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標題: 2015AMC10A,AMC12A,AMC12B,AIME(持續徵求AMC10B題目照片檔) [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2015-2-5 23:15 標題: 2015AMC10A,AMC12A,AMC12B,AIME(持續徵求AMC10B題目照片檔)

歷屆試題
2006AIME，https://math.pro/db/thread-1968-1-1.html
2011AMC12&AIME，https://math.pro/db/thread-1080-1-2.html
2012AMC10，https://math.pro/db/thread-1291-1-10.html
2012AMC12，https://math.pro/db/thread-1290-1-10.html
2012AIME，https://math.pro/db/thread-1308-1-8.html
2013AMC12A，AMC10B，AMC12B，AIME，https://math.pro/db/thread-1532-1-1.html
2014AMC10A,AMC12A,AIME，https://math.pro/db/thread-1794-1-1.html

104.2.7補充
2015AMC10A第二十題送分
On the 2015 AMC 10 A, Number 20, the problem should have included the additional condition that the side lengths are positive integers. Without this condition, all 5 choices are possible for A + P (if the sides of the rectangle are 2 and 24.5, then A = 49 and P = 53, giving A+P = 102). Since the problem was incorrectly posed, all answers, including blank or no answer, will be counted correct.
http://www.99cef.org.tw/news_02.php?id=312

104.3.4
新增AMC12B題目

104.3.22
新增AIME題目

英文版題目
2015AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... _2015_aime_problems

105.3.6
AIME第14題修正
底面圓周上的兩點使得\(AB\)為120
　　　　　　　　　　　　 120°

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2675&k=e05d0683bf758b435deb57025658d296&t=1732254218

作者: 俞克斌 時間: 2015-2-5 23:49 標題: 感謝提供題目

附上AMC10詳解共襄盛舉，敬請釜正

附件: 第16屆AMC10-2015試題+詳解（俞克斌老師提供）.pdf (2015-2-5 23:49, 314.98 KB) / 該附件被下載次數 34171
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2676&k=6b48fc06b398eb0f0053746d9895ba72&t=1732254218

作者: 俞克斌 時間: 2015-2-8 19:06 標題: 2015AMC12詳解

謝謝版主熱心提供題目，
個人不昧固陋，再回饋一份詳解，
敬請指正

附件: 2015第66屆AMC12A試題+詳解（俞克斌老師提供2015.02.08-1901）.pdf (2015-2-8 19:06, 405.46 KB) / 該附件被下載次數 32727
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2677&k=ada2345b2d6c66807ce9397a7ccb7467&t=1732254218

作者: 俞克斌 時間: 2015-3-4 23:17 標題: 2015第66屆AMC12B試題+詳解（俞克斌老師提供）

感謝版主費心收集試題
為表謝意，謹相應提出個人詳解
敬請指正

附件: 2015第66屆AMC12B試題+詳解（俞克斌老師提供）.pdf (2015-3-4 23:17, 382.83 KB) / 該附件被下載次數 31284
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作者: kirro 時間: 2015-3-26 14:31 標題: 2015 aime 第12題求詳解謝謝

2015 aime 第12題求詳解 (我算的數據感覺無解,網路公布答案135 ) 謝謝

網站公布答案為135

12.三角形ABC的各邊邊長均為正整數，且AB=AC邊。設角B 與角C 的分角線交於 I 點，且 BI =10，試求三角形ABC最小可能的周長。 ANS:135

[ 本帖最後由 kirro 於 2015-3-26 02:35 PM 編輯 ]

作者: son249 時間: 2015-3-26 16:35 標題: 難

可否順便解第4，8，11，13，14此五題

作者: 俞克斌 時間: 2015-3-26 17:03 標題: 2015AIME數學第12題試題+詳解（俞克斌老師提供）

12.
三角形\(ABC\)的各邊邊長均為正整數，且\(\overline{AB}=\overline{AC}\)。設\(∠B\)與\(∠C\)的分角線交於\(I\)點，且\( \overline{BI}=10 \)，試求\( \Delta ABC \)最小可能的周長。

個人淺見
敬請參考

附件: 2015AIME數學第12題試題+詳解（俞克斌老師提供）.pdf (2015-3-26 17:03, 39.33 KB) / 該附件被下載次數 26960
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2711&k=ab474280023c084ab1b093625c3f0ed5&t=1732254218

作者: 俞克斌 時間: 2015-3-26 17:11 標題: 2015AIME數學第4、5、11題試題+詳解（俞克斌老師提供）

4.
小華的抽屜裡有5雙襪子，每雙一種顏色，五雙顏色都不相同。週一小華在抽屜的10隻襪子中隨意的取了兩隻，週二小華在剩下的8隻襪子中再隨意的取了2隻，且週三小華又在剩下的6隻襪子中隨意的取了2隻。若週三所選的2隻襪子是第一次可以配成一雙，其機率為\( \displaystyle \frac{m}{n} \)，其中\(m\)與\(n\)為互質的正整數。試求\(m+n\)之值。

5.
點\(B\)在\(\overline{AC}\)上使得\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=1\)。點\(D\)與點\(E\)在直線\(\overline{AC}\)的同側使得\( \Delta ABD \)與\( \Delta BCE \)均為正三角形。若\(M\)為\(\overline{AE}\)的中點，\(N\)為\(\overline{CD}\)的中點，\( \Delta BMN \)的面積為\(x\)，且\( \displaystyle x^2=\frac{m}{n} \)，其中\( m,n \)為互質的正整數，試求\(m+n\)之值。

11.
考慮集合\( \{\;1,2,3,\ldots,2015 \}\; \)所有恰含1000個元素的子集合，從每一個子集合取出最小的元素，已知所有這些最小元素的算術平均數為\( \displaystyle \frac{p}{q} \)，其中\(p,q\)為互質的正整數。試求\(p+q\)之值。

敬請指正
謝謝

附件: 2015AIME數學第4、5、11題試題+詳解（俞克斌老師提供）.pdf (2015-3-26 17:11, 63.71 KB) / 該附件被下載次數 28455
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2712&k=ab67f3bafed771e81917abc05f194a36&t=1732254218

作者: kirro 時間: 2015-3-26 20:39 標題: 2015 AIME 第12題求詳解

美國邀請賽 2015 第12題 (我算的數據感覺無解,網路公布答案135)
求詳解謝謝

12. 三角形ABC的各邊邊長均為正整數，且AB=AC邊。設角B 與角C 的分角線交於 I 點，

且 BI =10，試求三角形ABC最小可能的周長。 ANS:135

作者: bch0722b 時間: 2015-3-26 22:12

用用張角定理試試~(註:與黃巾賊首領並無直接關係)
(註2:我解出來發現AB=6時才有解，但BI卻等於10，覺得怪怪的~)

[ 本帖最後由 bch0722b 於 2015-3-26 10:51 PM 編輯 ]

作者: kirro 時間: 2015-3-26 23:49 標題: 回復 2# bch0722b 的帖子

AB=6 這答案不對並且網路公佈答案是135

作者: cshuang 時間: 2015-3-27 10:44

沒有寫得很完整，但應該可供參考

圖片附件: IMG_2674.JPG (2015-3-27 14:20, 739.96 KB) / 該附件被下載次數 4752
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2713&k=0d1d8bfc09105f2cbd7ca14954199741&t=1732254218

作者: 王重鈞 時間: 2015-3-27 12:28

請問有沒有各年份Aime的題目跟解答可以提供給我感謝

作者: tacokao 時間: 2015-3-27 12:58 標題: 2015AIME 中文題目

發現幾個錯字，已修正，請大家參閱~~

附件: 2015 AIME中文題目檔.rar (2015-3-27 12:58, 136.85 KB) / 該附件被下載次數 6482
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2715&k=b2584483cbf6bf5da2f6369f8245e296&t=1732254218

作者: tacokao 時間: 2015-3-27 18:17

想請教2015 AIME第6、13題~

作者: thepiano 時間: 2015-3-27 21:11 標題: 回復 15# tacokao 的帖子

第 6 題
如圖所示，點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)及\(E\)為某圓之劣弧(小於半圓的圓弧)上等距離的點，而點\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)及\(A\)為以點\(C\)為圓心的第二個圓之劣弧上等距離的點。已知\(∠ABD\)的度數比\(∠AHG\)的度數大\(33^{\circ}\)，試求\(∠BAG\)的度數。
[解答]
令弧 ED = 弧 DC = 弧 CB = 弧 BA = x，弧 EF = 弧 FG = 弧 GH = 弧 HI = 弧 IA = y
則 ∠ABD = (360 - 3x)/2 = 180 - (3/2)x，∠AHG = 180 - (3/2)y
∠ACE = (360 - 4x)/2 = 5y

180 - (3/2)x = 180 - (3/2)y + 33
(360 - 4x)/2 = 5y
x = 10，y = 32

∠BAG = ∠BAE + ∠EAG = 15 + 32 = 47 度

作者: tacokao 時間: 2015-3-27 22:18 標題: 回復 16# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師~

作者: kirro 時間: 2015-3-28 00:39 標題: 回復 12# cshuang 的帖子

謝謝 cshuang 厲害

作者: son249 時間: 2015-3-28 11:22 標題: 快炸掉的人

各位高手,8,13,14這三題我毫無頭緒,請幫忙解,謝謝!

作者: thepiano 時間: 2015-3-29 09:40

第8題
令\(S\)表示所有正整數有序三元組\( (a_1,a_2,a_3) \)所成的集合，其中\(1 \le a_1,a_2,a_3 \le 10\)。在\(S\)中的每一個有序三元組生成一個數列滿足：對於\( n\ge 4\)，\( a_n=a_{n-1}\cdot |\; a_{n-2}-a_{n-3} |\; \)。試求存在某個\(n\)使得\(a_n=0\)的所有這種數列的個數。

第13題
對每一個整數\(n \ge 2\)，令\(A(n)\)表示坐標平面上滿足\(1 \le x<n\)，\( 0\le y\le x[\; \sqrt{x} ]\; \)的區域面積，其中\( [\; \sqrt{x} ]\; \)是小於或等於\( \sqrt{x} \)的最大整數。試求在\( 2 \le n \le 1000 \)中使得\(A(n)\)為整數的\(n\)之個數。

第14題
如圖，一塊木製半徑為6、高度為8的圓柱體，表面被漆成藍色。點\(A\)、\(B\)為圓柱的底面圓周上的兩點使得弧\(AB\)為\(120^{\circ}\)。將此圓柱體切成兩塊，其截面通過圓柱的中心及\(A\)、\(B\)兩點，且此截面是一個沒有顏色的平面。設這個截面的面積為\( a \cdot \pi+b \sqrt{c} \)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)均為整數，且\(c\)不能被任何質數的平方所整除。試求\( a+b+c \)之值。

第8、13、14題
請參考附件
小弟也要請教各位老師，第13題有無妙解，感謝

附件: 20150329.pdf (2015-3-29 09:40, 190.99 KB) / 該附件被下載次數 6821
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2719&k=9737969ad159f4e9528d36b9f7fd8a55&t=1732254218

作者: son249 時間: 2015-3-29 10:11

感謝鋼琴老師，真的太強了！尤其是第14題。只能拍案叫絕

作者: cefepime 時間: 2015-3-29 19:21

對每一個整數\(n \ge 2\)，令\(A(n)\)表示坐標平面上滿足\(1 \le x<n\)，\( 0\le y\le x[\; \sqrt{x} ]\; \)的區域面積，其中\( [\; \sqrt{x} ]\; \)是小於或等於\( \sqrt{x} \)的最大整數。試求在\( 2 \le n \le 1000 \)中使得\(A(n)\)為整數的\(n\)之個數。

第13題是否可以這樣做呢? 敬請各位指導。

先把區間 [1,1000] 用各完全平方數分割: [1,2²], (2²,3²], ..., (31²,1000]，各區間包含的區域分別是 y 上界為斜率 = 1, 2, ..., 31 之線段的梯形。
明顯地，每個區域的"寬"都是奇數。

考慮 n 由 2 依序增大的面積變化: 在上述斜率為奇數的區間內，n 每增加 1，面積增加 (整數 + 1/2)；而在上述斜率為偶數的區間內，n 每增加 1，面積增加整數。

也就是說，在"奇數區間"內， n 每增加 2，就遇到一個"整數面積"；而在"偶數區間"內，是否得"整數面積"，取決於"本區間開始時是否已累積整數面積"(若是，則整個區間的 n 皆是；若否，則整個區間的 n 皆否): 故該"偶數區間"得"整數面積"的充要條件為"該偶數前有偶數個奇數"(因為每個區域的"寬"都是奇數)，也就是型如 4k 的偶數方可。

綜上，區間 ((4k)²,(4k+1)²] (1 ≤ k ≤7) 中的 n 皆合所求；而諸"奇數區間" 的 n 可合併計算 (穿插的"偶數區間"不影響其整數性): 由 1 (不含) 起算，每 2 個 "奇數區間" 的 n 恰有 1 個合所求。

因此，所求

=∑(1 ≤ k ≤7) [(4k+1)² - (4k)² ] + (1/2)*(1000 - 31² + ∑(1 ≤ k ≤15) [(2k)² - (2k-1)² ])

= 483

作者: thepiano 時間: 2015-3-29 20:59 標題: 回復 22# cefepime 的帖子

cefepime 兄每次出手都是妙解，小弟佩服之至

作者: bugmens 時間: 2016-3-6 04:46

2015AIME第14題
如圖，一塊木製半徑為6、高度為8的圓柱體，表面被漆成藍色。點\(A\)、\(B\)為圓柱的底面圓周上的兩點使得\(AB\)為\(120^{\circ}\)。將此圓柱體切成兩塊，其截面通過圓柱的中心及\(A\)、\(B\)兩點，且此截面是一個沒有顏色的平面。設這個截面的面積為\(a \cdot \pi+b \sqrt{c}\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)均為整數，且\(c\)不能被任何質數的平方所整除。試求\(a+b+c\)之值。

圖片附件: 截面面積.gif (2016-3-6 04:54, 83.07 KB) / 該附件被下載次數 5752
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3222&k=3d8a4c9d7ecbb0c8cc82802341a6b5d7&t=1732254218

附件: 截面面積SketchUp檔.zip (2016-3-6 04:54, 59.52 KB) / 該附件被下載次數 7829
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3223&k=ada49a331f665540c7f15cbfe1b7da3c&t=1732254218

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