^2+(a_2+1)^2+...+(a_{50}+1)^2=107 ，則 a_1，a_2，...，a_{50} 當中有幾項是0？
(92學測)


從 \{\; -1,3,11 \}\; 中重複取出15個數 a_1，a_2，...，a_{15} 。已知 a_1+a_2+...+a_{15}=41 且
(a_1+5)(a_2+5)...(a_{15}+5)=2^{42} ，則 a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_{15}^2= ？
(2009TRML個人賽)

101.4.30補充
x_i 為整數且 -1 \le x_i \le 2 ， x_1+x_2+...+x_{2012}=19 ， x_1^2+x_2^2+...+x_{2012}^2=219 ，若 x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3 最大值為M，最小值為m，則數對 (M,m) 為何？
(101臺南二中，https://math.pro/db/thread-1335-1-1.html)

X_1 、 X_2 、 X_3 …、 X_{n-1} 、 X_n 均為 -1 或0或1或2，n為正整數，且滿足下列兩個等式：
X_1+X_2+X_3+...+X_{n-2}+X_{n-1}+X_n=91
X_1^2+X_2^2+X_3^2+...+X_{n-2}^2+X_{n-1}^2+X_n^2=2002
求 X_1^3+X_2^3+...+X_{n-1}^3+X_n^3 之最大值、最小值
(建中通訊解題第22期)

101.6.19補充
設 a_1 ， a_2 ，…， a_{50} 是從-1，0，1，這三個整數中取値的數列。若 a_1+a_2+…+a_{50}=9 ，且 (a_1+1)^2+(a_2+1)^2+…+(a_{50}+1)^2=107 ，則 a_1 ， a_2 ，…， a_{50} 當中有幾項是0？
(101瑞芳高工，https://math.pro/db/thread-1424-1-1.html)


填充題
18.已知 x \ge 0 ， y \ge 0 ， z \ge 0 且 2x+y+z=4 ，若 x+3y \le 5 ，則 x+y 的最大值為。
[提示]
z=4-2x-y \ge 0 ，當作 x,y 的線性規劃


計算題
20.已知圓內接四邊形ABCD中， \overline{AB}=3 ， \overline{BC}=5 ， \overline{CD}=8 ， \overline{DA}=5 ，而點P為四邊形ABCD內一點，
今設點P至 \overline{AB} 、 \overline{BC} 、 \overline{CD} 、 \overline{DA} 的距離分別為a、b、c、d，試求：
(1)四邊形ABCD的面積？
(2) a^2+b^2+c^2+d^2 的最小值為？
[提示]
(1)google 四邊形的面積
http://www.google.com.tw/search? ... 1&aql=&oq=&gs_rfai=
(2)柯西不等式

凸四邊形之四邊長為 a,b,c,d ，令 \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} ，A為一組對角和，試證該四邊形之面積為
\displaystyle \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd cos^2 \frac{A}{2}} 由此或用其他方法解下面問題：求周長為 2s 的四邊形之中，面積最大的四邊形。
(94高中數學能力競賽　嘉義區筆試一試題)
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2006_Taiwan_High_ChiaYi_01.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_ChiaYi_01.pdf