標題: 99屏東女中 [打印本頁]

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作者: 八神庵    時間: 2010-6-23 17:04     標題: 99屏東女中

難怪我找不到
原來是我忘了貼上來
有請各位詳細品嘗!!

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作者: YAG    時間: 2010-7-5 20:03     標題: 請問第11題怎麼解

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作者: iamkoa    時間: 2010-7-6 14:11     標題: 回復 2# YAG 的帖子

(a+1)(b+1)=525=25*(3*7)
(b+1)(c+1)=147=(3*7)*7
(c+1)(d+1)=105=7*(3*5)
a=24 b=20 c=6 d=14

[ 本帖最後由 iamkoa 於 2010-7-7 09:28 AM 編輯 ]

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作者: YAG    時間: 2010-7-6 21:23     標題: 回復 3# iamkoa 的帖子

謝謝老師指教

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作者: bugmens    時間: 2010-9-12 21:04

6.\( \omega \)為\( z^7=1 \)之虛根，試求
甲、以\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)，\( \omega^3+\omega^5+\omega^6 \)為兩根之二次方程式
乙、求\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)之值
[提示]
\( \omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6=-1 \)
\( (\omega+\omega^2+\omega^4)(\omega^3+\omega^5+\omega^6)=2 \)


9.若\( \cases{a+b+c+d+e=8 \cr a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16} \)，求e的最大值？
https://math.pro/db/thread-61-1-2.html

以下的題目都是相同技巧
(高中數學競賽教程P195，93彰化女中，TRML2006個人賽都有這題)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=17863

設\( a,b,c,d \in R \)，\( a+b+c+d=6 \)，\( a^2+b^2+c^2+d^2=12 \)，則d的最大值為？
(96嘉義高工，https://math.pro/db/thread-61-1-2.html)

設\( a,b,c,d \in R \)，且\( \cases{a+b+c+d=4 \cr a^2+2b^2+3c^2+6d^2=10} \)，若a的最大值為M，最小值為m，求數對\( (M,m) \)？
(97大里高中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052)

\( \cases{a+b+c+d=3 \cr a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5} \)求a的最大最小值？
(高中數學101　P355，高中數學101修訂版　P357)

已知\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=24 \)且\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k^2=64 \)；若\( a_1,a_2,a_3,...,a_{10} \)均為實數，則\( a_1 \)的最大值為？
(99師大附中，https://math.pro/db/thread-935-1-3.html)


10.\( \displaystyle \cases{sin\theta+cos\phi=\frac{3}{5} \cr cos\theta+sin\phi=\frac{4}{5}} \)，求\( cos\theta sin\phi \)
(96家齊女中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23930)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-9-12 09:06 PM 編輯 ]

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作者: addcinabo    時間: 2010-9-20 18:35

請問各位前輩第7題與第8題
       第7題  我覺得無解,因為算關係式的時候發現 y=(x-3)/4   ,   w=(x-1)/4  =>應該沒有兩個數字只差2但同時為4的倍數吧!

       第8題  列出來數字太大,不曉得怎麼合併? 應該是我用錯想法,請各位大大指教

感謝先  <(_ _)>

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作者: weiye    時間: 2010-9-20 18:56

第 8 題： 袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,…,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。

解答：

被取到的求有三顆，不被取到的球有 \(2005\)顆，

將這 \(2005\) 顆平均分布在被取到三顆球的四個空隙中，

平均每個空隙有 \(\displaystyle\frac{2005}{4}\) 顆，

所以，第三顆被取到球所排的順序是第 \(\displaystyle3\times\left(1+\frac{2005}{4}\right)=\frac{6027}{4}\) 顆，

故，被取到球的最大號碼的期望值為 \(\displaystyle\frac{6027}{4}.\)



註：此題解法同 97 大里高中的計算第 3 題。
97大里高中h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052　連結已失效

111.4.2補充
袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,\cdots,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。
(97台中一中，https://math.pro/db/thread-1344-1-1.html)

袋中有2022顆球，分別編號為1、2、3、⋯⋯、2022，假設每球被取中的機率相同，今從袋中一次取三顆球，設三顆球之中編號最大者為\(x\)，求\(x\)的期望值為何？
(111樟樹實創高中，https://math.pro/db/thread-3617-1-1.html)




第 7 題小弟解到後來會產生跟 addcinabo 所說一樣的矛盾。

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作者: YAG    時間: 2011-3-23 21:31

謝謝!

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作者: hua77825    時間: 2011-5-3 01:43

可以請問一下第12題該如何下手嗎，感謝

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作者: bugmens    時間: 2011-5-3 06:43

12. \( \langle\; a_n \rangle\; \)為1到n之一個排列，試證\( \displaystyle \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}\gt \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n-1}{n} \)


設\( a_1，a_2，...，a_n \in N \)，且各不相同，求證：\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\le a_1+\frac{a_1}{2^2}+...+\frac{a_n}{n^2} \)。
(奧數教程高二　第19講排序不等式與琴生不等式)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-3 06:51 AM 編輯 ]

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作者: dh30301    時間: 2011-6-10 14:25

引用:

原帖由 iamkoa 於 2010-7-6 02:11 PM 發表
(a+1)(b+1)=525=25*(3*7)
(b+1)(c+1)=147=(3*7)*7
(c+1)(d+1)=105=7*(3*5)
a=24 b=20 c=6 d=14

這題答案似乎還有另外這一組解：
a=74 b=6 c=20 d=4 ...... 請多指教。

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作者: mathca    時間: 2015-12-11 14:37     標題: 回復 1# 八神庵 的帖子

請教第3題，感謝。

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作者: thepiano    時間: 2015-12-11 15:56     標題: 回復 12# mathca 的帖子

第3題
\(\begin{align}
  & \tan \alpha +\tan \beta =a \\
& \tan \alpha \tan \beta =b \\
& {{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\beta  \\
& =\frac{1}{{{\sec }^{2}}\alpha }-\frac{1}{{{\csc }^{2}}\beta } \\
& =\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }-\frac{1}{1+{{\cot }^{2}}\beta } \\
& =\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }-\frac{{{\tan }^{2}}\beta }{1+{{\tan }^{2}}\beta } \\
& =\frac{1+{{\tan }^{2}}\beta -{{\tan }^{2}}\beta \left( 1+{{\tan }^{2}}\alpha  \right)}{\left( 1+{{\tan }^{2}}\alpha  \right)\left( 1+{{\tan }^{2}}\beta  \right)} \\
& =\frac{1-{{\tan }^{2}}\alpha {{\tan }^{2}}\beta }{\left( 1+{{\tan }^{2}}\alpha  \right)\left( 1+{{\tan }^{2}}\beta  \right)} \\
& =\frac{1-{{\left( \tan \alpha \tan \beta  \right)}^{2}}}{1+{{\left( \tan \alpha +\tan \beta  \right)}^{2}}-2\tan \alpha \tan \beta +{{\left( \tan \alpha \tan \beta  \right)}^{2}}} \\
& =\frac{1-{{b}^{2}}}{1+{{a}^{2}}-2b+{{b}^{2}}} \\
& =\frac{1-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}} \\
\end{align}\)

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作者: mathca    時間: 2015-12-11 18:39     標題: 回復 13# thepiano 的帖子

感謝。

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作者: martinofncku    時間: 2017-8-27 22:45

請問 6 乙.

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作者: thepiano    時間: 2017-8-28 10:26     標題: 回復 15# martinofncku 的帖子

第 6 題
甲的答案是\({{x}^{2}}+x+2=0\)
\(x=\frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}\)
由於\(\sin \frac{2\pi }{7}+\sin \frac{4\pi }{7}+\sin \frac{8\pi }{7}>0\)
故\(\omega +{{\omega }^{2}}+{{\omega }^{4}}=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\)

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作者: martinofncku    時間: 2017-8-28 17:23

謝謝老師

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作者: kyrandia    時間: 2017-8-29 09:41

引用:

原帖由 weiye 於 2010-9-20 18:56 發表
第 8 題： 袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,…,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。

解答：

被取到的求有三顆，不被取到的球有 \(2005\)顆，

...

第八題...
在 Robert V. Hogg的大作 INTRUDUCTION TO MATHEMATICAL SAATISTICS 中,有詳細提到order statistics(順序統計量)的作法(包含pdf的導出),各位老師可以參考一下,
總覺得教甄在統計方面似乎沒出過甚麼題目,不外乎排列組合或是敘述統計,這一題是我看過近年來最接近數理統計的一題了

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作者: anyway13    時間: 2017-11-25 12:00     標題: 請教第五題

各位老師好!  第五題算到3/4-T=-2.25+(6/3^29)後就卡住了

用excel算出的答案是-2.249999999999910000000000000000

似乎和寸絲大筆記提供的答案不同(k,a)=(14,7)

請問該怎麼求出來呢?  謝謝!

[ 本帖最後由 anyway13 於 2017-11-25 12:02 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2017-11-25 13:28     標題: 回復 19# anyway13 的帖子

您的 3/4 - T 算錯了
請參考http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &start=10#p9071

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作者: anyway13    時間: 2017-11-25 16:38     標題: 回復 20# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師指點!

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作者: anyway13    時間: 2017-11-25 17:05     標題: 繼續請問第五題

關於3/4-T一直算不出 15.75 * (1/3)^30

我以為我會了,其實並沒有

過程夾在附檔,麻煩老師指點一下!謝謝!

\(\displaystyle T=\sum_{n=1}^{30}\frac{n}{3^n}\)
\(\displaystyle T=\frac{1}{3^1}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\ldots+\frac{30}{3^{30}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{3}T=　\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\ldots+\frac{29}{3^{30}}+\frac{30}{3^{31}}\)
上下兩式相減
\(\displaystyle \frac{2}{3}T=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots+\frac{1}{3^{30}}-\frac{30}{3^{31}}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}T=\frac{\frac{1}{3}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{30} \right]}{1-\frac{1}{3}}-\frac{30}{3^{31}}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}T=\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{30} \right]-\frac{30}{3^{31}}\)
\(\displaystyle T=3\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{30} \right]-\frac{10}{3^{30}}\times \frac{3}{2}\)
\(\displaystyle T=3-3\left(\frac{1}{3}\right)^{30}-15\left(\frac{1}{3}\right)^{30}\)
\(\displaystyle T=3-18\left(\frac{1}{3}\right)^{30}\)
\(\displaystyle -T=-3+18\left(\frac{1}{3}\right)^{30}\)
\(\displaystyle \frac{3}{4}-T=-\frac{9}{4}+18\left(\frac{1}{3}\right)^{30}\)

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作者: tsusy    時間: 2017-11-25 17:18     標題: 回復 22# anyway13 的帖子

第7行是
\( \Rightarrow T = \frac 34 -...\)

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作者: anyway13    時間: 2017-11-26 00:35     標題: 謝謝寸絲老師

謝謝您。犯了基本錯誤，很蠢。

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作者: anyway13    時間: 2018-8-9 17:24     標題: 請問第八題

版上老師好!

第 8 題： 袋中有 2008 顆球，分別編號為 123…2008 ，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 T，求 T 之期望值
若改成  袋中有 4顆球，分別編號為 123…4 ，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 T，求 T 之期望值?
根據瑋岳老師的解法,答案應該為 被取到的求有三顆，不被取到的球有 1顆，將這 1 顆平均分布在被取到三顆球的四個空隙中，
平均每個空隙有 0.25 顆，所以，第三顆被取到球所排的順序是第 3(1+0.25)=3.75  顆，故，被取到球的最大號碼的期望值為 3.75顆

想問得是帶中抽球不外乎以下幾種結果
1,2,3   取最大3
1,2,4   取最大4
2,3,4  取最大4
答案不是應該為(3+4+4)/3=11/3 嗎?

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作者: kggj5220    時間: 2018-8-9 18:30     標題: 回復 25# anyway13的帖子

\(C^4_3=4\)
會有4種情況吧

還有\(1,3,4,\ldots\)取最大是4
所以是\( \displaystyle \frac{3+4+4+4}{4}=3.75 \)

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作者: anyway13    時間: 2018-8-9 19:00     標題: 回覆26 kggj5220

謝謝 kggj5220老師   我犯傻了!

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