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標題: 115宜蘭高中 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2026-4-13 19:38     標題: 115宜蘭高中

　

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作者: bugmens    時間: 2026-4-13 19:38

第一部份：填充題
1.
設\(P(n)\)表示正整數\(n\)的所有正因數之積，例如：\(P(6)=1\times2\times3\times6=36\)。若\(P(n)=2^{36}\times3^{24}\times7^{12}\)，求正整數\(n=\)　　　。

設\(P(n)\)表正整數\(n\)之所有正因數之積，例如：\(P(6)=1\times 2\times 3\times 6=36\)。若\(P(n)=2^{18}\times 7^{12}\)，則正整數\(n=\)　　　。
(104台南二中，https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)

2.
已知\(f(3^x)=4x\log_23+233\)，則\(f(2)+f(4)+f(8)+\dots+f(2^8)+f(2^9)+f(2^{10})=\)　　　。

3.
設\(a\)為正整數，平面座標系上三點\(A(-3,1)\)、\(B(10,2)\)、\(C(3,3)\)經矩陣\(\begin{bmatrix}1&5\\0&3a\end{bmatrix}\)變換後的點依序為\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，若\(\triangle A'B'C'\)為直角三角形，則\(a=\)　　　。

4.
已知橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)上一動點\(P\)經二階方陣\(\begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}\)所定義的線性變換，將點\(P\)映射到點\(P'\)，則點\(P'\)與\(y\)軸距離的最大值為　　　。

5.
座標空間中，設\(\vec{a}=(4,-3,1)\)，\(\vec{b}=(2,2,k)\)，若\(\vec{c}\)在\(\vec{a}\times\vec{b}\)上的正射影為\((1,2,2)\)，則由\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)所張的平行六面體體積為　　　立方單位。

6.
投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為\(a,b,c\)。在\(b\)為偶數的條件下，求方程式\(ax^2-bx+c=0\)有實數解的機率為　　　。
(105學測模擬考，https://webapps.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA477.pdf)

7.
解方程式\(\log(6x^3+11x^2-3x-3)=\log(x+1)\)，則\(x=\)　　　。

8.
在三角形\(ABC\)中，\(5\sin A+6\cos B=7\)，\(6\sin B+5\cos A=4\)，則\(\sin C=\)　　　。

在三角形\(ABC\)中，\(5\sin A+6\cos B=7\)，\(6\sin B+5\cos A=4\)，則\(\sin C=\)？
(97高中數學能力競賽第二區筆試二試題，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)

9.
已知一數列\(\langle a_n\rangle\)之首\(n\)項和\(S_n=n^3+2n^2-503n\)，\(n\)為正整數，則\(\displaystyle\sum_{n=1}^{30}|a_n|=\)　　　。

10.
空間中一直線在\(x+y+z=1\)上的正射影為\(\begin{cases}x+y+z=1\\x+y=1\end{cases}\)，且在\(z=0\)上的正射影為\(\begin{cases}z=0\\x+2y+z=3\end{cases}\)，求此直線的參數式為　　　。

11.
解聯立方程式\(\begin{cases}\log_5x-2y=1\\x-5^y=6\end{cases}\)得到\(x=\)　　　。

12.
設\(x,y\in\mathbb{R}\)，則\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+y^2-16x+64}+\sqrt{x^2+y^2-20x-8y+116}+\sqrt{x^2+y^2-8x-12y+52}\)的最小值為　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

13.
全校一家為宜蘭高中的校訓，今天將「全、校、一、家、讚」五字重新排列，使原本相鄰的變成不可相鄰，其中「全、家」兩字相鄰的排法有　　　種。

14.
老師欲從阿東、阿西、阿南、阿北四位同學中選一位當值日生，此四人討論之後以「黑白猜」和「剪刀、石頭、布」來決定由誰當值日生，方式如下：
(1)首先使用「黑白猜」：直到恰有一人出的手掌方向與其他三人不同，則此人就不必當值日生。
(2)接著使用「剪刀、石頭、布」：三人出拳比輸贏，直到三人中恰有一人輸時，該位同學就是值日生。
依照上述的規則，則此四人為了決定當值日生人選的猜拳次數期望值為　　　。

15.
已知正四面體\(PABC\)的邊長為\(\sqrt{2}\)，頂點\(P\)對平面\(ABC\)的對稱點\(P'\)，頂點\(A\)對平面\(PBC\)的投影點\(A_0\)，則長度\(\overline{P'A_0}=\)　　　。

16.
今將函數\(\Gamma\)：\(y=x^3+x\)向上平移\(k\)單位成新函數\(\Gamma_1\)。若\(\Gamma\)與\(\Gamma_1\)之公切線斜率大於\(\displaystyle\frac{7}{4}\)，則\(k\)的範圍為　　　。

求兩曲線\(y=x^3-3x+1,y=x^3-3x+33\)的公切線方程式？
(109高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html)

第二部份：計算證明題
17.
設\(a,b\)為兩個大於2的數，則(1)\(\displaystyle\frac{b^2}{a-2}+\frac{a^2}{b-2}\)的最小值為何？　(2)承(1)，此時\((a,b)\)為何？

18.
若\(n\)為自然數，\(\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{(2k-1)(2k)}\)，則\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=\)　　　。

\(\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k)(2k-1)}\)，求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(n)=\)　　　。
(106興大附中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2749&page=1#pid17004)
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
作者: kobelian    時間: 2026-4-15 07:56     標題: 115宜蘭高中

115宜蘭高中
作者: zj0209    時間: 2026-4-15 16:48

想請教一下10
作者: weiye    時間: 2026-4-15 17:49     標題: 回覆 4# zj0209 的帖子

填充第 10 題：

設題目所求直線為 L，

L 在 E1: x + y + z = 1 的投影直線為 L1，

L 在 E2: x + y + z = 1 的投影直線為 L2。

先求包含 L1 且與 E1 垂直的平面，

再求包含 L2 且與 E2 垂直的平面，

此兩平面的交線就是 L 了。



先求包含 L1 且與 E1 垂直的平面吧，

既然題目是給 L1 的兩面式，

那就善用平面族吧，

設包含 L1 且與 E1 垂直的平面方程式為

(x + y -1) + k*z =0

此平面與 E1 垂直，

利用兩者的法向量也互相垂直，

得 (1,1,k) 內積 (1,1,1) =0 → k =-2 。

因此包含 L1 且與 E1 垂直的平面為 x +y -2z -1=0。


再來，求包含 L2 且與 E2 垂直的平面吧，

利用題目給 L2 的兩面式，

設包含 L2 且與 E2 垂直的平面方程式為

(x + 2y - 3) + t*z =0

此平面與 E2 垂直，

利用兩者的法向量也互相垂直，

得 (1,2,t) 內積 (0,0,1) =0 → t =0 。

因此包含 L2 且與 E2 垂直的平面為 x + 2y -3=0。




因此題目要求的就是 x +y -2z -1=0 與  x + 2y -3=0 的交線 L，

此直線通過 (-1, 2, 0) 且方向向量為 (1,1,-2)x(1,2,0) =(4,-2,1)。



手機打字不方便寫成參數式，就寫到這裡吧。
作者: zj0209    時間: 2026-4-16 06:52

謝謝weiye老師的講解！
作者: peter0210    時間: 2026-4-16 12:26

10. 若以瑋岳師的答案來比對，則公告的答案應該有誤
作者: weiye    時間: 2026-4-16 12:37     標題: 回覆 7# peter0210 的帖子

剛剛還以為是我打錯字，又再檢查了一下，我應該沒打錯字。

看來是官方公告的答案有誤。
作者: zj0209    時間: 2026-4-17 07:23

我跟老師您算的一樣！應該就是答案給錯，謝謝老師！



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