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標題: 99高雄市聯招 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2010-6-23 15:51 標題: 99高雄市聯招

剛打完,請各位慢慢欣賞
考古題超多的....

(感謝bugmens大提供PTT網友的指正!990712)

附件: 99高雄市聯招.rar (2010-7-12 23:12, 47.63 KB) / 該附件被下載次數 15699
https://math.pro/db/attachment.php?aid=273&k=0800db0d5fb216651463fcdfbb522cc5&t=1732275476

作者: bugmens 時間: 2010-6-23 16:47

感謝八神庵提供題目
其他的討論請見　http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3902

1.求值\( \displaystyle \frac{9^{\frac{1}{1001}}}{9^{\frac{1}{1001}}+3}+\frac{9^{\frac{2}{1001}}}{9^{\frac{2}{1001}}+3}+...+\frac{9^{\frac{1000}{1001}}}{9^{\frac{1000}{1001}}+3} \)

\( \displaystyle \frac{\pi^{\frac{1}{99}}}{\pi^{\frac{1}{99}}+\sqrt{\pi}}+\frac{\pi^{\frac{2}{99}}}{\pi^{\frac{2}{99}}+\sqrt{\pi}}+...+\frac{\pi^{\frac{98}{99}}}{\pi^{\frac{98}{99}}+\sqrt{\pi}} \)
(95台中高農，http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421)

9.在直徑12公分的半球形容器內裝滿水，將此容器傾斜\( 30^o \)，求流出去的水量為多少立方公分？

將半徑為a的半球體容器裝滿了水，今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \)，則流出水量之體積=？
(93國立大里高中)

在半徑為6的半球容器內裝滿水，若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \)，求流出的水量。
(98清水高中，https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)

10.設a,b,c為△ABC之三邊長，試證\( \displaystyle \frac{1}{b+c-1}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c} \ge \frac{9}{a+b+c} \)
96新竹女中，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1254

12.試解聯立方程式\( \cases{x+y=5 \cr x^4+y^4=97} \)
95中壢高中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=555

作者: Duncan 時間: 2010-6-23 23:36

首先謝謝八神庵辛苦的打字

想請問各位老師第14題如何下手

作者: weiye 時間: 2010-6-24 10:45

引用:

原帖由 Duncan 於 2010-6-23 11:36 PM 發表
首先謝謝八神庵辛苦的打字

想請問各位老師第14題如何下手

第 14 題：
有七個火柴盒，圍成一圓圈，如圖（請見首篇的附加檔案）所示，長方形框框表示火柴盒，框框內的數字表示該火柴盒內所裝火柴數，現在想搬動各盒中的一些火柴至相鄰的火柴盒中，每次搬一根，最後使每一盒火柴盒內的火柴數相等，則搬動次數最少為幾次？

把各位置都扣掉平均數之後，

我的移動方式如下（取最短移動路徑，且不出現同一線段有互逆的箭頭。）

移動次數為 \(\left(4+3+1+7\right)\times1+\left(1+2\right)\times3=24\) 次。

作者: kuen 時間: 2010-6-24 12:41 標題: 第14題

絕對值函數
h　ttp://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc

102.5.23補充
連結已經失效，將檔案重新上傳到math pro。

附件: ex001.zip (2013-5-23 05:29, 10.82 KB) / 該附件被下載次數 14640
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1700&k=0d68371e2f9c9dcceae30333410463dc&t=1732275476

作者: weiye 時間: 2010-6-24 13:10

引用:

原帖由 kuen 於 2010-6-24 12:41 PM 發表
絕對值函數
http://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc

原來如此，感謝！ ^_^

作者: bugmens 時間: 2010-6-30 23:41

19.已知複數\( z_1 \)，\( z_2 \)滿足以下條件：\( |\ z_1+z_2 |\ =\sqrt{3} |\ z_1 |\ \)，且
\( \displaystyle 0<Arg(\frac{z_1+z_2}{z_1})=Arg(\frac{z_2}{z_1+z_2})<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}= \)？
[補充]
PTT有代數的解法，這裡補充幾何的解法

令\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}=Z \)　，　\( \displaystyle \frac{z_1+z_2}{z_1}=1+Z \)　，　\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1+z_2}=\frac{Z}{1+Z} \)
\( \displaystyle |\ 1+\frac{z_2}{z_1} |\ =\sqrt{3} \)　，　\( 1+Z \)的絕對值為\( \sqrt{3} \)
\( \displaystyle 0<Arg(\frac{z_1+z_2}{z_1})<\frac{\pi}{2} \)　，　設\( 1+Z \)的主幅角為\( \theta \)

在複數平面上以A點代表1+Z，\( \overline{OA}=\sqrt{3} \)，向左平移1的B點代表Z，C點代表\( \displaystyle \frac{Z}{1+Z} \)

根據極式的相除運算，\( \displaystyle \frac{Z}{1+Z} \)的主幅角為Z和1+Z的主幅角相減
\( ∠COX=∠BOX-∠AOX \)　，　\( \theta=∠BOX-\theta \)　，　\( ∠BOX=2 \theta \)　，　\( ∠BOA=\theta \)

故△AOB為等腰三角形　，　\( \overline{AB}=\overline{BO}=1 \)　，　\( \overline{AO}=\sqrt{3} \)，得\( \theta=30^o \)
\( \displaystyle \frac{z_2}{z_1}=1(cos60^o+i sin60^o)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \)

103.02.20補充
當初的PTT文章可以到https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid7411
下載 PTT歷屆教甄試題.rar (204.46 KB)，其中 99高雄市聯招.html 就是代數解法

圖片附件: 99高雄市聯招第19題.gif (2010-7-1 00:46, 16.83 KB) / 該附件被下載次數 11114
https://math.pro/db/attachment.php?aid=262&k=87c209f72303c089ce1350ffded54aa0&t=1732275476

作者: YAG 時間: 2011-3-23 18:44 標題: 請問期望值問題

一袋中有6顆黑球，2顆白球，從袋中一次取一球，每一球被取出的機會均等，取後不放回，一直取到出現白球為止，則取出黑球個數的期望值為何？

作者: weiye 時間: 2011-3-23 19:21

第 18 題：一袋中有 \(6\) 顆黑球，\(2\) 顆白球，從袋中一次取一球，每一球被取出的機會均等，取後不放回，一直取到出現白球為止，則取出黑球個數的期望值為何？

解一：

取出黑球個數為 \(k\) 的機率是 \(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}\)（其中 \(k=0,1,2,3,4,5,6\)），

所求期望值為 \(\displaystyle\sum_{k=0}^{6} k\cdot \frac{\displaystyle\frac{(7-k)!}{(6-k)!1!}}{\displaystyle\frac{8!}{6!2!}}=\sum_{k=0}^{6}\frac{k(7-k)}{28}=2.\)

（數字不大，直接算也還算快！：Ｐ）

解二：

先把 \(2\) 顆白球排一直線，再將 \(6\) 顆黑球「平均分配」到兩顆白球所形成的三個空隙，

由左至右一路取球，至首次取到白球時，取出黑球的個數為 \(2\)，此即為答案。

（解二的想法請參考 https://math.pro/db/thread-976-1-1.html 的第八題。）

註：原本把題目的「一直取到出現白球為止」誤看成「到白求取完為止」，感謝 waitpub 於後方回覆的提醒，本文已修改成正確的答案！

作者: YAG 時間: 2011-3-23 21:32 標題: 回復 9# weiye 的帖子

謝謝!

作者: YAG 時間: 2011-4-3 17:06 標題: 請問weiye老師

請問weiye老師
https://math.pro/db/redirect.php ... o=lastpost#lastpost
最後一個問題的內容

作者: weiye 時間: 2011-4-3 17:33

引用:

原帖由 YAG 於 2011-4-3 05:06 PM 發表
請問weiye老師
https://math.pro/db/redirect.php?tid=587&goto=lastpost#lastpost
最後一個問題的內容

這你可能要問寫那個解答的原發文者了，謝謝。^__^

或是版上其他高手，有沒有人對於統計比較熟析的了。^__^

作者: YAG 時間: 2011-4-9 10:59 標題: 第16題有人做過嗎答案好像不是整數

a_n+2=3a_n+1-2a_n , a_2=7, a_6=127 求 a_10

作者: YAG 時間: 2011-4-9 11:00 標題: 回復 12# weiye 的帖子

謝謝你ㄟ我在想想吧!

作者: Joy091 時間: 2011-4-15 13:10 標題: 第13題的想法

"C5取2" 記為 C(5,2)
試證:
C(2,2)C(n,1)+C(3,2)C(n,2)+C(4,2)C(n,3)+...+C(n+1,2)C(n,n)=n(n+3)*2^(n-3)

考慮 n 人中任取出 k 人 (k=1,2,...,n)，再搭配 n 人以外的某甲後，取出2人的方法數。

左式 = 分類討論 (k=1,2,...,n) 後再加總

右式 = 有取到甲的case + 沒有取到甲的case
      = C(n,1)*2^(n-1) + C(n,2)*2^(n-2)
      = n*2^(n-1) + n(n-1)*2^(n-3)
      = n(n+3)*2^(n-3)                      證明完畢。

作者: weiye 時間: 2011-4-15 14:45

第 13 題：試證 \(C^2_2 C^n_1 + C^3_2 C^n_2 + C^4_2 C^n_3 + \cdots +C^{n+1}_2 C^n_n=n(n+3) 2^{n-3}\)

證明：

左式 \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n C^{k+1}_2 C^n_k\)

   \(\displaystyle= \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)k}{2} C^n_k\)

   \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{k(k-1)+2k}{2} C^n_k\)

   \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n k(k-1) C^n_k+\sum_{k=1}^n k C^n_k\)

   \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n k(k-1) C^n_k+\sum_{k=1}^n k C^n_k\)

   \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n n(n-1) C^{n-2}_{k-2}+\sum_{k=1}^n n C^{n-1}_{k-1}\)

   \(\displaystyle=\frac{1}{2}n(n-1)\cdot 2^{n-2} + n\cdot 2^{n-1}\)

   \(\displaystyle=n(n+3) 2^{n-3}\)

使用此技巧的相似考題：

1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-62-1-5.html

2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-401-1-5.html

3. 求 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{100} \left(x+\frac{k}{100}\right)^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\) 之值
https://math.pro/db/thread-941-1-1.html

4.
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322

作者: dream10 時間: 2011-4-17 10:21

引用:

原帖由 YAG 於 2011-4-9 10:59 AM 發表
a_n+2=3a_n+1-2a_n , a_2=7, a_6=127 求 a_10

第16題答案應該是2047

作者: waitpub 時間: 2011-4-17 20:49

引用:

原帖由 weiye 於 2011-3-23 07:21 PM 發表
第 18 題：一袋中有 \(6\) 顆黑球，\(2\) 顆白球，從袋中一次取一球，每一球被取出的機會均等，取後不放回，一直取到出現白球為止，則取出黑球個數的期望值為何？

解一：

取出黑球個數為 \(k\) 的機率是 ...

請問這題題目是說"一直取到出現白球為止"，算法是不是有問題?我算出來的答案是兩顆?

作者: weiye 時間: 2011-4-17 21:02 標題: 回復 18# waitpub 的帖子

喔～對耶，我把題目看成「到取完白球為止」，我看錯了，馬上來修改！XD

作者: nanpolend 時間: 2011-6-9 13:31 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

第一題詳解
今年高雄市又考這題YA
8分馬上入帳

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 11:35 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-9 13:58 標題: 回復 20# nanpolend 的帖子

第12題詳解
轉貼bugmens連結

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-9 23:12 標題: 回復 21# nanpolend 的帖子

第2題詳解
部分轉貼美夢成甄

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-10 09:23 標題: 回復 22# nanpolend 的帖子

第3題詳解
修正版

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=659&k=a5065b2e0abdc4631ca7dcd7cb97c81b&t=1732275476

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-10 09:45 標題: 回復 23# nanpolend 的帖子

第20題
轉貼美夢成真

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-10 10:43 標題: 回復 24# nanpolend 的帖子

第9題
如同瑋岳之前的做法
直接積分0-3連面積都不必相減了

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-10 12:03 標題: 回復 25# nanpolend 的帖子

第10題

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 11:18 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-10 19:46 標題: 回復 26# nanpolend 的帖子

第4題

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 00:14 標題: 回復 27# nanpolend 的帖子

第6題

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 11:14 AM 編輯 ]

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 00:57 標題: 回復 28# nanpolend 的帖子

第8題

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 02:29 標題: 回復 29# nanpolend 的帖子

第17題

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 04:05 標題: 回復 31# nanpolend 的帖子

第16題詳解(轉貼昌爸)
yani
[ 124.218.29.170 ] 回覆於: 2011/6/11 上午 03:44:33
a_2=7,a_6=127；a_(n+2)=3a_(n+1)-2a_n
xx-3x+2=0，(x-1)(x-2)=0，x=1,2
a_n=p*2^n+q ；a_2=4p+q=7；a_6=64p+q=127
60p=120，p=2，q=-1；a_n=2^(n+1) -1；a_10=2^11-1=2047
補充遞迴的公式和推導

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 12:59 標題: 回復 32# nanpolend 的帖子

第15題詳解(轉貼昌爸)
? 回覆於: 2011/6/11 上午 10:08:06
卡諾重心定理

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 13:03 標題: 回復 33# nanpolend 的帖子

第5題詳解(轉貼昌爸)
? 回覆於: 2011/6/11 上午 08:53:14

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作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 17:14 標題: 回復 4# weiye 的帖子

解法漂亮

作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 17:51 標題: 回復 7# bugmens 的帖子

漂亮的複數轉換

作者: nanpolend 時間: 2011-6-11 22:08 標題: 回復 36# nanpolend 的帖子

第7題詳解(更新版)
感謝waive老師
這張考卷大致都詳解
還有公式直接套用新版高中101的公式 P323
直接算出回歸線斜率連x,y的標準差都不用算出

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2013-5-23 01:39 AM 編輯 ]

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作者: 老王 時間: 2011-6-11 22:26 標題: 回復 33# nanpolend 的帖子

取BC中點D，那麼
\(\displaystyle PB^2+PC^2=2(PD^2+BD^2) \)...........(1)
\(\displaystyle GB^2+GC^2=2(GD^2+BD^2) \)...........(2)
取AG中點K，那麼AK=KG=GD
\(\displaystyle PA^2+PG^2=2(PK^2+AK^2) \)............(3)
\(\displaystyle PK^2+PD^2=2(PG^2+KG^2) \)............(4)
(1)-(2)得
\(\displaystyle PB^2+PC^2+2GD^2=GB^2+GC^2+2PD^2) \)...............(5)
(3)+(4)*2得
\(\displaystyle PA^2+2PD^2=2AK^2+3PG^2+4KG^2=6AK^2+3PG^2 \)...........(6)
(5)+(6)得
\(\displaystyle PA^2+PB^2+PC^2=GB^2+GC^2+4AK^2+3PG^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GP^2 \)

作者: weiye 時間: 2011-6-11 22:49 標題: 回復 33# nanpolend 的帖子

\(\overline{PA}^2=\vec{PA}\cdot\vec{PA}=\left(\vec{PG}+\vec{GA}\right)\cdot\left(\vec{PG}+\vec{GA}\right)\)

　　　　　　　　　\(=\vec{PG}\cdot\vec{PG}+2\vec{PG}\cdot\vec{GA}+\vec{GA}\cdot\vec{GA}\)

　　　　　　　　　\(=\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+2\vec{PG}\cdot\vec{GA}\)

同理，

\(\overline{PB}^2=\overline{PG}^2+\overline{GB}^2+2\vec{PG}\cdot\vec{GB}\)

且

\(\overline{PC}^2=\overline{PG}^2+\overline{GC}^2+2\vec{PG}\cdot\vec{GC}\)

將上列三式相加，可得

\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=3\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2\)

　　　　　　　　　　　\(+2\vec{PG}\cdot\left(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}\right)\)

\(\Rightarrow \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=3\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2\)

作者: qazjack123 時間: 2011-6-13 22:18 標題: 回覆 23# nanpolend 的帖子

大大你的第三題可能算錯了
是否請在檢查一下

第七題的最適合直線的公式
其中斜率的算法應該要多乘r(相關係數)吧? (謝謝瑋岳老師)

第11題我的作法跟後來在昌爸討論室kungfan老師所貼文相同
(轉貼)個位數是0：
因為萬位<=千位<=百位<=十位<=個位=0
所以萬位=千位=百位=十位=0
0個
個位數是2：
萬、千、百、十位均為1,2(因為萬位不可能是0，千、百、十位均>=萬位)
且按照遞增排列，
共有H(2,4)=C(5,4)=5個
個位數是4：
萬千百十位均為1,2,3,4且按照遞增排列
共有H(4,4)=C(7,4)=35個
個位數是6：
萬千百十位均為1~6且按照遞增排列
共有H(6,4)=C(9,4)=126個
個位數是8：
萬千百十位均為1~8且按照遞增排列
共有H(8,4)=C(11,4)=330個
共有5+35+126+330=496個

我認為這個想法才符合題義~~

[ 本帖最後由 qazjack123 於 2011-6-14 12:29 AM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2011-6-13 23:35

引用:

原帖由 qazjack123 於 2011-6-13 10:18 PM 發表
第七題的最適合直線的公式
其中斜率的算法應該要多乘r(相關係數)吧?

是滴～是我回站內訊息給 nanpolend 的時候漏掉了～：Ｐ

迴歸直線方程式是 \(\displaystyle\frac{y-\overline{y}}{S_y}=r\cdot\frac{x-\overline{x}}{S_x}\)

作者: tsusy 時間: 2012-7-22 13:15

回復 23# nanpolend 的帖子

第三題，如 40# qazjack123 所說，23# 應該是計算錯誤，正確答案為 \( \begin{bmatrix}-3 & 5\\
-1 & 2
\end{bmatrix} \)

回復 29# nanpolend 的帖子

是否誤會第 8 題題目，題意說的是某日、四日後

也就是一日後、二日後、三日後、四日後，要乘四次轉移矩陣。如此，答案應為 \( \frac{85}{256} \)

作者: casanova 時間: 2012-10-11 10:10

引用:

原帖由 kuen 於 2010-6-24 12:41 PM 發表
絕對值函數
http://kmath.0fees.net/classroom/exercise/ex001.doc

點進去這個網址，現在好像看不到了，有人有存檔嗎？謝謝。

作者: weiye 時間: 2012-10-12 09:09 標題: 回復 43# casanova 的帖子

小弟模仿 kuen 的老師的做法再寫一次，如下僅供參考。

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附件: 99高雄市聯招第14題.doc (2012-10-12 09:09, 33 KB) / 該附件被下載次數 9380
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作者: martinofncku 時間: 2013-1-15 00:03

我想請問第5題

101.1.15版主補充
外部檔案的連結將來有可能會失效，我幫你重新打字。
設\( \displaystyle A(x_1,\frac{1}{5}{x_1}^2) \)，\( \displaystyle B(x_2,\frac{1}{5}{x_2}^2) \)
過M的直線方程為\( y-2=s(x-1) \)，s為斜率
將直線方程代入\( x^2=5y \)，
得\( x^2-5sx＋5s-10=0 \)，\( x_1x_2=5s-10 \).
∵\( ∠AOB=90^o \)　∴\( \vec{OA}\cdot \vec{OB}=0 \)，\( \displaystyle x_1x_2+\frac{1}{25}(x_1x_2)^2=0 \)，
將\( x_1x_2=5s-10 \)代入，得\( s=-3,2 \)
我的問題是：2為什麼不合呢？
http://666kb.com/i/caotso2sn7kxcxlb7.gif

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-1-15 07:03 AM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2013-1-15 08:38 標題: 回復 45# martinofncku 的帖子

因為當 \(s=2\) 時，\(y-2=s(x-1)\) 剛好通過原點，

所以不會形成 \(\triangle OAB\)。

作者: nanpolend 時間: 2013-5-23 01:36 標題: 回復 42# tsusy 的帖子

感謝
我在複習時才發現＝＝已經二年後

作者: mathca 時間: 2016-1-2 13:18 標題: 回復 22# nanpolend 的帖子

請教 #22 第2題詳解法(一)
A ( cos theta , sin theta ) 、 B ( 0 , -1 )
y-(-1) / x 如何看出這樣的斜率，最大在 pi/3 最小在 pi/6
感謝。

作者: thepiano 時間: 2016-1-2 18:27 標題: 回復 48# mathca 的帖子

畫圖，注意\({{30}^{\circ }}\le \theta \le {{60}^{\circ }}\)

作者: mathca 時間: 2016-1-3 09:20 標題: 回復 49# thepiano 的帖子

一個單位圓跟一個點( 0 , -1 ) ，算他們的 (y-1) / x ，還是接不到臨界角切在 30度~60度
不知是否想法不到位，應該是圖形不知怎畫，x-y座標系統 OR x-(y+1) 座標系統....困惑...
懇請再指教，感謝。

作者: thepiano 時間: 2016-1-3 15:22 標題: 回復 50# mathca 的帖子

參考圖

圖片附件: 20160103.jpg (2016-1-3 15:22, 27.24 KB) / 該附件被下載次數 5952
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作者: mathca 時間: 2016-1-3 17:44 標題: 回復 51# thepiano 的帖子

感謝。

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