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標題: 109文華高中第二次(代理) [打印本頁]

作者: weiye    時間: 2020-7-21 06:43     標題: 109文華高中第二次(代理)

109文華高中第二次(代理教師)教甄
筆試題目與參考答案

附件: 109文華高中第二次(代理).pdf (2020-7-21 06:43, 481.74 KB) / 該附件被下載次數 358
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5589&k=12191a28cf0f2bce34dbcd157cb7a1e1&t=1601107346
作者: bugmens    時間: 2020-7-21 08:03

3.
設樣本空間\(S=\{\;a,b,c,d,e,f \}\;\),事件\(A=\{\;a,b \}\;\),則與事件\(A\)獨立的事件共有   個。

擲一公正骰子,樣本空間為\(S=\{\;1,2,3,4,5,6 \}\;\),若事件\(A=\{\;1,6 \}\;\),則與事件\(A\)獨立的事件有   個。
http://web.kshs.kh.edu.tw/math/e ... 06PDF/106_2_3_1.pdf

7.
已知\(a\in R\),且\(M=\sqrt{\displaystyle (\frac{a^2}{4}-2)^2+(a-1)^2}+\sqrt{\displaystyle (\frac{a^2}{4}-1)^2+a^2}\),則\(M\)的最小值為   

8.
袋中有五顆球編號1 號~5 號,現從袋中任取一球記下號碼後放回,連取三次,則三次中出現最大號碼數的期望值為   

同時擲三個公正骰子,最大點數(不是指點數和)的期望值為   
(98嘉義高工,https://math.pro/db/thread-1031-1-1.html)

14.
將一個固定不動的圓分成10個相等的扇形,並用紅藍綠三種顏色加以著色,相鄰的扇形顏色不同,則有   種著色方法。
連結有解答,https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

15.
某面積為\(3\sqrt{3}\)的三角形以\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為三邊長,若\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為方程式\(x^3-2kx^2+(k^2+11)x-96=0\)之相異三根,則\(k\)值為   
[解答]
由根與係數可知\(\alpha+\beta+\gamma=2k\),\(\displaystyle s=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}=k\)
\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式的三根,\((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-2kx^2+(k^2+11)x-96\)
\(\Delta=\sqrt{s(s-\alpha)(s-\beta)(s-\gamma)}=\sqrt{k(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)}=\sqrt{k(k^3-2k\cdot k^2+(k^2+11)k-96)}\)
(我的教甄準備之路 三角形的面積,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)

設△ABC的三邊長為a、b、c,且a、b、c為方程式\( x^3-14x^2+62x-88=0 \)的三根,求△ABC的面積為  
(103竹北高中,https://math.pro/db/thread-1916-1-1.html)
(104台南二中,https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)
(105松山家商,https://math.pro/db/thread-2528-1-1.html)
作者: satsuki931000    時間: 2020-7-21 17:03

13題

考慮取連續的n個邊 可以和剩下的109-n個邊組合成一個完整的正109多邊形
n=2~54 (55以後重複)
設n=2 則可構成一個三角形 剩餘的邊構成108邊形 共有109個 面積共1090 其餘同理
所求為1090*53=57770

小弟想問的是 如果直接取109個邊 為什麼不合
算出來的當下很直覺得要把這情況多補上去
作者: thepiano    時間: 2020-7-21 18:14     標題: 回復 3# satsuki931000 的帖子

題目有說您選的第一個頂點和最後一個頂點要相異
作者: satsuki931000    時間: 2020-7-22 16:54

謝謝鋼琴老師
另外想問1 11 16
作者: whatbear    時間: 2020-7-22 19:53     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

16

球面的球心為(1,2,-4)、半徑為\(\sqrt{3}\)
令球心A(1,2,-4)及其於E的投影點A'
設題意的任一切平面與球面切點B
則可知 \(\Delta AA'B \sim \Delta BA'R\)且皆為直角三角形

\(\frac{\overline{AA'}}{\overline{BA'}}=\frac{\overline{BA'}}{\overline{A'R}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\overline{A'R}}\)

\(\overline{A'R}=2\)

\(\overline{AR}=3\)

令過球心且垂直E的直線L之參數動點(1+t,2+2t,-4-2t)
t=1,-1(不合)
可得R(2,4,-6)
作者: tsusy    時間: 2020-7-22 19:57     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

填充1. 由題可知,偶數解有11個,奇數解有16個,故整數解共有27個
作者: tsusy    時間: 2020-7-22 20:11     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

填充11. 由題意中的條件可知

\( f(1)=f(1-0)=1-f(0)=1 \)

\( f(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\cdot f(1)=\frac{1}{2} \)

\( f(\frac{1}{2})=f(1-\frac{1}{2})=1-f(\frac{1}{2}) \Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \)

再由遞增得”若 \( \frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2} \),則 \( f(x)=\frac{1}{2} \)"

\( f(\frac{109}{2020})=\frac{1}{2}f(\frac{327}{2020})=\frac{1}{4}f(\frac{981}{2020})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)


類題 105北一區(花蓮高中)學科能力競賽
(出處 7/23 補充,今天再看,突然想起來了,這好像是  Cantor function。Google 一下,果然真的是啊!)

已知函數 \( f(x) \) 滿足下列性質

(a) 若 \( x_{1}\leq x_{2} \),則 \( f(x_{1})\leq f(x_{2}) \)

(b) \( f(1-x)=1-f(x) \)

(c) \( f(5x)=2f(x) \),

則 (1) 求 \( f(0) \), \( f(1) \), \( f(\frac{1}{5}) \), \( f(\frac{4}{5}) \) 的值。

(2) 求 \( f(x)=\frac{1}{2} \) 的解集合。

(3) 求 \( f(11.15) \) 及 \( f(\frac{1}{2016}) \) 的值。

其中最有意思的應該是第(2) 解集合,從(1)的結果,不難猜到是 \( [ \frac15, \frac45 ] \)
但有意思的就是再多一點點或少一點點函數值就不是這樣了的論證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-7-23 10:20 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2020-7-23 00:17     標題: 回復 6# whatbear 的帖子

抱歉 小弟想知道比較詳細的說明
為何BA'R會是直角三角形且和AA'B'相似
作者: whatbear    時間: 2020-7-23 06:48     標題: 回復 9# satsuki931000 的帖子

(1)因B為切點,所以 \(\angle ABR\)為直角,即\(\Delta ABR\)為直角三角形。

(2)因A'為A在E上的投影點及\(\overline{BA'}\)是E上的一條線段,
所以\(\overline{BA'}\perp\overline{AA'}\)

由母子相似性質可推論相似

[ 本帖最後由 whatbear 於 2020-7-23 07:13 編輯 ]
作者: swallow7103    時間: 2020-7-23 07:39     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

鋼琴老師您好:

我也有這個疑問,覺得答案應該要再包含原本這個正109邊形。
依題目所說,我可以選擇 \(A_1 A_2 A_3 ...A_{108} A_{109} \) 這108個連續邊(即不包含 \(A_{109} A_1\) 這個)。
然後首尾相連,就變回原本的正109邊形。

補一下我的算法: \( ( C^{109}_{2}-109 ) \times 10 +10 = 57780 \)
不知道想法對不對,有錯請指正 : )
作者: thepiano    時間: 2020-7-23 07:56     標題: 回復 11# swallow7103 的帖子

當您選了 108 個連續邊,再把最後一個邊連起來,相當於選了全部的 109 個邊,此時首尾兩頂點是同一個,不是題目要的。

此題要看的是最後的凸多邊形,其首尾兩頂點不能是同一個

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-7-23 08:01 編輯 ]
作者: swallow7103    時間: 2020-7-23 21:14     標題: 回復 12# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的解釋!

不過就我的看法,題目的意思是先選幾個連續的邊,造出一個頭尾不同頂點的path,再把頭尾連起來形成一個cycle;
所以我只選108個邊所造出的路徑,頭尾是不同的,應該符合題目敘述。

當然我的本意不是要爭答案是57770 還是57780,而是題目可能要有更精確的敘述(比如說原本的正109邊形不算)。
畢竟主要的解題策略應該是 “任選一條對角線,可以切出兩個不同的多邊形,面積和=10”,這才是題目要考的東西。
如果最後還得考慮文字敘述可能造成的差異,就有點失去測驗的本意了。

當然也可能是我的閱讀理解問題,如果真的是我與眾不同,那麻煩就大了... XD

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2020-7-24 11:21 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2020-7-23 21:48     標題: 回復 13# swallow7103 的帖子

您說的也有道理

另外,應是任選一條對角線,可以切出兩個不同的“多邊形”
作者: happysad    時間: 2020-7-25 11:00

請問填充2該怎麼做呢?  弄很久湊不出來~~
作者: thepiano    時間: 2020-7-25 13:55     標題: 回復 15# happysad 的帖子

小弟覺得這題有問題
作者: anyway13    時間: 2020-7-25 23:21     標題: 請教第10題

版上老師好

請問第10題高斯符號要怎摩處理阿

用暴力法算好久阿  請老師指點
作者: anyway13    時間: 2020-7-26 10:07     標題: 第10題過程

第10題 小弟有作出來可是還是覺得很慢

希望有更快的方法

附件: 117897.pdf (2020-7-26 10:07, 68.88 KB) / 該附件被下載次數 85
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5598&k=7ebac3077406f4124ed4f0780e8e843d&t=1601107346
作者: Ellipse    時間: 2020-7-26 12:52     標題: 回復 18# anyway13 的帖子

假設an=[√ n]
1X2    "a1"=a2="a3"=1
2X2    a4="a5"=a6="a7"=a8=2
3X4    "a9"=a10="a11"=a12="a13"=a14="a15"=3
4X4     a16=.................
................
15x16    "a225"=............
16x16    a=256=.............
17x18    "a=289"=.................   
(以上an為奇數項的,總和=1x2+2x2+3x4+4x4+.............+17x18=1866)

2020-1866=154 ,154/18=8......
所求=(18^2+1) +(8-1)*2=339

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-7-26 13:06 編輯 ]
作者: anyway13    時間: 2020-7-26 20:37     標題: 回復 19# Ellipse 的帖子

謝謝Ellipse老師熱心回答
作者: Ellipse    時間: 2020-7-26 21:55

引用:
原帖由 happysad 於 2020-7-25 11:00 發表
請問填充2該怎麼做呢?  弄很久湊不出來~~
題目數據有誤(做不出來),要改成下列這樣,答案才會是他給的數據

圖片附件: 1595771631292.jpg (2020-7-26 21:55, 36.73 KB) / 該附件被下載次數 54
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5599&k=dcf26451e72cb31bb27968eef49c198b&t=1601107346


作者: happysad    時間: 2020-7-27 11:32

引用:
原帖由 Ellipse 於 2020-7-26 21:55 發表

題目數據有誤(做不出來),要改成下列這樣,答案才會是他給的數據
感謝Ellipse大大的改正,不過小弟卡在(alpha + beta)^2 該如何化簡,請問如何處理?
作者: thepiano    時間: 2020-7-27 11:40     標題: 回復 22# happysad 的帖子

畫指數和對數函數圖形,利用它們關於 y = x 對稱
作者: anyway13    時間: 2020-7-28 15:27     標題: 回復 23# thepiano 的帖子

鋼琴老師好,小弟愚笨所以把這個圖用電腦畫一下

可是得不到對稱y=x的這件事

可不可以請老師指點一下這題要怎麼作阿

圖片附件: 118359.jpg (2020-7-28 15:27, 170.76 KB) / 該附件被下載次數 51
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5600&k=e771de77df03ee93c2fab5e8c9de3352&t=1601107346


作者: satsuki931000    時間: 2020-7-28 15:51



圖片附件: 16.JPG (2020-7-28 15:51, 37.22 KB) / 該附件被下載次數 65
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5601&k=586473802715461e742ec5e5445f5445&t=1601107346


作者: anyway13    時間: 2020-7-28 19:18     標題: 回復 25#satsuki931000 的帖子

謝謝satsuki931000老師詳細的回答,感謝您




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