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標題: 108新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: Superconan    時間: 2019-5-12 14:31     標題: 108新北市高中聯招

如附件

108.5.14初試疑義答覆
第一部分第12題
1.三種顏色的球各\(2n\)顆,若是球是相異的話,題目應該就會寫成「\(6n\)顆相異球平分成兩堆」,同色球就是相同,相異的話題目會特別說明。
2.但基於考生權益,若以為球是相異的話,答案為\(C(6n,3n)/2\),也給分。

原答案與\(\displaystyle \frac{1}{2}C_{3n}^{6n}=\frac{(6n)!}{2(3n)!(3n)!}\)均給分

附件: 108新北市高中聯招試題.pdf (2019-5-19 05:47, 310.94 KB) / 該附件被下載次數 1499
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5034&k=2c6d8ab293df6827f018741de3821987&t=1571141175

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5035&k=7130eb59fdfbc5b11af310191b154c8a&t=1571141175

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5070&k=012ed26aef7068721258c178cc4c9b03&t=1571141175
作者: Superconan    時間: 2019-5-12 14:35

請問填充6、7、10、12,計算1
作者: thepiano    時間: 2019-5-12 15:24     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充第12題
這題準備送分,沒說同色球都是相同的

其中一堆紅球\(a\)顆、黑球\(b\)顆、白球\(c\)顆
\(a+b+c=3n\)
所求\(=\frac{H_{3n}^{3}-3\times H_{3n-\left( 2n+1 \right)}^{3}+1}{2}=\frac{C_{3n}^{3n+2}-3\times C_{n-1}^{n+1}+1}{2}=\frac{3{{n}^{2}}+3n+2}{2}\)
分子加上的1是剛好平分時那種

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-12 15:27 編輯 ]
作者: Almighty    時間: 2019-5-12 16:30     標題: 填充8

從x,y的係數
令x=y=t
或者用 Cauchyineq.

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-12 19:43 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5037&k=edf7526833daae0090fac9251bd5b345&t=1571141175


作者: bugmens    時間: 2019-5-12 16:42

5.
設\(\displaystyle 7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)總共2019個7,請問此數除以100的餘數為   

設\(\displaystyle a=7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)(有2013個7),試求\(a\)的末兩位數為   
(102高中數學能力競賽 北二區(新竹高中)筆試二試題,https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

6.
邊長為1的正五邊形內部,去掉同時與五個頂點距離皆小於1的點後,剩下的面積是   
(102高中數學能力競賽,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2359&page=2#pid17859)

7.
一長方體的最長對角線,與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\),求此長方體體積。

長方體\(ABCDEFGH\)中,對角線\(\overline{CE}\)與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\),求此長方體體積。
(103高中數學能力競賽 新北市口試試題,https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

9.
設\(p,q\)為實數使得\(x^3+3x^2+px-q=0\)的三根成等差數列,且同時使得\(x^3+(2-p)x^2-(q+3)x-8=0\)的三根成等比數列,則數對\((p,q)\)為   

已知\(x^3+6x^2+px-q=0\)之三根成等差數列,且\(x^3+qx^2-px+1=0\)之三實根成等比數列,則數對\((p,q)=\)   
(104北一女中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2218&page=1#pid12958)
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-12 16:53     標題: 回復 3# thepiano 的帖子

請問加1 是否是因為平分只有一個狀況 不像其他會重複算到
所以要加1再除2呢?
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-12 16:56

請問填充4.11

填充11 請問不是(甲沒進×乙沒進×甲進)嗎?
作者: roger0315    時間: 2019-5-12 17:00     標題: 回復 7# jasonmv6124 的帖子

還有甲沒進-乙沒進-甲沒進-乙進?!不知道我這樣想對不對

[ 本帖最後由 roger0315 於 2019-5-12 17:01 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2019-5-12 17:03     標題: 回復 6# jasonmv6124 的帖子

加 1 後再除以 2 的原因如您所言
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-12 17:14     標題: 回復 8# roger0315 的帖子

應該是如此 答案正確
謝謝老師跟鋼琴老師的回答
作者: thepiano    時間: 2019-5-12 18:36     標題: 回復 8# roger0315 的帖子

填充第 11 題
以下兩種情形的機率加起來
(1) 甲第一次沒進,乙第一次也沒進,甲第二次進
(2) 甲第一次沒進,乙第一次也沒進,甲第二次又沒進,乙第二次進
作者: Superconan    時間: 2019-5-12 19:14     標題: 回復 5# bugmens 的帖子

想請教一下 cefepime 老師解這題的想法
他的鯊魚鰭形指的應該是 KIJ 這塊
但是我想請問「108度扇形」和「帳篷形」指的是哪兩塊?
謝謝老師

圖片附件: 填充第 6 題.png (2019-5-12 19:14, 413.72 KB) / 該附件被下載次數 146
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作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-12 19:45     標題: 回復 12# Superconan 的帖子

鯊魚鰭應該是AHB喔
帳篷是AEH
(以上都是順著曲線)
作者: Ellipse    時間: 2019-5-12 19:49

填4

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 19:55 編輯 ]

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作者: DavidGuo    時間: 2019-5-12 19:50

第6題

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作者: DavidGuo    時間: 2019-5-12 21:00     標題: 第4題



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作者: DavidGuo    時間: 2019-5-12 21:03     標題: 第7題



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作者: DavidGuo    時間: 2019-5-12 21:11     標題: 第8題



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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5045&k=5a4cb5364f018d7dd455689bd744fd6e&t=1571141175


作者: DavidGuo    時間: 2019-5-12 21:14     標題: 證明第二題

證明第二題直接看這裡的例題11.1
懶的打了
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/attachments/article/836/11%20mathdata.pdf
作者: thepiano    時間: 2019-5-12 22:09     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充第 7 題
請參考
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=27929#p27929
作者: DavidGuo    時間: 2019-5-12 22:21     標題: 證明第一題



其實此題跟Pi無關,隨便連續寫2020個數字,中間一定有一段是2019的倍數。

圖片附件: Capture.PNG (2019-5-12 22:21, 76 KB) / 該附件被下載次數 195
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5046&k=dc46b8ed2a2d2adb735928af7fe1ffc8&t=1571141175


作者: thepiano    時間: 2019-5-12 22:22     標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充第 10 題
以下度省略
原式 = (tan10)^2 + 1 + (tan70)^2 + 1 + (tan50)^2 + 1
而 (tan10)^2 +  (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9,這是 105 能力競賽,嘉義區複賽試題

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-12 22:30 編輯 ]
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-12 22:43

感謝以上老師回答
作者: Superconan    時間: 2019-5-12 22:55     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

(tan10)^2 +  (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9 這個算式感覺也很不容易呀@@

以下是 105 年高中能力競賽,嘉義區複賽所給的解析,給各位參考



[ 本帖最後由 Superconan 於 2019-5-12 23:29 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5047&k=bd3725ce08a2e1f5b96234dbeadd1bfe&t=1571141175


作者: Ellipse    時間: 2019-5-12 23:05

引用:
原帖由 Superconan 於 2019-5-12 22:55 發表
(tan10)^2 +  (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9 這個算式感覺也很不容易呀@@
引用解法最好註明一下來源

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 23:09 編輯 ]
作者: Superconan    時間: 2019-5-12 23:13     標題: 回復 25# Ellipse 的帖子

不好意思,這是從別人手上拿到的詳解,不知道是誰解的,所以我無法註明來源
我只是想跟網友分享,如果不妥的話,我再刪除
作者: DavidGuo    時間: 2019-5-12 23:21

引用:
原帖由 Superconan 於 2019-5-12 23:13 發表
不好意思,這是從別人手上拿到的詳解,不知道是誰解的,所以我無法註明來源
我只是想跟網友分享,如果不妥的話,我再刪除
Superconan的來源應該是這裡 https://www.cysh.cy.edu.tw/files/15-1001-2330,c629-1.php

但這解法太麻煩,我下面貼一篇。
作者: Ellipse    時間: 2019-5-12 23:22

引用:
原帖由 Superconan 於 2019-5-12 23:13 發表
不好意思,這是從別人手上拿到的詳解,不知道是誰解的,所以我無法註明來源
我只是想跟網友分享,如果不妥的話,我再刪除
這個是105年高中能力競賽,嘉義區複賽所給的解析
註明來源就好了
作者: Superconan    時間: 2019-5-12 23:28     標題: 回復 28# Ellipse 的帖子

原來是這個意思!那我知道了,謝謝橢圓老師!
作者: DavidGuo    時間: 2019-5-12 23:38     標題: 第10題

利用根與系數關係來算
--------------------------------------

--------------------------------------
這種題目通常都可以用這招,若只有三個就找三倍角公式(四個的就找四倍角公式),然後把角度三倍看看值一不一樣,有時可以用餘角、補角去試。
此題為例,cos10可以先化為sin 80,然後三倍角後的sin值相同,就可以用這招。
以thepiano貼的嘉義105年的為例tan50三倍角後差一個負號,但剛好它是平方,所以就改成tan(-50)又剛好。
--------------------------------------

--------------------------------------
可以看出嘉義這題比較難一點。

有人密我說是不是我出的,不是啦,這想法是從ptt看來的,單純搜尋能力而已,來源如下:
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.13 ... ucSjCpiracaVhTJvWDo

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2019-5-12 23:48 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5051&k=43e6c3d06715cef8506e7725bcfc24e4&t=1571141175


作者: Ellipse    時間: 2019-5-12 23:43

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2019-5-12 23:38 發表
利用根與系數關係來算
5050

這種題目通常都可以用這招,若只有三個就找三倍角公式(四個的就找四倍角公式),然後把角度三倍看看值一不一樣,有時可以用餘角、補角去試。
此題為例,cos10可以先化為sin 80,然後三倍角後的sin值相 ...
老師厲害~~又一位高手來造福考生~~
作者: thepiano    時間: 2019-5-12 23:45     標題: 回復 30# DavidGuo 的帖子

您同事出題蠻狠的 ...
作者: Ellipse    時間: 2019-5-12 23:49

這張會寫1/3 以上就很厲害了
作者: BambooLotus    時間: 2019-5-13 00:15

填10
原式\(\displaystyle=\frac{2}{1+\cos20^\circ}+\frac{1}{1-\cos^220^\circ}+\frac{1}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}\)
\(\displaystyle=\frac{12\cos^220^\circ-8\cos^320^\circ+1}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}\)   \(\left(-8\cos^320^\circ+6\cos20^\circ=-1\right)\)
\(\displaystyle=\frac{12\cos^220^\circ-6\cos20^\circ}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}=\frac{6\cos20^\circ-3}{2(1-\cos^220^\circ)\cos20^\circ}=\frac{6\cos20^\circ-3}{2\cos20^\circ-2\cos^320^\circ}\)   \(\displaystyle\left(-2\cos^320^\circ+\frac{3}{2}\cos20^\circ=-\frac{1}{4}\right)\)  其實考試當下看到\(\displaystyle-\frac{1}{4}\)我就已經先填答案是\(12\)了
\(\displaystyle=\frac{6\cos20^\circ-3}{\displaystyle\frac{1}{2}\cos20^\circ-\frac{1}{4}}=12\)
作者: DavidGuo    時間: 2019-5-13 00:33

引用:
原帖由 thepiano 於 2019-5-12 23:45 發表
您同事出題蠻狠的 ...
呵呵,
其實聯招的題目會由兩位教授出題,題目有易有難,
然後幾位資深高中老師入圍選題,選題也蠻關鍵的。
作者: manifold5566    時間: 2019-5-13 00:52

證明2

圖片附件: 60007854_2247536235339711_4423394278508593152_n.jpg (2019-5-13 00:52, 180.96 KB) / 該附件被下載次數 135
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5052&k=cea53141d754c8ce0e89b502595477ba&t=1571141175


作者: yi4012    時間: 2019-5-13 10:12     標題: 回復 16# DavidGuo 的帖子

其實另一種直觀想法
abc最大值發生在a=b=c
所以x=y=z=pi/4時,等式成立,所以最大值為根號2/4
我是利用柯西不等式和三角恆等式(sin^2 x+cos^2 x=1)
作者: Ellipse    時間: 2019-5-13 10:41

引用:
原帖由 DavidGuo 於 2019-5-13 00:33 發表
呵呵,
其實聯招的題目會由兩位教授出題,題目有易有難,
然後幾位資深高中老師入圍選題,選題也蠻關鍵的。
您們可以統計看看那些難題,在短短80分鐘內,464位考生有幾個做的出來?
(平均一題不到6分內就要解出來)
作者: yi4012    時間: 2019-5-13 11:05     標題: 回復 30# DavidGuo 的帖子

sin240度是-根號3/2喔,這次是剛好有平方才一樣的。
sin60度=sin120度=根號3/2
稍微有錯誤,請更正。
作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-13 12:37

請教第5題
我的算法是2019個7跟2017個7會同餘
這樣算下來會直接跟1個7同餘
所以我答案算7

不知道這樣哪裡算錯?
作者: DavidGuo    時間: 2019-5-13 12:55

引用:
原帖由 Ellipse 於 2019-5-13 10:41 發表
您們可以統計看看那些難題,在短短80分鐘內,464位考生有幾個做的出來?
(平均一題不到6分內就要解出來)
這不用統計,要滿分一定很難,我現場做應該只有60而已。
前面的答案也是回來後慢慢想,跟別的老師討論,化簡之後才打的。
現場不可能想的到。

但這不是學生在學校的考試,沒有要全做出來。
把題目流覽過,選有把握的寫,填充寫出個五題應該就可進試教了。
進了試教的時候,不看筆試分數,大家又重新開始。

我以前開會時,曾跟某獨招學校出題的老師argue同樣的問題,
他是給我這樣的講法,我是覺得還蠻合理的。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2019-5-13 13:17 編輯 ]
作者: DavidGuo    時間: 2019-5-13 13:00

引用:
原帖由 jasonmv6124 於 2019-5-13 12:37 發表
請教第5題
我的算法是2019個7跟2017個7會同餘
這樣算下來會直接跟1個7同餘
所以我答案算7
不知道這樣哪裡算錯?


圖片附件: Capture.PNG (2019-5-13 13:00, 25.21 KB) / 該附件被下載次數 168
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5054&k=a26e1f3dead95fa1d853b98323982a2d&t=1571141175


作者: jasonmv6124    時間: 2019-5-13 20:33     標題: 回復 42# DavidGuo 的帖子

請問是次方總共2019個7
還是包含下面的7總共2019個呢?
作者: DavidGuo    時間: 2019-5-13 22:29

引用:
原帖由 jasonmv6124 於 2019-5-13 20:33 發表
請問是次方總共2019個7
還是包含下面的7總共2019個呢?
題目看起來是包含下面的7總共2019個,
有沒有包含答案都是43。
作者: tuhunger    時間: 2019-5-13 22:57     標題: 計算2 (另外證法)

參考看看

圖片附件: 219321.jpg (2019-5-13 22:57, 188.75 KB) / 該附件被下載次數 99
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5057&k=1febae0f342fa776894fa46d217c47a8&t=1571141175


作者: tuhunger    時間: 2019-5-14 01:39     標題: 填充8 (幾何解法)

參考看看

圖片附件: 219426.jpg (2019-5-14 01:39, 94.23 KB) / 該附件被下載次數 105
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5060&k=ae396ca9119f92ca7cd38302982b187e&t=1571141175


作者: Jane    時間: 2019-5-14 15:07     標題: 填充 5

不曉得自己的算法哪裡有錯
麻煩各位前輩幫我糾錯,謝謝大家


圖片附件: D5A4574A-2D8A-4AD3-A01F-CF414A4BD12D.jpeg (2019-5-14 15:07, 369.29 KB) / 該附件被下載次數 151
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5061&k=0a1680e8aa224c8900acfb5433fdcd95&t=1571141175


作者: tuhunger    時間: 2019-5-14 16:22     標題: 填充2

依照abcd...順序即可推得原式為112x89=9968

圖片附件: 未命名.png (2019-5-14 16:22, 3.01 KB) / 該附件被下載次數 99
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5062&k=fc801268fc52b61b8fe86022d80bd24d&t=1571141175


作者: superlori    時間: 2019-5-15 14:45     標題: 填充10

學校老師問的,提供我自己的解法供參考

圖片附件: C669843A-0A47-4DB3-AC4E-52B0E7E1A9F0.jpeg (2019-5-15 14:45, 1.65 MB) / 該附件被下載次數 95
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5065&k=2bc084bf929ae8b1fddae86ff3f54c20&t=1571141175


作者: yi4012    時間: 2019-5-15 15:10     標題: 回復 47# Jane 的帖子

7^7=>43
但是7^7^7=7^823543,並非43^7
7=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401
我也犯了同樣的錯誤
請查收
所以如前者所說,是跟7除4餘3有關,跟7的數量無關
除了7之外,7^7^7^...........^7一律都是除100同餘43

因為不會打同於符號,所以直接用中文
作者: yi4012    時間: 2019-5-15 15:13     標題: 回復 48# tuhunger 的帖子

其實看到第一次乘積是4位,就可以知道乘數末位>8,只會是9
而結果是4位數,9999/89=112.........31
又1000/9==111........1
所以被乘數為112,答案可知是112*89=9968
作者: shia41059    時間: 2019-5-16 16:33     標題: 回復 46# tuhunger 的帖子

為什麼AB向量=(-t,-t,-2t/3),不能是(1,2,1)等使內積=0的向量

[ 本帖最後由 shia41059 於 2019-5-20 17:06 編輯 ]
作者: Uukuokuo    時間: 2019-5-16 17:48     標題: 回復 17# DavidGuo 的帖子

請問abc怎麼解出
作者: weni    時間: 2019-5-16 23:50     標題: 填充2

雜亂又冗長作法…希望你看得懂…



圖片附件: IMG_4957.JPG (2019-5-16 23:50, 974.24 KB) / 該附件被下載次數 170
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5068&k=f60a8c34cfafbc9ffc3fd9fb4ad6a2c5&t=1571141175


作者: Jane    時間: 2019-5-17 10:41     標題: 回復 50# yi4012 的帖子

我瞭解了,謝謝y大
作者: yi4012    時間: 2019-5-17 16:11     標題: 回復 53# Uukuokuo 的帖子

(ac)^2/(a^2+c^2)=20
利用倒數得到:
(a^2+c^2)/(ac)^2=1/20
=1/c^2+1/a^2
其他兩式以此作法推得,令x=1/a^2,y=1/b^2,z=1/c^2
x+z=1/20
y+z=13/900
x+y=2/45
求出x=1/25,y=1/225,z=1/100
所以a=5,b=15,c=10
順序無所謂,所以可能跟前者有點出入,見諒
作者: tuhunger    時間: 2019-5-17 21:56

引用:
原帖由 shia41059 於 2019-5-16 16:33 發表
為什麼AB向量=(-t,-t,-2/3t),不能是(1,2,1)等使內積=0的向量
圓錐與平面的截痕,
如果平面平切是圓,  n向量=(0,0,1)
題目為斜切是橢圓, n向量=(1,1,-3)  ,其實z向量不重要,

會發現x,y,向量變成(1,1), 所以平面會往反方向翹起來
所以我假設(-t,-t,  z) , t為正
又(-t,-t,  z)與n向量=(1,1,-3)垂直, 可知z=2t/3
作者: shia41059    時間: 2019-5-20 17:12     標題: 回復 57# tuhunger 的帖子

原來如此,謝謝
作者: anyway13    時間: 2019-6-1 17:19     標題: 證明第一題

請問版上老師,關於證明第一題,感謝21樓 DavidGuo老師提供作法

只是在建造a1,a2,a3...的同時是怎麼樣會保證一定會有兩個除以2019得到相同的餘數呢?

照老師建造的方式,題目若是改成證明圓週率
作者: anyway13    時間: 2019-6-1 17:20     標題: 證明第一題

請問版上老師,關於證明第一題,感謝21樓 DavidGuo老師提供作法

只是在建造a1,a2,a3...的同時是怎麼樣會保證一定會有兩個除以2019得到相同的餘數呢?

照老師建造的方式,題目若是改成證明圓週率
作者: anyway13    時間: 2019-6-1 17:21     標題: 證明第一題 (後面字打不出用夾檔方式提問)

請問在附件  謝謝

[ 本帖最後由 anyway13 於 2019-6-1 17:29 編輯 ]

附件: 證明第一題.pdf (2019-6-1 17:29, 356.66 KB) / 該附件被下載次數 161
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5108&k=71fedd0c928b888380ffc2a94e7cf043&t=1571141175
作者: lyingheart    時間: 2019-6-1 19:29     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

今年(107學年度)北市賽填充第五題是這樣的
\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2{20^o}}+ \frac{1}{\sin^2{40^o}}+ \frac{1}{\sin^2{80^o}} \)

以下是我的作法,從三角學辭典裡面學到的。

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-6-1 19:30 編輯 ]

圖片附件: 107北市2-5-1.png (2019-6-1 19:30, 17.67 KB) / 該附件被下載次數 95
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5109&k=49c69d72a957a923b889c19d18f96402&t=1571141175



圖片附件: 107北市2-5-2.png (2019-6-1 19:30, 11.88 KB) / 該附件被下載次數 97
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5110&k=8fe5d4f0fce8639142723c6569a81694&t=1571141175


作者: zanlinphon    時間: 2019-6-1 21:30

餘數只有2019種,找2020個數字至少有兩個會重複
作者: Lopez    時間: 2019-6-2 06:34     標題: 回復 59# anyway13 的帖子

證明第一題   
我越俎代庖,說明一下細節...

Claim : a1 , a2 , ..... , a2020 這2020個數中,必有兩數除以2019的餘數相同
pf :
令 B = { a1 , a2 , ..... , a2019 }
(1) 若 B 中有兩個元素除以2019的餘數相同,則得證.

(2) 若 B 中元素除以2019的餘數皆不同,
表示 B 中元素除以2019 餘0 , 餘1 , 餘2 , ..... , 餘2018 者, 各有一個.
設 a2020 除以2019的餘數為 n , 其中 0 ≤ n ≤ 2018
則 餘n 共有兩個,得證.
作者: anyway13    時間: 2019-6-2 14:20     標題: 謝謝回覆證明一的老師們

謝謝你們。終於搞懂了。




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