標題: 109興大附中 [打印本頁]

---

作者: Superconan    時間: 2020-5-2 13:25     標題: 109興大附中

學校第一次公告的題目卷是 word 轉 pdf 的電子檔，文字品質較好，但少了第 16 題的圖。
經考生打電話反應後，學校第二次公告完整題目卷，含第 16 題的圖。
但此份題目卷是將題目拿去影印機掃描出來的檔案，解析度較差。

故我將第二次公告的題目卷中的第 16 題的圖，
剪貼至學校第一次公告的題目卷上，
重新上傳至此，供各位考生參考。

---

我發現上次重新整合的檔案，填充第 14 題有一個小括號消失了
故將此括號補上，重新上傳，供各位參考。

附件: 題目卷.pdf (2020-5-5 22:44, 1.04 MB) / 該附件被下載次數 11345
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5436&k=4ca1385b03995b509e4b9898252fece1&t=1732257768

附件: 解答-公告用.pdf (2020-5-2 13:25, 518.73 KB) / 該附件被下載次數 9800
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5437&k=13825f6f96611df095cae41e1c57ea30&t=1732257768

---

作者: bugmens    時間: 2020-5-2 21:05

3.
求\( \displaystyle \sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2019^2}+\frac{1}{2020^2}} \)的值為　　　。
[提示]
看題目寫答案\(\displaystyle 2020-\frac{1}{2020}\)
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

15.
有一底面半徑為 3 公分，且密度不均勻的圓柱體，傾斜漂浮在靜止的水面上，水面剛好通過底面直徑且與底面成 60°角，如
下圖所示。試求此圓柱體在水面下的體積為　　　立方公分。
[公式]
\(\frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \)

16.
如下圖，等腰直角\(\Delta ABC\)中，\(∠A=90^{\circ}\)，\(D\)為\(\overline{BC}\)為正方形，且\(F\)在\(\overline{AC}\)邊上，若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\)，\(\overline{BC}=4\)，則正方形\(DEFG\)的面積為　　　。
連結有解答，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA478ans.pdf

17.
坐標平面上，由\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2\le 1\)，\(\displaystyle y+1\ge \left( \frac{\sqrt{3}}{2}+1 \right)x\)，\(\displaystyle y+1\ge -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)x\)所圍成之面積為　　　。

平面上，由圖形\( \displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \)，\( \displaystyle y+1 \ge (\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)，\( \displaystyle y+1 \ge -(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)x \)所圍成區域之面積為何？
(100高中數學能力競賽　台中區複賽試題二試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

19.
在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上，分別標示數字，其中的\(x_1，x_2，\ldots，x_9\)等為未知數字。今假設每一個\(x_i\)恰為其相鄰的四個數字的平均數，例如\(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}(4+2+x_2+x_4)\)，\(\displaystyle x_5=\frac{1}{4}(x_2+x_4+x_6+x_8)\)，試求\(x_5\)之值為　　　。
(97高中數學能力競賽　嘉義區複賽試題一，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html)
連結有解答，http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... _writtenexam_1s.pdf

20.
實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{\displaystyle x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24}\)，求\(x^2+y^2+z^2=\)　　　。
94高中數學能力競賽　南區(高屏區)筆試二試題

計算題1.
已知\(0<a<1\)，\(0<b<1\)，\(0<c<1\)，\(0<d<1\)，且\(a+b+c+d=1\)，求\(\displaystyle \left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\left(\frac{1}{d}-1\right)\)之最小值

已知\( a,b,c \)為正數且\( a+b+c=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{1}{a}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{b}-1 \Bigg)\; \Bigg(\; \frac{1}{c}-1 \Bigg)\; \)的最小值為？
(100成淵高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3466)

---

作者: satsuki931000    時間: 2020-5-2 21:14

計算
不知道出處
但知道版上有人問過一模一樣的XD
https://math.pro/db/thread-2973-1-1.html

---

作者: royan0837    時間: 2020-5-2 21:28

請教第八題，謝謝！

---

作者: CyberCat    時間: 2020-5-2 21:46     標題: 回復 4# royan0837 的帖子

討論 x=1 時的函數值、左極限 ，x=-1 時的函數值、右極限，剩下就交給你了：）

---

作者: AshsNutn    時間: 2020-5-2 23:29     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

謝謝立即分享，老師太熱心了！

小弟不才，
想請教第13 . 19 .20 題

謝謝各位老師！

---

作者: Almighty    時間: 2020-5-2 23:44     標題: 回復 6# AshsNutn 的帖子

13題，有暴力解法
或者再請教看看有沒有大神解法

19題，把所有關係式寫出來
（我依序用abcdefghi)
令a+c+g+i=A，b+d+f+h=B，e
可以設三組聯立解

20題，用三次乘法公式代入代換

圖片附件: 95383257_237027317513394_3092916150120480768_n.jpg (2020-5-2 23:44, 88.02 KB) / 該附件被下載次數 5171
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5438&k=d162ffd6f3341bbc576117e1900b05e8&t=1732257768



圖片附件: S__100327439.jpg (2020-5-3 00:02, 217.95 KB) / 該附件被下載次數 5612
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5440&k=41e956c67a2be7f65287f0d001dbac10&t=1732257768

---

作者: abc409212000    時間: 2020-5-2 23:55     標題: 回復 6# AshsNutn 的帖子



圖片附件: 109興大附中20.png (2020-5-2 23:55, 42.44 KB) / 該附件被下載次數 5725
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5439&k=8d878abf7e4ce0e111463b8a37220f95&t=1732257768

---

作者: AshsNutn    時間: 2020-5-3 00:07

謝謝  Almighty  abc409212000 兩位老師的指點！

---

作者: jerryborg123    時間: 2020-5-3 11:43

想請教第六題，我知道可以推出六項一循環後去解，但為什麼用特徵值去假設一般解的方法算出來是錯的？
我假設\(a_n=c_1(cos(pi/3)+isin(pi/3))^n + c_2(cos(-pi/3)+isin(-pi/3))^n \)帶入題目給的兩個條件 c1 c2會無解

(另外想請教如何在這裡輸入數學式，不然怕這樣打太亂傷各位老師眼睛)


109.5.3版主補充
用\(和\)將數學式子包起來

---

作者: z78569    時間: 2020-5-3 19:22     標題: 回復 10# jerryborg123 的帖子

你應該是把兩個常數當成實數去算了
這兩個數字都是複數

---

作者: swallow7103    時間: 2020-5-3 23:47

分享16、18、19
第16題架上座標軸，來個解析幾何法吧！

圖片附件: IMG_20200503_234225.jpg (2021-4-30 14:48, 1.42 MB) / 該附件被下載次數 4117
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5441&k=0ebddd37833bf9b704a007fb28559126&t=1732257768



圖片附件: IMG_20200503_234243.jpg (2020-5-3 23:47, 885.23 KB) / 該附件被下載次數 3744
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5442&k=7d064fca65912e3bafa1a4ff84854d11&t=1732257768



圖片附件: IMG_20200503_234248.jpg (2020-5-3 23:47, 900.6 KB) / 該附件被下載次數 3680
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5443&k=8c6e4af0e20890fe32af53623ba571de&t=1732257768

---

作者: BambooLotus    時間: 2020-5-4 00:02

10補個連結
(99彰化女中)
https://math.pro/db/thread-948-1-1.html
事後才發現以前看過這題
當下是覺得先畫一個\((x-1)^3\)，觀察圖形可知\(f(x)=(x-1)^3+p(x-1)+q,p\le0,q\ge0\)(這裡有瑕疵，沒有很刻意找\(p,q\)的範圍)
當\(p=q=0\)時即為所求

17補個bugmens老師有做過的方法，附個連結，就是模仿老師的方法而已，不獻醜了
(101中正高中)
https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html

18補充個考試時間快到的時候突然想到的做法，跟樓上差不多，就是看起來清楚點而已
令\(\displaystyle t=x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{2}\)，原式\(\displaystyle=t+\frac{64}{9}\frac{1}{t-1}=t-1+\frac{64}{9}\frac{1}{t-1}+1\ge\frac{19}{3}\)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2020-5-4 00:24 編輯 ]

---

作者: laylay    時間: 2020-5-4 09:53     標題: 13.

回覆#6.

[ 本帖最後由 laylay 於 2020-5-4 10:24 編輯 ]

圖片附件: 15885569139835214401861878212299.jpg (2020-5-4 09:53, 4.07 MB) / 該附件被下載次數 4227
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5444&k=406331864c432d2cf3296b0d7d11a859&t=1732257768

---

作者: XINHAN    時間: 2020-5-5 09:37

分享手寫訂正，有錯誤還多請大家指教～
感謝版上大大分享填充13,16,17,19想法 > < !!

附件: 109興大附中.pdf (2020-5-5 09:37, 693.01 KB) / 該附件被下載次數 5312
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5446&k=823ae77c6d7f42046f17caf41b9ab516&t=1732257768

---

作者: Almighty    時間: 2020-5-5 12:20     標題: 回復 15# XINHAN 的帖子

第九題的絕對值有疑慮唷
a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
-----------------------------------------------------------------
提供的想法，考慮一隻青蛙從1開始跳，最後跳到9

[ 本帖最後由 Almighty 於 2020-5-5 13:09 編輯 ]

---

作者: XINHAN    時間: 2020-5-5 17:07

引用:

原帖由 Almighty 於 2020-5-5 12:20 發表
第九題的絕對值有疑慮唷
a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
---------------------------------------------- ...

感謝指出錯誤！！等等上完課補訂正 > <
考試時沒想那麼多，居然矇對 ...

---

作者: yi4012    時間: 2020-5-5 17:12

(a-b)的絕對值=(b-c)的絕對值
結果有兩種，a=c或b為a和c的中點
以a看有兩種，5和-3
a=5，b=1，c=5
a=5，b=9，c=5或13
a=-3，b=1，c=5
總共是這4種，我是直接窮舉法
若分成a=c和b為a、c中點
a=c，又因為a=5或-3，c=13或5
所以a=c=5，b有兩種，1或9
b為ac中點，所以三數為b-4，b，b+4
b-5=4，b=9，a=5，c=13
b-5=-4，b=1，a=-3，c=5

---

作者: XINHAN    時間: 2020-5-5 19:57

引用:

原帖由 Almighty 於 2020-5-5 12:20 發表
第九題的絕對值有疑慮唷
a,b,c=5,5,5--->a-b=b-c=0 不等於題目的距離4
a,b,c=-3,5,13--->|a-b|=|b-c|=8不等於題目的距離4
當a=c=5時
b其實就不適合套用中點的想法了
---------------------------------------------- ...

藉由老師的想法，
從1跳到9一次跳4格(只能左右跳)，所以必有右右、然而還有兩次所以必配左右
所以是"右右右左"排列方法數：4!/3!=4，Almightly老師是這樣嗎？

---

作者: Almighty    時間: 2020-5-5 22:13     標題: 回復 19# XINHAN 的帖子

對唷～誤大誤撞（運氣）也是實力的一種

---

作者: XINHAN    時間: 2020-5-6 08:16

引用:

原帖由 XINHAN 於 2020-5-5 09:37 發表
分享手寫訂正，有錯誤還多請大家指教～
感謝版上大大分享填充13,16,17,19想法 > < !!

[第10題修正]
求a的最大值應用柯西不等式
p+q+r=3
(p+q+r)(q+r+p)>=(pq+qr+pr)^2=9a^2
0<= a <=1 故最大值取1

---

作者: thepiano    時間: 2020-5-6 08:40     標題: 回復 21# XINHAN 的帖子

您的柯西不對吧?

---

作者: XINHAN    時間: 2020-5-6 10:15

引用:

原帖由 thepiano 於 2020-5-6 08:40 發表
您的柯西不對吧?

我發現問題了，抱歉抱歉，謝謝鋼琴大大指正

---

作者: XINHAN    時間: 2020-5-6 10:27

引用:

原帖由 thepiano 於 2020-5-6 08:40 發表
您的柯西不對吧?

我剛剛趕快修正一下
3a = pq+qr+pr = 1/2 * [(p+q+r)^2 - (p^2+q^2+r^2)] = 1/2 * [9 - (p^2+q^2+r^2)] <= 1/2 * [9 - 3] = 3
a <= 1

註：
(p^2+q^2+r^2)(1^2+1^2+1^2) >= (p+q+r)^2 = 9
p^2+q^2+r^2 >= 3
-(p^2+q^2+r^2) <= -3

---

作者: weiye    時間: 2020-9-16 09:22     標題: 等腰直角三角形內接正方形求面積

等腰直角\(\Delta ABC\)中，\(\angle A=90^{\circ}\)，\(D\)為\(\overline{BC}\)的中點，四邊形\(DEFG\)為正方形，且點\(F\)在\(\overline{AC}\)邊上。若\(\overline{BE}=\sqrt{3}\overline{CG}\)，\(\overline{BC}=4\)，則正方形\(DEFG\)的面積為　　　。(化為最簡根式)

(朋友問的105北區第二次學測模擬考的題目，解完放上來分享一下。)
解答：

令 D(0,0), C(2,0), A(0,2), G(a,b)，則

E(-b,a) → F(a-b, a+b)

因為 F(a-b, a+b) 位在直線AC： x+y=2 上，

所以 (a-b)+(a+b)=2，得 a=1，

→ G(1,b)、E(-b,1)

因為 GC : BE = 1:√3，

所以 BE^2 = 3 GC^2

→ (b-2)^2 + 1^2 = 3(1^2 + b^2)

→ b^2 + 2b -1 =0

→ (b+1)^2 = 2

→ b = -1 +√2

所求正方形面積 = 1^2 + b^2 = 4-2√2

111.7.29
補充模擬考題目和答案

附件: 105北區第2次模擬考題目.pdf (2022-7-29 09:40, 364.43 KB) / 該附件被下載次數 3786
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5637&k=1f506eed90d5edf7e6f462a768ad8865&t=1732257768

附件: 105北區第2次模擬考答案.pdf (2022-7-29 09:40, 292.81 KB) / 該附件被下載次數 2274
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6452&k=3cbe7bf104837be055cc2f8b757217d1&t=1732257768

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0