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標題: 98新港藝術高中 [打印本頁]

作者: Duncan 時間: 2010-5-14 00:21 標題: 98新港藝術高中

請問各位老師第１０題怎麼做
卡了很久

數

圖片附件: 98數學科試題3-2.jpg (2010-5-14 00:21, 480.74 KB) / 該附件被下載次數 10664
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作者: weiye 時間: 2010-5-14 21:18

第１０題：
數值資料\(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n\)的算術平均數為\(\overline{X}\)，中位數為\(Me\)，標準差為\(S\)，令\(\displaystyle P=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |\;x_i-Me |\;\)、\(\displaystyle Q=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |\;x_i-\overline{X}|\;\)、\(\displaystyle R=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-Me)^2}\)，試比較\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)的大小。

先證幾件事情：

設 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 為任意實數，

1. 若 \(f(x)=\left|x-a_1\right|+\left|x-a_2\right|+\cdots+\left|x-a_n\right|\)，則

　當 \(x\) 為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 的中位數時，\(f(x)\) 有最小值.

2. 若 \(g(x)=\left(x-a_1\right)^2+\left(x-a_2\right)^2+\cdots+\left(x-a_n\right)^2\)，則

　當 \(x\) 為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 的算數平均數時，\(g(x)\) 有最小值.

3. \(\displaystyle \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}\geq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}.\)

證明提示：1. 三角不等式（即 \(|a|+|b|\geq|a+b|\)） 2. 配方法 3. 柯西不等式

如果證明出來上面這三者，

則

由 1. 可得 \(Q\geq P\)，

由 2. 可得 \(R\geq S\)，

由 3. 可得 \(S\geq Q\) 且 \(R\geq P.\)

如此即可得此四者的大小關係為 \(R\geq S\geq Q\geq P.\)

作者: Duncan 時間: 2010-5-14 23:59

謝謝老師

作者: bugmens 時間: 2010-5-18 23:13

當初學校公佈的是圖檔，我重新打字後將完整的題目放上來，並附上初試成績供考生參考

初試最低錄取分數46分
73,63,59,50,50,46

其他
40~45 7人
30~39 20人
20~29 31人
10~19 13人
0~9 5人
缺考 11人

共計93人

附件: 98新港藝術高中.rar (2012-4-3 20:13, 308.52 KB) / 該附件被下載次數 13275
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作者: bugmens 時間: 2010-5-18 23:16

填充題
7.若\( \displaystyle x=cos \frac{2 \pi}{15}+i sin \frac{2 \pi}{15} \)，則滿足\( f(x)=0 \)的最少次多項方程式是
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43637　(連結已失效)

以\( \displaystyle \xi=cos \frac{2 \pi}{15}+i sin \frac{2 \pi}{15} \)表1的一個真正15次方根，\( f \)為一整係數非零多項式，且知\( f(\xi)=0 \)；試問滿足此條件且次數最低的\( f \)之次數為若干？
(94霧峰農工，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22087　(連結已失效))

9.設z是複數，且\( \displaystyle \frac{z}{z-1} \)是純虛數(即虛部不為0而實部為0)，試求\( |\ z-i |\ \)的最大值
(99中二中，https://math.pro/db/thread-934-1-1.html)

10.以前的討論
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=18271　(連結已失效)

計算題

1.三角形ABC，∠A的內角平分線\( \overline{AT} \)交\( \overline{BC} \)於T點，試證\( \overline{AT}=\sqrt{\overline{AB}\cdot \overline{AC}-\overline{BT}\cdot \overline{CT}} \)
https://math.pro/db/thread-884-1-1.html

3.求\( [\ (3+\sqrt{11})^{100} ]\ \)的個位數為多少？(編按：\( [\ X ]\ \)表高斯函數)

求\( [\ (2+\sqrt{6})^{100} ]\ \)的個位數。(編按：[ X] 表高斯符號)
(98清水高中，https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)

\( ( \sqrt{23}+\sqrt{27} )^{100} \)除以100的餘數為？
台大資工甄選入學指定項目考試，https://math.pro/db/thread-915-1-1.html

4.\( a>b \)，試證：雙曲線\( b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2 \)互相垂直二切線的交點必在圓\( x^2+y^2=a^2-b^2 \)上。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=723

作者: 阿光 時間: 2012-1-16 22:16

填充第2和9答案是否有錯,請大師確定一下,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-1-17 10:25 標題: 回復 6# 阿光的帖子

填充第 2 題
三角形\(ABC\)中，\(D\)、\(E\)為\(\overline{AB}\)的三等分點，\(F\)平分\(\overline{BC}\)，\(\overline{AF}\)與\(\overline{CD}\)交於\(G\)點，求四邊形\(BDGF\)的面積是三角形\(ABC\)面積的幾分之幾？
[解答]
由孟式定理，可得 \(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}\cdot\frac{\overline{BC}}{\overline{CF}}\cdot\frac{\overline{FG}}{\overline{GA}}=1\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\overline{AG}}{\overline{GF}}=\frac{4}{1}\)

\(\triangle ADG : \triangle ABF = 2\times 4 : 3\times5=8:15\)

\(\Rightarrow \mbox{四邊形} BDGF:\triangle ADF=7:15\)

\(\Rightarrow \mbox{四邊形} BDGF:\triangle ABC=7:30\)

圖片附件: qq.jpg (2012-1-17 10:28, 26 KB) / 該附件被下載次數 8703
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作者: weiye 時間: 2012-1-17 11:11 標題: 回復 6# 阿光的帖子

填充題第 9 題
設\(z\)是複數，且\(\displaystyle \frac{z}{z-1}\)是純虛數(即虛部不為0而實部為0)，試求\(|\;z-i|\;\)的最大值　　　。
[解答]
令 \(z=x+yi\) ，則

\(\displaystyle \frac{z}{z-1}=\frac{\left(x+yi\right)}{\left(x+yi\right)-1}=\frac{\left(x+yi\right)\left((x-1)-yi\right)}{\left(x-1\right)^2+y^2}=\frac{\left(x^2-x+y^2\right)-yi}{\left(x-1\right)^2+y^2}\)

因為 \(\displaystyle \frac{z}{z-1}\) 為純虛數，

所以 \(\displaystyle x^2-x+y^2=0\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}\)　‧‧‧‧‧‧圓（但缺一點，因為 \(z\) 不為 \(0\)）

\(\displaystyle \left|z-i\right|=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2}=(0,1)\mbox{到圓上的點的距離}\)

　　　　　　\(\displaystyle \leq (0,1)\mbox{到圓心的距離＋圓半徑}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.\)

作者: 阿光 時間: 2012-1-18 21:44

想請教填充第15題,謝謝

作者: Ellipse 時間: 2012-1-19 00:05

引用:

原帖由阿光於 2012-1-18 09:44 PM 發表
想請教填充第15題,謝謝

正方形\(ABCD\)，\(\overline{BE}=2\overline{BC}\)，將\(ABEF\)沿\(EF\)線段往右折，使得\(D\)點落在\(AB\)線段上。求\(sin∠AFD=\)　　　。
[解答]
假設A',B'分別為A點,B點所折過去後的點
且EB'與CD點的交點為G,
令EC=1,則BE=2,DC=3
EG=a,則CG=(a^2-1)^0.5,DG=3-(a^2-1)^0.5,GB=2-a
三角形A'FD~三角形B'DG~三角形CEG
所以CG:EG=BG: DG
(a^2-1)^0.5:a=2-a:3-(a^2-1)^0.5
得5a^2+4a-10=0,
解得a=(-2+3(6)^2)/5
在三角形EGC中
CG=(a^2-1)^0.5=(2(6)^0.5-3)/5
所求=Sin(角A'FD)=Sin(角CEG)
=CG/EG=(2(6)^0.5-3)/ (-2+3(6)^2)
=(6-(6)^0.5)/10

作者: Ellipse 時間: 2012-1-19 00:28 標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

原本這樣算有點繁雜
後來修改一下
若令EG=1,CG=k
接下來用一樣相似三角形邊長比的方式
可得10k^2-12k+3=0
解得k=(6-6^0.5)/10
((6+6^0.5)/10不合,why?請自己想一下)
所求=k/1=(6-6^0.5)/10

作者: 阿光 時間: 2012-1-19 21:51

想請教計算第1題詳細豪華版,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-1-20 00:20 標題: 回復 12# 阿光的帖子

計算題第 1 題：
三角形ABC，∠A的內角平分線\( \overline{AT} \)交\( \overline{BC} \)於T點，試證\( \overline{AT}=\sqrt{\overline{AB}\cdot \overline{AC}-\overline{BT}\cdot \overline{CT}} \)
[解答]
由三角形的內角平分線的內分比性質，

可得 \(\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BT}:\overline{CT}\)

因此可令 \(\overline{AB}=x, \overline{AC}=y, \overline{BT}=kx, \overline{CT}=ky\)，其中 \(k\) 為正實數，

則題意等同於要求證： \(\overline{AT}^2=xy-k^2xy\)

因為 \(\cos ∠ATB = \cos(180^\circ - ∠ATC)\)

所以 \(\cos ∠ATB = -\cos(∠ATC)\)

在 \(\triangle ABT\) 與 \(\triangle ACT\) 中，由餘弦定理可得

\(\displaystyle \cos ∠ATB=\frac{\overline{AT}^2+(kx)^2-x^2}{2\overline{AT}\times kx}\)

\(\displaystyle \cos∠ATC= \frac{\overline{AT}^2+(ky)^2-y^2}{2\overline{AT}\times ky}\)

因此 \(\displaystyle \frac{\overline{AT}^2+(kx)^2-x^2}{2\overline{AT}\times kx}=-\frac{\overline{AT}^2+(ky)^2-y^2}{2\overline{AT}\times ky}\)

即可解得 \(AT^2 = xy-k^2xy.\)

註：1. 可是這樣一點也不豪華耶～ＸＤＤ

　　　那補充一個 Stewart's theorem 好了～

　　　Stewart's theorem：http://en.wikipedia.org/wiki/Stewart's_theorem

　　　也是用餘弦定理算兩次就可以證出來的定理。

　　2. 有些朋友可能對內分比性質不熟悉，簡單證明如下：

　　　a. 自 \(T\) 往 \(\overline{AB},\overline{AC}\) 作垂線，

　　　　　　

　　　　如圖，可得 \(\triangle ABT : \triangle ACT = \frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot r : \frac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot r=\overline{AB}:\overline{AC}\)

　　　b. 自 \(A\) 往 \(BC\) 直線作垂線，

　　　　　　

　　　　如圖，可得 \(\triangle ABT : \triangle ACT = \frac{1}{2}\cdot \overline{BT}\cdot h : \frac{1}{2}\cdot \overline{CT}\cdot h=\overline{BT}:\overline{CT}\)

　　　由 a. b. 可得 \(\overline{AB}:\overline{AC} =\overline{BT}:\overline{CT}.\)

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作者: t3712 時間: 2012-4-2 15:23

感謝老師的回答^^

不好意思，想請問填充11.13以及計算2

這張考卷好多都不會><

感謝^^

作者: weiye 時間: 2012-4-2 15:43 標題: 回復 14# t3712 的帖子

填充第 11 題，
\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)，\(\ldots\)，\(x_{2009}\)為實數，\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i=2,000,000\)，且對\(i=1,2,\ldots,2009\)皆滿足\(x_i>i\)，求\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\)的最小值　　　。
[解答]
題目有問題，因此無解。

因為 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i>\sum_{i=1}^{2009}i=\frac{2009\times2010}{2}=2019045\Rightarrow 2000000>2019045\) ，矛盾。

如果此題的題目數字稍微修改一下，

改成已知「 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}x_i=3000000\)」，則

　　\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2009}\left(x_i-i\right)=\sum_{i=1}^{2009}x_i-\sum_{i=1}^{2009}i =3000000-2019045=980855\)

利用柯西不等式，

　　\(\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{2009}\left(\sqrt{x_i-i}\right)^2\right)\left(\sum_{i=1}^{2009}\left(\frac{1}{\sqrt{x_i-i}}\right)^2\right)\geq\left(\sum_{i=1}^{2009}\sqrt{x_i-i}\cdot\frac{1}{\sqrt{x_i-i}}\right)^2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow 980855\cdot\left(\sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\right)\geq 2009^2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \left(\sum_{i=1}^{2009}\frac{1}{x_i-i}\right)\geq \frac{2009^2}{980985}=\frac{4036081}{980985}.\)

作者: weiye 時間: 2012-4-2 16:24 標題: 回復 14# t3712 的帖子

第 13 題：
座標平面上單位圓\(C\)：\(x^2+y^2=1\)，一定點\(A(2,0)\)，\(Q\)為圓\(C\)上一動點，以\(Q\)為中心，將\(A\)點逆時針旋轉\(90^{\circ}\)得\(P\)點，求動點\(P\)的軌跡方程式　　　。
[解答]
將各點畫在複數平面上，

設 \(A=2+0i, Q=\cos\theta+i\sin\theta\)，其中 \(\theta\) 為任意實數，

則 \(P=(A-Q)\cdot i+Q=\left(2-\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\right)\cdot i+\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)

　　　\(=\left(\sin\theta+\cos\theta\right)+\left(2+\sin\theta-\cos\theta\right)\cdot i\)

令 \(x=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\cos(\theta-45^\circ)\)

　 \(y=2+\sin\theta-\cos\theta=2+\sqrt{2}\sin(\theta-45^\circ)\)

　 \(\Rightarrow x^2+(y-2)^2=2.\)

作者: weiye 時間: 2012-4-2 17:23 標題: 回復 14# t3712 的帖子

計算第 2 題：
試證\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{cosx}{sinx+cosx}dx\)
[解答]

令 \(\displaystyle t=\frac{\pi}{2}-x\Rightarrow dt=- dx\)

\(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx=\int^0_{\pi/2} \frac{-\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-t\right)}dt\)

　　\(\displaystyle =\int^0_{\pi/2} \frac{-\cos t}{\cos t+\sin t}dt\)

　　\(\displaystyle =\int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t+\sin t}dt\)

　　\(\displaystyle =\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx\)

作者: t3712 時間: 2012-4-2 20:47

謝謝瑋岳老師的指導^^

作者: t3712 時間: 2012-4-3 13:51

請問計算題第三題答案是6？

算式：原式\( = (20+6\sqrt{11})^{50} \equiv (6\sqrt{11})^{50} \equiv 6^{50} \equiv 6 (mod 10) \)

謝謝

作者: weiye 時間: 2012-4-3 15:20 標題: 回復 19# t3712 的帖子

這樣做不行，因為 \(C^{50}_k 20^k\left(6\sqrt{11}\right)^{50-k}\)，當 \(k\) 為奇數時，該項不見得是 \(10\) 的倍數。

解答：

\(\left(3+\sqrt{11}\right)^{100}=\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}\)

因為 \(\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}+\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}\) 為整數，

　且 \(0<\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}<1\)

所以

\(\left[\left(3+\sqrt{11}\right)^{100}\right]=\left[\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}\right]\)

　　　　　　　\(=\left(20+6\sqrt{11}\right)^{50}+\left(20-6\sqrt{11}\right)^{50}-1\)

　　　　　　　\(=2\left(20^{50}+C^{50}_2 20^{48}\left(6\sqrt{11}\right)^2+C^{50}_4 20^{46}\left(6\sqrt{11}\right)^4+\cdots+C^{50}_{50} \left(6\sqrt{11}\right)^{50}\right)-1\)

　　　　　　　\(\equiv 2\cdot\left(6\sqrt{11}\right)^{50}-1\)

　　　　　　　\(\equiv 2\times 6^{50}\times 11^{25}-1\)

　　　　　　　\(\equiv 2\times 6\times 1^{25}-1\)

　　　　　　　\(\equiv 12-1\)

　　　　　　　\(\equiv 1\pmod{10}\)

作者: t3712 時間: 2012-4-3 15:54 標題: 回復 20# weiye 的帖子

原來如此，我了解了，謝謝老師。

作者: tacokao 時間: 2013-9-6 17:38

想請教填充第5題，求1⋅1+(1⋅2+2⋅1)+(1⋅3+2⋅2+3⋅1)+...+(1⋅n+2⋅(n−1)...+n⋅1)，不知如何化簡成C(n+3)取4，謝謝!!!!

作者: thepiano 時間: 2013-9-6 20:34

第 5 題
原求值式 = 1 + 4 + 10 + 20 + ... + [n(n + 1)(n + 2)/6]

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n + 1)/2

1 + 3 + 6 + 10 + ... + [n(n + 1)/2] = n(n + 1)(n + 2)/6

1 + 4 + 10 + 20 + ... + [n(n + 1)(n + 2)/6] = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/24

作者: tacokao 時間: 2013-9-9 11:25 標題: 回復 23# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師~~~

作者: johncai 時間: 2013-10-16 17:15 標題: 回復 11# Ellipse 的帖子

不好意思。我想不出為什麼取加的不合。
可否再說明一下。謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-2-6 10:21 標題: 回復 1# Duncan 的帖子

填15，題目好像打錯了？

應該是 \( \overline{BE} = 2\overline{CE} \) ??

作者: thepiano 時間: 2014-2-8 15:19

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-2-6 10:21 AM 發表
填15，題目好像打錯了？

應該是 \( \overline{BE} = 2\overline{CE} \) ??

的確打錯了，還沒摺之前，BE 不可能比 BC 還長

作者: satsuki931000 時間: 2021-1-18 22:12

第八題
若依照題意去列式的話
會得到函數 \( \displaystyle f(n)=\frac{18n(n-1)}{(n+4)(n+5)(n+6)} \) 求其最大值
這東西真的有辦法直接用手算嗎
還是有其他更好的方法

另外第12題用\( \sqrt{5} \)的概略值2.236去算的話
log 4.472 表中並沒有給到這麼多資訊
是否題目遺漏又或是這題真正的核心我沒注意到

舊帖重挖還請見諒

作者: thepiano 時間: 2021-1-18 23:05 標題: 回復 29# satsuki931000 的帖子

第 8 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=248

作者: satsuki931000 時間: 2021-1-19 10:30 標題: 回復 30# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師

作者: tsusy 時間: 2021-1-20 19:30 標題: 回復 29# satsuki931000 的帖子

12. 利用對數律就好 \(\displaystyle \log\sqrt{5}=\frac{1}{2}\log5=\frac{1}{2}(1-\log2) \)

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