109嘉義高中代理

3.
令無窮級數S=312+512+22+712+22+32++2n+112+22+32++n2+，試求S之值。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

4.
若三次多項式f(x)=2x3−6x−3，則方程式f(f(x))=0有幾個相異實根？

考慮三次多項式f(x)=−x3−3x2+3，試回答下列問題
(1)在坐標平面上，試描繪y=f(x)的函數圖形，並標示極值所在點之坐標。
(2)令f(x)=0的實根為a1、a2、a3，其中a1a2a3。試求a1、a2、a3分別在哪兩個相鄰整數之間？
(3)承(2)，試說明f(x)=a1、f(x)=a2、f(x)=a3各有幾個相異實根？
(4)試求f(f(x))=0有幾個相異實根(註：f(f(x))=−(f(x))3−3(f(x))2+3)。
(107指考數甲，https://math.pro/db/thread-2994-1-1.html)

5.
若−3x1，試求f(x)=x+3+1−x 的值域。
[提示]
[(x+3)2+(1−x)2][12+12](x+3+1−x)2 
f(−3)=2，f(1)=2
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

6.
一個邊長為2的正立方體ABCD−EFGH，點M為稜邊CG的中點，點P和Q分別在稜邊BF及DH上，且APMQ為一平行四邊形的四個頂點，如右圖所示，今設定坐標系，使得D,A,C,H的坐標分別為(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)和(0,0,2)，試證四角錐G-APMQ的體積為\displaystyle \frac{4}{3}。


一個邊長為1的正立方體ABCD-EFGH，點P為稜邊\overline{CG}的中點，點Q、R分別在稜邊\overline{BF}、\overline{DH}上，且A,Q,P,R為一平行四邊形的四個頂點，如下圖所示。今設定坐標系，使得D、A、C、H的坐標分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，且\overline{BQ}=t，試回答下列問題。
(1)試求點P的坐標。
(2)試求向量\vec{AR}(以t的式子來表示)。
(3)試證明四角錐G-AQPR的體積是一個定值(與t無關)，並求此定值。
(4)當\displaystyle t=\frac{1}{4}，求點G到平行四邊形AQPR所在平面的距離。
(109指考數甲，https://math.pro/db/thread-3357-1-1.html)

解法出自忠明高中 陳冠州老師，https://www.ehanlin.com.tw/infos ... %95%B8%E7%94%B2.pdf

7.
設z為一複數，若\displaystyle \frac{z-1}{z+1}為純虛數，試求|\;z^2-z+2|\;的最小值。

已知z為複數，且\displaystyle \frac{z}{z-1}為純虛數，求|\;z-i|\;之最大值。
(98新港藝術高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=938&page=1#pid4656)
(99台中二中，https://math.pro/db/thread-934-1-1.html)

8.
某校新建的教學大樓一樓共有8個班級，每個班級的班牌都是相同的大小，若學校想用紅，綠，藍，黃四種顏色將班牌上色，每個班牌只上一色，上色的要求如下:
(1)相鄰的兩個班級班牌不同色
(2)第一個班級與第八個班級的班牌顏色不同
(3)四種顏色均須用到
根據以上考量，請問有幾種不同的上色方法？
(更多類題，https://math.pro/db/thread-499-1-1.html)