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標題: 98國立清水高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2009-7-20 06:42 標題: 98國立清水高中

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美夢成真論壇討論文章
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1198

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作者: bugmens 時間: 2009-7-20 06:50

計算題5.
半徑為1cm、2cm、3cm的三個圓互相外切，如圖所示。有一個圓落於它們之間，分別與這三個外切，求這個小圓的半徑。
[解答]
將這三個圓的圓心分別放在(0,0)，(0,3)，(4,0)，假設第四個圓半徑為r
\( (x-0)^2+(y-3)^2=(2+r)^2 \)
\( (x-0)^2+(y-0)^2=(1+r)^2 \)
\( (x-4)^2+(y-0)^2=(3+r)^2 \)
得\( \displaystyle (x,y)=( \frac{20}{23},\frac{21}{23} ) \)，\( \displaystyle r=\frac{6}{23} \)

補上出處
三個彼此相切的圓其半徑分別是1, 2和3公分，另一個最小圓和此三圓相切（如下圖所示），若最小圓的半徑\( \displaystyle r=\frac{p}{q} \)，其中p和q為互質的整數，問\( p+q \)之值為何？
(2006澳洲AMC高級卷)

圖形類似
設半徑為3，5，7的三個圓兩兩外切，若過這三個切點的三條公切線相交於一點P(如圖)，則點P到三切點的距離和為。(2007TRML團體賽)
[提示]
看成邊長為8,10,12的三角形內切圓半徑

若圓O與下列三圓都外切，
\( x^2+y^2=1 \)
\( (x-6)^2+y^2=1 \)
\( x^2+(y-8)^2=1 \)
則圓O的圓心坐標為(　，　)。
(學科能力測驗數學科參考試卷，03-認識學測數學參考試卷_定稿_.pdf)

101.3.5補充
出自"拼圖拼字拼數學" P229,P230如果三個任意大小的圓兩兩相切，那麼一定會有第四個圓與此三圓相切。通常第四個圓有兩種畫法，其中一個較大，包圍住其他三個圓。例如在圖17.3中，虛線的兩個圓就是第四個圓的兩個解。

101.12.23補充
索迪公式(Soddy formula)的證明
http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5121475

102.4.14補充
空間中，有四個球兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球外切，則其半徑=？
(102建國中學，https://math.pro/db/thread-1569-1-1.html)

空間有四個球，他們的半徑分別為2,2,3,3，每個球都與其餘3個球外切，另有一個小球與那四個球都外切，求該小球的半徑？
(1995中國數學奧林匹克)

103.10.23補充
在三角形ABC中，\( \overline{BC}=4cm \)，\( \overline{CA}=5cm \)且\( \overline{AB}=3cm \)。圓心分別為點A、B、C的三個圓兩兩互相外切，現有第四個圓將這三個圓包含在內部且與這三個圓都相切，如圖所示。請問第四個圓的半徑是多少cm？
(2013青少年數學國際城市邀請賽個人賽試題，http://cauchy.math.nknu.edu.tw/m ... C_Individual_TC.pdf)
http://cauchy.math.nknu.edu.tw/math/country/test.htm

110.10.4補充
從一道算額問題到數學科展
https://elearning.sanmin.com.tw/ ... F%E5%88%8ANo.41.pdf

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圖片附件: 拼圖拼字拼數學P230.gif (2012-3-5 07:36, 122.1 KB) / 該附件被下載次數 8334
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作者: bugmens 時間: 2009-7-20 12:07

填充題7.

計算題1.
求\( [\ (2+\sqrt{6})^{100} ]\ \)的個位數。(編按：\( [\ X ]\ \) 表高斯符號)
[提示]
\( (10+4 \sqrt{6})^{50}+(10-4 \sqrt{6})^{50} \)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1198

類似問題
求\( [\ (\sqrt{27}+\sqrt{23})^{100} ]\ \)除以100的餘數，註：[]表高斯符號
(2008台大資工)

大於\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數為何？
(建中通訊解題第39期，97彰化藝術高中)
[提示]
\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^6 \)

計算題3.
在半徑為6的半球容器內裝滿水，若將此容器輕輕傾斜\( 30^o \)，求流出的水量。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=386&p=1253

將半徑為a的半球體容器裝滿了水，今慢慢的將之傾斜\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \)，則流出水量之體積
(93國立大里高中)

作者: 阿光 時間: 2012-2-1 22:18

想請教填充第7,10,13題,另外
填充第8,9的答案正確嗎?

作者: weiye 時間: 2012-2-1 22:26 標題: 回復 4# 阿光的帖子

填充第7,10,11,13題（甚至其他題）..... 在ＰＯ文的第一篇～有美夢成真的連結，

裡面已有 thepiano 老師或其他老師寫的解答了。：）

作者: tsusy 時間: 2012-2-4 00:43 標題: 回復 4# 阿光的帖子

這份題目，之前也寫過。

答案基本都沒問題，有問題的是第 10 題的題目漏條件了

漏了 \( x_{0}>x_{1}>x_{2}>x_{3} \)

如果沒有補上這個條件，可舉以下例子

\(x_0 = 4,\, x_1 = 2,\, x_2 = 1,\, x_3 = 2^{-M} \)

則左式 \( = (2-M)(2-\frac{1}{M}) \to - \infty \) as \(M \to \infty \).

作者: wooden 時間: 2012-6-1 21:57

請教各位高手
填充第8:有一個自然數n，把n的第一位數去掉變成新數，舊數是新數的25倍，則n=?
填充第11:已知線段AB=6，角BAC=60度，P在以AB為直徑之半圓上，則三角形ACP的面積最大值?
填充第13:A骰子點數1、2、3、4、5、6，B骰子點數1、1、2、2、3、3，C骰子點數1、2、2、3、3、3，
投擲ABC骰子各一次，請問點數和幾點時出現的機率最高?
計算第四題的答案是(1/14)嗎?

作者: shingjay176 時間: 2012-6-1 22:20

引用:

原帖由 wooden 於 2012-6-1 09:57 PM 發表
請教各位高手
填充第8:有一個自然數n，把n的第一位數去掉變成新數，舊數是新數的25倍，則n=?
填充第11:已知線段AB=6，角BAC=60度，P在以AB為直徑之半圓上，則三角形ACP的面積最大值?
填充第13:A骰子點數1、2、3、4、5、6，B骰子點 ...

填充題第八題為你解答,請稍等......看不懂在問吧~~

令\( n=a \times 10^k+b \)　\( a \)可能為\( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \)　\( k \)為非負整數
按照題意\( a \times 10^k+b=25b \)　，　\( a \times 10^k=24b \)
(1)當\( a=1 \)時候
　\( (2 \times 5)^k=10^k=(4 \times 6)(b) \)　這樣的\( b \)找不到，因為6無法合併成10的倍數
(2)\( a=2 \)也找不到
(3)\( a=3 \)
　\( 3 \times 10^k=(4 \times 6)(b) \)　這個情況下，可以找到\( b=5 \times 5 \times 5 \times 5=125 \)可以符合所求
　所以\( n=3125 \times 10^k \)　\( k \)為非負整數
(4)以此類推　當\( a=6,9 \)也可以找到
剩下自己推了

作者: wooden 時間: 2012-6-2 09:35 標題: 回復 8# shingjay176 的帖子

太感謝你了，原來是如此，
還得一個一個判斷，
茅塞頓開
感謝

作者: thepiano 時間: 2015-12-19 18:16

填充第 14 題
參考 https://math.pro/db/thread-2228-1-1.html

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