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標題: 109興大附中 [打印本頁]

作者: Superconan    時間: 2020-5-2 13:25     標題: 109興大附中

學校第一次公告的題目卷是 word 轉 pdf 的電子檔,文字品質較好,但少了第 16 題的圖。
經考生打電話反應後,學校第二次公告完整題目卷,含第 16 題的圖。
但此份題目卷是將題目拿去影印機掃描出來的檔案,解析度較差。

故我將第二次公告的題目卷中的第 16 題的圖,
剪貼至學校第一次公告的題目卷上,
重新上傳至此,供各位考生參考。

---

我發現上次重新整合的檔案,填充第 14 題有一個小括號消失了
故將此括號補上,重新上傳,供各位參考。

附件: 題目卷.pdf (2020-5-5 22:44, 1.04 MB) / 該附件被下載次數 9906
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5436&k=c8f5e14ec107e71f56ed0760a6c84e08&t=1712916954

附件: 解答-公告用.pdf (2020-5-2 13:25, 518.73 KB) / 該附件被下載次數 8332
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5437&k=e53e748873628cd63731a6d84fb0dba4&t=1712916954
作者: bugmens    時間: 2020-5-2 21:05

3.
求\( \displaystyle \sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2019^2}+\frac{1}{2020^2}} \)的值為   
[提示]
看題目寫答案\(\displaystyle 2020-\frac{1}{2020}\)
(我的教甄準備之路 裂項相消,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

15.
有一底面半徑為 3 公分,且密度不均勻的圓柱體,傾斜漂浮在靜止的水面上,水面剛好通過底面直徑且與底面成 60°角,如
下圖所示。試求此圓柱體在水面下的體積為   立方公分。
[公式]
\(\frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \)

16.
如下圖,等腰直角\(\Delta ABC\)中,\(∠A=90^{\circ}\),\(D\)為\(\overline{BC}\)為正方形,且\(F\)在\(\overline{AC}\)邊上,若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\),\(\overline{BC}=4\),則正方形\(DEFG\)的面積為   
連結有解答,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA478ans.pdf

17.
坐標平面上,由\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2\le 1\),\(\displaystyle y+1\ge \left( \frac{\sqrt{3}}{2}+1 \right)x\),\(\displaystyle y+1\ge -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)x\)所圍成之面積為   

平面上,由圖形\( \displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \),\( \displaystyle y+1 \ge (\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \),\( \displaystyle y+1 \ge -(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)所圍成區域之面積為何?
(100高中數學能力競賽 台中區複賽試題二試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

19.
在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上,分別標示數字,其中的\(x_1,x_2,\ldots,x_9\)等為未知數字。今假設每一個\(x_i\)恰為其相鄰的四個數字的平均數,例如\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}(4+2+x_2+x_4)\),\(\displaystyle x_5=\frac{1}{4}(x_2+x_4+x_6+x_8)\),試求\(x_5\)之值為   
(97高中數學能力競賽 嘉義區複賽試題一,https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
連結有解答,http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... _writtenexam_1s.pdf

20.
實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24}\),求\(x^2+y^2+z^2=\)   
94高中數學能力競賽 南區(高屏區)筆試二試題

計算題1.
已知\(0<a<1\),\(0<b<1\),\(0<c<1\),\(0<d<1\),且\(a+b+c+d=1\),求\(\displaystyle \left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\left(\frac{1}{d}-1\right)\)之最小值

已知\( a,b,c \)為正數且\( a+b+c=1 \),則\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{1}{a}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{b}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{c}-1 \Bigg)\; \)的最小值為?
(100成淵高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3466)
作者: satsuki931000    時間: 2020-5-2 21:14

計算
不知道出處
但知道版上有人問過一模一樣的XD
https://math.pro/db/thread-2973-1-1.html
作者: royan0837    時間: 2020-5-2 21:28

請教第八題,謝謝!
作者: CyberCat    時間: 2020-5-2 21:46     標題: 回復 4# royan0837 的帖子

討論 x=1 時的函數值、左極限 ,x=-1 時的函數值、右極限,剩下就交給你了:)
作者: AshsNutn    時間: 2020-5-2 23:29     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

謝謝立即分享,老師太熱心了!

小弟不才,
想請教第13 . 19 .20 題

謝謝各位老師!
作者: Almighty    時間: 2020-5-2 23:44     標題: 回復 6# AshsNutn 的帖子

13題,有暴力解法
或者再請教看看有沒有大神解法

19題,把所有關係式寫出來
(我依序用abcdefghi)
令a+c+g+i=A,b+d+f+h=B,e
可以設三組聯立解

20題,用三次乘法公式代入代換

圖片附件: 95383257_237027317513394_3092916150120480768_n.jpg (2020-5-2 23:44, 88.02 KB) / 該附件被下載次數 4218
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5438&k=e79a8d1f667911e2f1e9edac9bd0d287&t=1712916954



圖片附件: S__100327439.jpg (2020-5-3 00:02, 217.95 KB) / 該附件被下載次數 4651
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5440&k=fd96ea2923843eeadd7dc6b19c1c2d23&t=1712916954


作者: abc409212000    時間: 2020-5-2 23:55     標題: 回復 6# AshsNutn 的帖子



圖片附件: 109興大附中20.png (2020-5-2 23:55, 42.44 KB) / 該附件被下載次數 4764
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5439&k=fc0e162f1dc0ea94ababa5ff6da78e74&t=1712916954


作者: AshsNutn    時間: 2020-5-3 00:07

謝謝  Almighty  abc409212000 兩位老師的指點!
作者: jerryborg123    時間: 2020-5-3 11:43

想請教第六題,我知道可以推出六項一循環後去解,但為什麼用特徵值去假設一般解的方法算出來是錯的?
我假設\(a_n=c_1(cos(pi/3)+isin(pi/3))^n + c_2(cos(-pi/3)+isin(-pi/3))^n \)帶入題目給的兩個條件 c1 c2會無解

(另外想請教如何在這裡輸入數學式,不然怕這樣打太亂傷各位老師眼睛)


109.5.3版主補充
用\(和\)將數學式子包起來
作者: z78569    時間: 2020-5-3 19:22     標題: 回復 10# jerryborg123 的帖子

你應該是把兩個常數當成實數去算了
這兩個數字都是複數
作者: swallow7103    時間: 2020-5-3 23:47

分享16、18、19
第16題架上座標軸,來個解析幾何法吧!

圖片附件: IMG_20200503_234225.jpg (2021-4-30 14:48, 1.42 MB) / 該附件被下載次數 3550
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5441&k=f616f02809414369cc3411f9bc5b3109&t=1712916954



圖片附件: IMG_20200503_234243.jpg (2020-5-3 23:47, 885.23 KB) / 該附件被下載次數 3128
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5442&k=25bb98e5d6f187ee1787eaccd0cab9db&t=1712916954



圖片附件: IMG_20200503_234248.jpg (2020-5-3 23:47, 900.6 KB) / 該附件被下載次數 3075
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5443&k=b08f4b61eada99b442b0eedcdd47d4d2&t=1712916954


作者: BambooLotus    時間: 2020-5-4 00:02

10補個連結
(99彰化女中)
https://math.pro/db/thread-948-1-1.html
事後才發現以前看過這題
當下是覺得先畫一個\((x-1)^3\),觀察圖形可知\(f(x)=(x-1)^3+p(x-1)+q,p\le0,q\ge0\)(這裡有瑕疵,沒有很刻意找\(p,q\)的範圍)
當\(p=q=0\)時即為所求

17補個bugmens老師有做過的方法,附個連結,就是模仿老師的方法而已,不獻醜了
(101中正高中)
https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html

18補充個考試時間快到的時候突然想到的做法,跟樓上差不多,就是看起來清楚點而已
令\(\displaystyle t=x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{2}\),原式\(\displaystyle=t+\frac{64}{9}\frac{1}{t-1}=t-1+\frac{64}{9}\frac{1}{t-1}+1\ge\frac{19}{3}\)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2020-5-4 00:24 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2020-5-4 09:53     標題: 13.

回覆#6.

[ 本帖最後由 laylay 於 2020-5-4 10:24 編輯 ]

圖片附件: 15885569139835214401861878212299.jpg (2020-5-4 09:53, 4.07 MB) / 該附件被下載次數 3720
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5444&k=396d78601275419e24e7b1f473260639&t=1712916954


作者: XINHAN    時間: 2020-5-5 09:37

分享手寫訂正,有錯誤還多請大家指教~
感謝版上大大分享填充13,16,17,19想法 > < !!

附件: 109興大附中.pdf (2020-5-5 09:37, 693.01 KB) / 該附件被下載次數 4618
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5446&k=f9b09d7404ccad5ff7ec6f6166d9ccb6&t=1712916954
作者: Almighty    時間: 2020-5-5 12:20     標題: 回復 15# XINHAN 的帖子

第九題的絕對值有疑慮唷
a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
-----------------------------------------------------------------
提供的想法,考慮一隻青蛙從1開始跳,最後跳到9

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-5-5 13:09 編輯 ]
作者: XINHAN    時間: 2020-5-5 17:07

引用:
原帖由 Almighty 於 2020-5-5 12:20 發表
第九題的絕對值有疑慮唷
a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
---------------------------------------------- ...
感謝指出錯誤!!等等上完課補訂正 > <
考試時沒想那麼多,居然矇對 ...
作者: yi4012    時間: 2020-5-5 17:12

(a-b)的絕對值=(b-c)的絕對值
結果有兩種,a=c或b為a和c的中點
以a看有兩種,5和-3
a=5,b=1,c=5
a=5,b=9,c=5或13
a=-3,b=1,c=5
總共是這4種,我是直接窮舉法
若分成a=c和b為a、c中點
a=c,又因為a=5或-3,c=13或5
所以a=c=5,b有兩種,1或9
b為ac中點,所以三數為b-4,b,b+4
b-5=4,b=9,a=5,c=13
b-5=-4,b=1,a=-3,c=5
作者: XINHAN    時間: 2020-5-5 19:57

引用:
原帖由 Almighty 於 2020-5-5 12:20 發表
第九題的絕對值有疑慮唷
a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
---------------------------------------------- ...
藉由老師的想法,
從1跳到9一次跳4格(只能左右跳),所以必有右右、然而還有兩次所以必配左右
所以是"右右右左"排列方法數:4!/3!=4,Almightly老師是這樣嗎?
作者: Almighty    時間: 2020-5-5 22:13     標題: 回復 19# XINHAN 的帖子

對唷~誤大誤撞(運氣)也是實力的一種
作者: XINHAN    時間: 2020-5-6 08:16

引用:
原帖由 XINHAN 於 2020-5-5 09:37 發表
分享手寫訂正,有錯誤還多請大家指教~
感謝版上大大分享填充13,16,17,19想法 > < !!
[第10題修正]
求a的最大值應用柯西不等式
p+q+r=3
(p+q+r)(q+r+p)>=(pq+qr+pr)^2=9a^2
0<= a <=1 故最大值取1
作者: thepiano    時間: 2020-5-6 08:40     標題: 回復 21# XINHAN 的帖子

您的柯西不對吧?
作者: XINHAN    時間: 2020-5-6 10:15

引用:
原帖由 thepiano 於 2020-5-6 08:40 發表
您的柯西不對吧?
我發現問題了,抱歉抱歉,謝謝鋼琴大大指正
作者: XINHAN    時間: 2020-5-6 10:27

引用:
原帖由 thepiano 於 2020-5-6 08:40 發表
您的柯西不對吧?
我剛剛趕快修正一下
3a = pq+qr+pr = 1/2 * [(p+q+r)^2 - (p^2+q^2+r^2)] = 1/2 * [9 - (p^2+q^2+r^2)] <= 1/2 * [9 - 3] = 3
a <= 1

註:
(p^2+q^2+r^2)(1^2+1^2+1^2) >= (p+q+r)^2 = 9
p^2+q^2+r^2 >= 3
-(p^2+q^2+r^2) <= -3
作者: 黃俊文    時間: 2020-6-5 12:31     標題: 回復 15# XINHAN 的帖子

請問老師
關於12題的解題原理是什麼呢

哎呀 因為線性變換 我知道了 謝謝
作者: weiye    時間: 2020-9-16 09:22     標題: 等腰直角三角形內接正方形求面積

等腰直角\(\Delta ABC\)中,\(\angle A=90^{\circ}\),\(D\)為\(\overline{BC}\)的中點,四邊形\(DEFG\)為正方形,且點\(F\)在\(\overline{AC}\)邊上。若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\),\(\overline{BC}=4\),則正方形\(DEFG\)的面積為   。(化為最簡根式)

(朋友問的105北區第二次學測模擬考的題目,解完放上來分享一下。)
解答:

令 D(0,0), C(2,0), A(0,2), G(a,b),則

E(-b,a) → F(a-b, a+b)

因為 F(a-b, a+b) 位在直線AC: x+y=2 上,

所以 (a-b)+(a+b)=2,得 a=1,

→ G(1,b)、E(-b,1)

因為 GC : BE = 1:√3,

所以 BE^2 = 3 GC^2

→ (b-2)^2 + 1^2 = 3(1^2 + b^2)

→ b^2 + 2b -1 =0

→ (b+1)^2 = 2

→ b = -1 +√2

所求正方形面積 = 1^2 + b^2 = 4-2√2

111.7.29
補充模擬考題目和答案

附件: 105北區第2次模擬考題目.pdf (2022-7-29 09:40, 364.43 KB) / 該附件被下載次數 3073
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5637&k=efc59d4c94ddb58dd6261405501f5b32&t=1712916954

附件: 105北區第2次模擬考答案.pdf (2022-7-29 09:40, 292.81 KB) / 該附件被下載次數 1550
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6452&k=6108d43dc2071030a8a0829077436bb6&t=1712916954




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