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標題: 109新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: AshsNutn 時間: 2020-6-21 17:53 標題: 109新北市高中聯招

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附件: 109數學題本(浮水印).pdf (2020-6-21 17:53, 259.32 KB) / 該附件被下載次數 8444
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作者: bugmens 時間: 2020-6-21 18:01

感謝thepiano和Ellipse提供題目出處
1.
某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈，每晚會點亮其中一種燈，且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第1晚點亮紅色燈，則第6晚也點亮紅色燈的機率為　　　（以最簡分數表示）。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

2.
設集合\(A=\{\;1,2,3,\ldots,102 \}\;\)共102個數，\(B\)、\(C\)為另2個集合，滿足\(B∪C=A\)，則這樣的\((B,C)\)共有　　　。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

3.
一模型公司在一個內部邊長為2單位的透明正立方體箱子內，放置一顆半徑為1單位的黃球，然後又要在箱子的八個角落再塞入8顆半徑相同的小紅球。試求：小紅球的最大半徑為　　　單位。
(102高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

100華江高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1177&page=1#pid3990
102高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html

4.
設\(a\)、\(b\)為正整數，若\(a^{20}\)為31位數，\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^{20}\)自小數點以下25位才不為0，則\((ab)^5\)是　　　位數。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html)

5.
將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完)，要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數共有　　　種。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2466-1-1.html)

6.
設\(Q_1\)、\(Q_2\)為以原點\(O(0,0)\)為圓心的單位圓和\(x\)軸的兩交點。若上半圓上兩點\(P_1\)和\(P_2\)滿足\(∠P_1OP_2=45^{\circ}\)，則\(\Delta P_1OQ_1\)和\(\Delta P_2OQ_2\)面積和的最大值為　　　。
(105台灣師大申請入學筆試二試題，http://www.math.ntnu.edu.tw/down ... 6%E8%A9%A6%E4%BA%8C)

9.
級數\(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-2)^k}{(2^{k+1}+(-1)^{k+1})(2^k+(-1)^k)}\)之和為有理數，此有理數最簡分數為　　　。
[提示]
待定係數法
設\(\displaystyle \frac{(-2)^k}{(2^{k+1}+(-1)^{k+1})(2^k+(-1)^k)}=\frac{a\cdot 2^{k+1}}{2^{k+1}+(-1)^{k+1}}-\frac{a\cdot 2^k}{2^k+(-1)^k}\)，得\(\displaystyle a=\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle \frac{(-2)^k}{(2^{k+1}+(-1)^{k+1})(2^k+(-1)^k)}=\frac{1}{3}\left(\frac{2^{k+1}}{2^{k+1}+(-1)^{k+1}}-\frac{2^k}{2^k+(-1)^k}\right)\)

(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

計算證明題1.
將長\(\overline{AB}=240\)，寬\(\overline{BC}=288\)的長方形紙張對摺，讓頂點\(C\)剛好落在線段\(\overline{AB}\)的中點\(M\)上，若\(\overline{EF}\)是摺線，則摺線\(\overline{EF}\)的長度為多少？
(101高中數學能力競賽　花蓮區筆試一試題，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... s_writtenexam_1.pdf)

類似題
\(ABCD\)是邊長為1的正方形，沿\(\overline{PQ}\)對折，使得\(A,B\)對折之後分別重合於\(A',B'\)兩點，且\(B'\)在\(\overline{CD}\)上，
(a)證明\(\Delta RB'D\)的周長為2。
(b)求\(\Delta QB'C\)的最大面積。
(97國立大里高中，https://math.pro/db/thread-2402-1-1.html)

109.10.2補充
摺到中點時，各線段的比例
https://books.google.com.tw/book ... ge&q&f=true
Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding

圖片附件: 摺到中點.gif (2020-10-2 03:19, 81.05 KB) / 該附件被下載次數 4502
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作者: thepiano 時間: 2020-6-21 18:10 標題: 回復 1# AshsNutn 的帖子

出題費也太好賺了 ......

作者: Sandy 時間: 2020-6-21 18:38 標題: 回復 1# AshsNutn 的帖子

請教計算2

作者: BambooLotus 時間: 2020-6-21 18:42

計算2
空間中有點\(O(0,0,0)\)，\(A(5,-4,3)\)及平面\(E\)：\(x+2y+2z=0\)，\(P\)是平面\(E\)上的動點。
(a)求\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}\)的最大值。
(b)求此時\(P\)點座標。
[解答]
\(\overline{AP}\)為定值的動點軌跡為一圓，欲使\(\overline{OP}\)最大，故取過圓心且較遠的點
所求為\(\displaystyle\frac{7+r}{\sqrt{1+r^2}}\)，微分解得當\(\displaystyle r=\frac{1}{7}\)時有最大值\(5\sqrt{2}\)

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作者: thepiano 時間: 2020-6-21 18:47 標題: 回復 1# AshsNutn 的帖子

填充題
第 1 & 2 & 3 題
102 能力競賽，北一區

第 4 & 5 題
104 能力競賽，北一區

計算題
第 1 題
101 能力競賽，北一區

作者: 王重鈞 時間: 2020-6-21 19:02 標題: 計算二

空間中有點\(O(0,0,0)\)，\(A(5,-4,3)\)及平面\(E\)：\(x+2y+2z=0\)，\(P\)是平面\(E\)上的動點。
(a)求\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}\)的最大值。
(b)求此時\(P\)點座標。
[解答]
解一
設PO=kPA(阿波羅球)與平面相切
計算後可得等號成立於k=√50
此時阿波羅球
(x-250/49)^2+(y+200/49)^2+(z-150/49)^2=(50/49)^2
與平面切於(100/21,-100/21,50/21)
解二
偷吃步另解
設平面F為過OA且與平面E垂直的平面
則P落在兩平面交線上
不難得知P(2t,-2t,t)
故所求=√[(9t^2)/((2t-5)^2+(-2t+4)^2+(t-3)^2)]
後面這邊很巧妙的化為一元求極值這邊留給你了，可以得到極值發生在t=50/21

作者: Ellipse 時間: 2020-6-21 20:18

引用:

原帖由 AshsNutn 於 2020-6-21 17:53 發表
如附件，請參閱

看看這次新北會不會有大學教授來關心考題

作者: thepiano 時間: 2020-6-21 20:45

引用:

原帖由 Ellipse 於 2020-6-21 20:18 發表

看看這次新北會不會有大學教授來關心考題

一半用抄的，連數字都沒改

呼叫一下去年那個教授 ......

作者: Ellipse 時間: 2020-6-21 21:58

引用:

原帖由 AshsNutn 於 2020-6-21 17:53 發表
如附件，請參閱

填6:
"高中數學學科中心研發試題(97年度)" 改數據
原題目90度(這題改45度)

作者: chen3553 時間: 2020-6-21 22:49

想請問各位老師
計算2
如果用科西不等式算
令P(a,b,c)，讓AP線段最短使得OP/AP最大
這樣是哪個環節出問題？
算出來最大值只有7......

作者: thepiano 時間: 2020-6-21 23:12 標題: 回復 12# chen3553 的帖子

OP 不是定值

作者: Ellipse 時間: 2020-6-21 23:13

引用:

原帖由 chen3553 於 2020-6-21 22:49 發表
想請問各位老師
計算2
如果用科西不等式算
令P(a,b,c)，讓AP線段最短使得OP/AP最大
這樣是哪個環節出問題？
算出來最大值只有7......

AP在變,OP也跟著變
並不是讓AP線段有最小值,OP/AP就會最大

作者: chen3553 時間: 2020-6-21 23:58 標題: 回復 13# thepiano 14#Ellipse

謝謝E大和鋼琴大

作者: peter0210 時間: 2020-6-22 15:44

計算2
空間中有點\(O(0,0,0)\)，\(A(5,-4,3)\)及平面\(E\)：\(x+2y+2z=0\)，\(P\)是平面\(E\)上的動點。
(a)求\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}\)的最大值。
(b)求此時\(P\)點座標。

圖片附件: 1592811749067.jpg (2020-6-22 15:44, 99.49 KB) / 該附件被下載次數 2256
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5565&k=93d5feec9c755efec678599c5c9b2f68&t=1713291457

作者: DavidGuo 時間: 2020-6-22 16:53

據說他們又找了同一個教授出題，
但該教說連兩年同一個教授出，題目重複率太高，推掉了。今年換了另一位。

題目抄的話，至少要換個數字，都一樣的話實在有點混。

引用:

原帖由 thepiano 於 2020-6-21 20:45 發表

一半用抄的，連數字都沒改

呼叫一下去年那個教授 ......

作者: thepiano 時間: 2020-6-22 18:05 標題: 回復 4# Sandy 的帖子

計算第2題
空間中有點\(O(0,0,0)\)，\(A(5,-4,3)\)及平面\(E\)：\(x+2y+2z=0\)，\(P\)是平面\(E\)上的動點。
(a)求\(\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}\)的最大值。
(b)求此時\(P\)點座標。
[解答]
在\(\Delta OAP\)中，作\(\overline{AH}\)垂直\(\overline{OP}\)於\(H\)
由正弦定理，\(\frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}=\frac{\sin \angle OAP}{\sin \angle AOP}=\frac{\sin \angle OAP}{\frac{\overline{AH}}{\overline{AO}}}=\frac{5\sqrt{2}\sin \angle OAP}{\overline{AH}}\)
其最大值出現在\(\overline{AH}\)最小，而\(\sin \angle OAP\)最大時
此時，\(\frac{\overline{OP}}{\overline{AP}}=\frac{5\sqrt{2}\times 1}{\frac{\left| 5-8+6 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}}=5\sqrt{2}\)
\(\begin{align}
& {{\overline{OA}}^{2}}=\overline{OH}\times \overline{OP} \\
& \overline{OP}=\frac{50}{7} \\
& \frac{\overline{OP}}{\overline{OH}}=\frac{50}{49} \\
& H\left( \frac{14}{3},-\frac{14}{3},\frac{7}{3} \right) \\
& P\left( \frac{100}{21},-\frac{100}{21},\frac{50}{21} \right) \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2020-6-22 18:07 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2020-6-22 22:45

主要是要找會教的老師,至少課本的定義公式都需要會證吧
但這方面,或許還是有些考生尚未準備足夠
若考幾題課本內證明或是延伸還比較有意義
提供以下部分供參考

課本基本定義公式的證明
1.三向量所張成平行六面體之行列式證明
2.點到直線距離公式...
3.在還沒有學到向量前~如何向學生說明點到直線距離公式...(不用向量方式證明,因為新課綱把向量放在後面才教)
4.點到平面距離公式...
5.鏡射,旋轉,伸縮,轉移矩陣的證明
6.線性變換的面積比公式
7.馬可夫鏈...
8.輾轉相除法原理
9.正、餘弦公式、和差角公式
10.空間中三垂線定理
11.整係數多項式一次因式檢驗法
12.a>0為固定數 ,證明方程式x^n=a(n為正整數)恰有一個正實根
......

進階公式的證明或計算
1.圓內接四邊形的面積公式的證明(海龍公式的推廣)
2.證明托勒密定理或應用
3.證明lim{n->∞} n^(1/n)= 1
4.證明(1+1/n)^n為遞增數列
5.證明魏琴柏克不等式(或推廣)
6.證明Napier不等式
7.費波那契數列題型
8.一路領先的題型
9.垂足三角形的題型
10.廣義柯西不等式的證明
11.證明1-1/3+1/5-1/7+….-…….=π/4
12.證明1/(1^2) +1/(2^2)+1/(3^2)+……….. =(π^2)/ 6
........

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-6-23 08:14 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2020-6-23 08:15

引用:

據說他們又找了同一個教授出題，
但該教說連兩年同一個教授出，題目重複率太高，推掉了。今年換了另一位。

題目抄的話，至少要換個數字，都一樣的話實在有點混。
...

一般教甄至少會找兩位老師命題,然後再交給其他老師組題(命題小組)
會出現有一半題目都是能力競賽,且都是那幾年的"北一區"
實在是"不可思議",更何況是大型聯招.....

"109新北市高中聯招",怎變成在考 "能力競賽複習考"?
"109新北市立高中教師聯合甄選委員會"應該要收回出題費
及追究責任,並檢討這種事日後不會再發生

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-6-23 08:36 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2020-6-23 10:34

填充第 3 題，一大球八小球這題
當年的能力競賽和現在網路上的試題，圖都是灰階的
而新北這次 PDF 檔的圖居然進階到彩色
兩個圖一模一樣，只差在顏色
這就說明都是同一個人出的

整張考卷中，一半的題目都是抄自"同一區"的能力競賽
如果說這只是"有點混'，那教授們對自己的標準會不會太低了?

新北市聯招委員會多學學全國聯招的高水準吧!

作者: Ellipse 時間: 2020-6-24 23:16

引用:

原帖由 thepiano 於 2020-6-21 18:47 發表
填充題
第 1 & 2 & 3 題
102 能力競賽，北一區

第 4 & 5 題
104 能力競賽，北一區

計算題
第 1 題
101 能力競賽，北一區

填充第6題,出自105能力競賽（北一區）

一堆出自"能力競賽"...... (佔7/12)

就沒別的來源可以出嗎?

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2020-6-24 23:26 編輯 ]

作者: jerryborg123 時間: 2020-6-25 18:14

想請教填充第10

作者: thepiano 時間: 2020-6-25 19:04 標題: 回復 22# jerryborg123 的帖子

填充第 10 題
\(xy-\)平面上能滿足不等式：\(|\;x^2+y^2-2x+4y-18|\;\le 2x-2y+18\)之所有點所成的集合為\(S\)，則\(S\)的面積為　　　。
[提示]
分別討論絕對值裡的東西之正與負

作者: thepiano 時間: 2020-6-25 19:08

引用:

原帖由 Ellipse 於 2020-6-24 23:16 發表

一堆出自"能力競賽"...... (佔7/12)

就沒別的來源可以出嗎?

出這張大概不用半小時，真好賺

作者: jerryborg123 時間: 2020-6-25 20:46 標題: 回復 23# thepiano 的帖子

謝謝老師
原來中間的圓是先扣掉又加上所以最後剩大小圓，這邊弄錯了

作者: nanpolend 時間: 2020-9-5 17:25 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

至少做某地方連五年考古題
少說3題多則五題重複或類題
能考教師的題庫就那幾題
做當年度十份以上就很多重複考的

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