填充題
1.求使得
2n+216+219為完全平方數的正整數n？
試求所有的正整數
n使得
x=28+211+2n為一完全平方數。
(2006TRML團體賽)
若n為正整數，且
4n−2+28+1為一完全平方數，則n的最大值為多少？
(2005TRML接力賽)
使得
497+42008+4n為完全平方數的最大正整數n為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
https://math.pro/db/thread-919-1-2.html
求最大自然數n，使得
42009+42008+4n是完全平方數
(建中通訊解題第68期)
108.4.27補充
n為正整數，已知
22+2n+210為完全平方數，
n的最大值與最小值之和為
。
(108彰化女中，
https://math.pro/db/thread-3123-1-1.html)
2.將
n2個正數排成一個
n
n階方陣，其中每一列的數成等差，每一行的數成等比，且所有的公比皆相等。已知
a24=1，
a42=81，
S=a11+a22+
+ann，若
S+1210的和為一正整數，則n之值為。
[出處，1990大陸高中數學競賽]
解答可以到
https://math.pro/db/thread-919-1-2.html 下載"97高中數學能力競賽補充資料.rar"
3.如圖，兩個全等之矩形置於一直角三角形內，並使其一長邊各與三角形之一股重合。設兩股長a,b可以調整，又設矩形短邊長為mb，則m之最大值為。
[出處，97高中數學能力競賽 南區(高雄區)筆試一試題]
4.若兩圖形
y=f(x)=ax與
y=g(x)=logax有唯一的交點，則不為1的正實數a之範圍為。
指數函數
y=f(x)=ax與對數函數
y=g(x)=logax，若已知
f(x)與
g(x)相交三點，求實數a的範圍。
(97中一中)
7.某特徵(如拇指是否可以彎曲)是根據一對基因來分類的，若A,a分別代表顯性及隱性基因，則某人有AA之基因稱為純顯性，Aa(同為aA)稱為混合型，aa稱為純隱性。外觀上，Aa和AA都有這個特徵。孩子從父母各得一因子，假設AA,Aa,aa之人口比例分別為
41，
21，
41，且婚配與否和此特徵無關。若有一對夫妻他們4個小孩中有3個具顯性特徵，求此對夫妻皆為混合型之機率為。
[出處，97高中數學能力競賽 台中區筆試二試題]
9.若
n100
2cos72
100n+1，
n
N，則n=。
[提示]
z=cos72+isin72是
z6+z5+z4+z3+z2+z+1=0的一根
同除
z3，
z3+z2+z+1+z1+1z2+1z3=0
(z+z1)3−3(z+z1)+(z+z1)2−2+(z+z1)+1=0
(z+z1)3+(z+z1)2−2(z+z1)−1=0
令
\displaystyle t=z+\frac{1}{z}=2 cos \frac{2 \pi}{7} 是
t^3+t^2-2t-1=0 的一根
只是要找出
t=1.246979603717467 這個近似值就比較麻煩了
2011.4.17感謝moun9指正
\displaystyle z=cos \frac{\pi}{7}+isin \frac{\pi}{7} 更正為
\displaystyle z=cos \frac{2\pi}{7}+isin \frac{2\pi}{7}
計算證明題
1.地圖上某一地區有n(
n \ge 3 )個國家相鄰，但n個國家只有一個公共點(如右圖)。現用紅，黃，綠，藍四種顏色給地圖染色，但使相鄰的國家顏色不同，滿足上述染色規則的方法有
a_n 種。
(1)試求
a_3 、
a_4 的值。
(2)試求數列
\{ a_n \} 的遞迴關係式。
(3)求出
a_n 的一般項。
https://math.pro/db/thread-499-1-1.html
