Board logo

標題: 2015AMC10A,AMC12A,AMC12B,AIME(持續徵求AMC10B題目照片檔) [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2015-2-5 23:15     標題: 2015AMC10A,AMC12A,AMC12B,AIME(持續徵求AMC10B題目照片檔)

歷屆試題
2006AIME,https://math.pro/db/thread-1968-1-1.html
2011AMC12&AIME,https://math.pro/db/thread-1080-1-2.html
2012AMC10,https://math.pro/db/thread-1291-1-10.html
2012AMC12,https://math.pro/db/thread-1290-1-10.html
2012AIME,https://math.pro/db/thread-1308-1-8.html
2013AMC12A,AMC10B,AMC12B,AIME,https://math.pro/db/thread-1532-1-1.html
2014AMC10A,AMC12A,AIME,https://math.pro/db/thread-1794-1-1.html

104.2.7補充
2015AMC10A第二十題送分
On the 2015 AMC 10 A, Number 20, the problem should have included the additional condition that the side lengths are positive integers. Without this condition, all 5 choices are possible for A + P (if the sides of the rectangle are 2 and 24.5, then A = 49 and P = 53, giving A+P = 102). Since the problem was incorrectly posed, all answers, including blank or no answer, will be counted correct.
http://www.99cef.org.tw/news_02.php?id=312

104.3.4
新增AMC12B題目

104.3.22
新增AIME題目

英文版題目
2015AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... _2015_aime_problems

105.3.6
AIME第14題修正
底面圓周上的兩點使得\(AB\)為120
              120°

附件: 2015AMC10A,AMC12A,AMC12B,AIME的word檔.zip (2016-3-6 04:40, 166.56 KB) / 該附件被下載次數 28888
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2675&k=0ef397dcc407f52bc8571f08d8a6f11d&t=1711687009
作者: 俞克斌    時間: 2015-2-5 23:49     標題: 感謝提供題目

附上AMC10詳解共襄盛舉,敬請釜正

附件: 第16屆AMC10-2015試題+詳解(俞克斌老師提供).pdf (2015-2-5 23:49, 314.98 KB) / 該附件被下載次數 30115
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2676&k=de01b7a0fc4503946b28d440e9c6f42d&t=1711687009
作者: 俞克斌    時間: 2015-2-8 19:06     標題: 2015AMC12詳解

謝謝版主熱心提供題目,
個人不昧固陋,再回饋一份詳解,
敬請指正

附件: 2015第66屆AMC12A試題+詳解(俞克斌老師提供2015.02.08-1901).pdf (2015-2-8 19:06, 405.46 KB) / 該附件被下載次數 28797
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2677&k=3b37a56d19bba76145949c8ab88463c1&t=1711687009
作者: 俞克斌    時間: 2015-3-4 23:17     標題: 2015第66屆AMC12B試題+詳解(俞克斌老師提供)

感謝版主費心收集試題
為表謝意,謹相應提出個人詳解
敬請指正

附件: 2015第66屆AMC12B試題+詳解(俞克斌老師提供).pdf (2015-3-4 23:17, 382.83 KB) / 該附件被下載次數 27140
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2686&k=71aa2d51fb6b52e5ca0c0f9acc34c098&t=1711687009
作者: kirro    時間: 2015-3-26 14:31     標題: 2015 aime 第12題 求詳解 謝謝

2015 aime 第12題  求詳解  (我算的數據感覺無解,網路公布答案135 )      謝謝

網站公布答案為135

12.三角形ABC的各邊邊長均為正整數,且AB=AC邊 。設角B 與角C 的分角線交於 I 點,且 BI =10,試求 三角形ABC最小可能的周長。               ANS:135

[ 本帖最後由 kirro 於 2015-3-26 02:35 PM 編輯 ]
作者: son249    時間: 2015-3-26 16:35     標題:

可否順便解第4,8,11,13,14此五題
作者: 俞克斌    時間: 2015-3-26 17:03     標題: 2015AIME數學第12題試題+詳解(俞克斌老師提供)

12.
三角形\(ABC\)的各邊邊長均為正整數,且\(\overline{AB}=\overline{AC}\)。設\(∠B\)與\(∠C\)的分角線交於\(I\)點,且\( \overline{BI}=10 \),試求\( \Delta ABC \)最小可能的周長。

個人淺見
敬請參考

附件: 2015AIME數學第12題試題+詳解(俞克斌老師提供).pdf (2015-3-26 17:03, 39.33 KB) / 該附件被下載次數 22815
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2711&k=3aaa52b3f2cc4a539c5fc49fadd11f25&t=1711687009
作者: 俞克斌    時間: 2015-3-26 17:11     標題: 2015AIME數學第4、5、11題試題+詳解(俞克斌老師提供)

4.
小華的抽屜裡有5雙襪子,每雙一種顏色,五雙顏色都不相同。週一小華在抽屜的10隻襪子中隨意的取了兩隻,週二小華在剩下的8隻襪子中再隨意的取了2隻,且週三小華又在剩下的6隻襪子中隨意的取了2隻。若週三所選的2隻襪子是第一次可以配成一雙,其機率為\( \displaystyle \frac{m}{n} \),其中\(m\)與\(n\)為互質的正整數。試求\(m+n\)之值。

5.
點\(B\)在\(\overline{AC}\)上使得\(\overline{AB}=4\),\(\overline{BC}=1\)。點\(D\)與點\(E\)在直線\(\overline{AC}\)的同側使得\( \Delta ABD \)與\( \Delta BCE \)均為正三角形。若\(M\)為\(\overline{AE}\)的中點,\(N\)為\(\overline{CD}\)的中點,\( \Delta BMN \)的面積為\(x\),且\( \displaystyle x^2=\frac{m}{n} \),其中\( m,n \)為互質的正整數,試求\(m+n\)之值。

11.
考慮集合\( \{\;1,2,3,\ldots,2015 \}\; \)所有恰含1000個元素的子集合,從每一個子集合取出最小的元素,已知所有這些最小元素的算術平均數為\( \displaystyle \frac{p}{q} \),其中\(p,q\)為互質的正整數。試求\(p+q\)之值。

敬請指正
謝謝

附件: 2015AIME數學第4、5、11題試題+詳解(俞克斌老師提供).pdf (2015-3-26 17:11, 63.71 KB) / 該附件被下載次數 24994
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2712&k=6bfa6f7234765257f118e5a39f444365&t=1711687009
作者: kirro    時間: 2015-3-26 20:39     標題: 2015 AIME 第12題求詳解

美國邀請賽 2015 第12題 (我算的數據感覺無解,網路公布答案135)
求詳解 謝謝


12.   三角形ABC的各邊邊長均為正整數,且AB=AC邊 。設角B 與角C 的分角線交於 I 點,
      
         且 BI =10,試求 三角形ABC最小可能的周長。                                       ANS:135
作者: bch0722b    時間: 2015-3-26 22:12

用用張角定理試試~(註:與黃巾賊首領並無直接關係)
(註2:我解出來發現AB=6時才有解,但BI卻等於10,覺得怪怪的~)

[ 本帖最後由 bch0722b 於 2015-3-26 10:51 PM 編輯 ]
作者: kirro    時間: 2015-3-26 23:49     標題: 回復 2# bch0722b 的帖子

AB=6   這答案不對  並且網路公佈 答案是135
作者: cshuang    時間: 2015-3-27 10:44

沒有寫得很完整,但應該可供參考

圖片附件: IMG_2674.JPG (2015-3-27 14:20, 739.96 KB) / 該附件被下載次數 4270
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2713&k=5e58bb7225dea225e62d436e1d48ba28&t=1711687009


作者: 王重鈞    時間: 2015-3-27 12:28

請問有沒有各年份Aime的題目跟解答可以提供給我感謝
作者: tacokao    時間: 2015-3-27 12:58     標題: 2015AIME 中文題目

發現幾個錯字,已修正,請大家參閱~~

附件: 2015 AIME中文題目檔.rar (2015-3-27 12:58, 136.85 KB) / 該附件被下載次數 5538
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2715&k=d4b0e6230f8d2856b621bd6ce47960b3&t=1711687009
作者: tacokao    時間: 2015-3-27 18:17

想請教2015 AIME第6、13題~
作者: thepiano    時間: 2015-3-27 21:11     標題: 回復 15# tacokao 的帖子

第 6 題
如圖所示,點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)及\(E\)為某圓之劣弧(小於半圓的圓弧)上等距離的點,而點\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)及\(A\)為以點\(C\)為圓心的第二個圓之劣弧上等距離的點。已知\(∠ABD\)的度數比\(∠AHG\)的度數大\(33^{\circ}\),試求\(∠BAG\)的度數。
[解答]
令 弧 ED = 弧 DC = 弧 CB = 弧 BA = x,弧 EF = 弧 FG = 弧 GH = 弧 HI = 弧 IA = y
則 ∠ABD = (360 - 3x)/2 = 180 - (3/2)x,∠AHG = 180 - (3/2)y
∠ACE = (360 - 4x)/2 = 5y

180 - (3/2)x = 180 - (3/2)y + 33
(360 - 4x)/2 = 5y
x = 10,y = 32

∠BAG = ∠BAE + ∠EAG = 15 + 32 = 47 度
作者: tacokao    時間: 2015-3-27 22:18     標題: 回復 16# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師~
作者: kirro    時間: 2015-3-28 00:39     標題: 回復 12# cshuang 的帖子

謝謝  cshuang  厲害
作者: son249    時間: 2015-3-28 11:22     標題: 快炸掉的人

各位高手,8,13,14這三題我毫無頭緒,請幫忙解,謝謝!
作者: thepiano    時間: 2015-3-29 09:40

第8題
令\(S\)表示所有正整數有序三元組\( (a_1,a_2,a_3) \)所成的集合,其中\(1 \le a_1,a_2,a_3 \le 10\)。在\(S\)中的每一個有序三元組生成一個數列滿足:對於\( n\ge 4\),\( a_n=a_{n-1}\cdot |\; a_{n-2}-a_{n-3} |\; \)。試求存在某個\(n\)使得\(a_n=0\)的所有這種數列的個數。

第13題
對每一個整數\(n \ge 2\),令\(A(n)\)表示坐標平面上滿足\(1 \le x<n\),\( 0\le y\le x[\; \sqrt{x} ]\; \)的區域面積,其中\( [\; \sqrt{x} ]\; \)是小於或等於\( \sqrt{x} \)的最大整數。試求在\( 2 \le n \le 1000 \)中使得\(A(n)\)為整數的\(n\)之個數。

第14題
如圖,一塊木製半徑為6、高度為8的圓柱體,表面被漆成藍色。點\(A\)、\(B\)為圓柱的底面圓周上的兩點使得弧\(AB\)為\(120^{\circ}\)。將此圓柱體切成兩塊,其截面通過圓柱的中心及\(A\)、\(B\)兩點,且此截面是一個沒有顏色的平面。設這個截面的面積為\( a \cdot \pi+b \sqrt{c} \),其中\(a\)、\(b\)、\(c\)均為整數,且\(c\)不能被任何質數的平方所整除。試求\( a+b+c \)之值。

第8、13、14題
請參考附件
小弟也要請教各位老師,第13題有無妙解,感謝

附件: 20150329.pdf (2015-3-29 09:40, 190.99 KB) / 該附件被下載次數 5933
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2719&k=a734238311b51c136c5860315a5ddfe6&t=1711687009
作者: son249    時間: 2015-3-29 10:11

感謝鋼琴老師,真的太強了!尤其是第14題。只能拍案叫絕
作者: cefepime    時間: 2015-3-29 19:21

對每一個整數\(n \ge 2\),令\(A(n)\)表示坐標平面上滿足\(1 \le x<n\),\( 0\le y\le x[\; \sqrt{x} ]\; \)的區域面積,其中\( [\; \sqrt{x} ]\; \)是小於或等於\( \sqrt{x} \)的最大整數。試求在\( 2 \le n \le 1000 \)中使得\(A(n)\)為整數的\(n\)之個數。

第13題是否可以這樣做呢? 敬請各位指導。

先把區間 [1,1000] 用各完全平方數分割: [1,2²], (2²,3²], ..., (31²,1000],各區間包含的區域分別是  y 上界為斜率 = 1, 2, ..., 31 之線段的梯形。
明顯地,每個區域的"寬"都是奇數。

考慮 n 由 2 依序增大的面積變化: 在上述斜率為奇數的區間內,n 每增加 1,面積增加 (整數 + 1/2);而在上述斜率為偶數的區間內,n 每增加 1,面積增加整數。

也就是說,在"奇數區間"內, n 每增加 2,就遇到一個"整數面積";而在"偶數區間"內, 是否得"整數面積",取決於"本區間開始時是否已累積整數面積"(若是,則整個區間的 n 皆是;若否,則整個區間的 n 皆否): 故該"偶數區間"得"整數面積"的充要條件為"該偶數前有偶數個奇數"(因為每個區域的"寬"都是奇數),也就是型如 4k 的偶數方可。

綜上, 區間 ((4k)²,(4k+1)²] (1 ≤ k ≤7) 中的 n 皆合所求;而諸"奇數區間" 的 n 可合併計算 (穿插的"偶數區間"不影響其整數性): 由 1 (不含) 起算,每 2 個 "奇數區間" 的 n 恰有 1 個合所求。

因此, 所求

=∑(1 ≤ k ≤7) [(4k+1)² - (4k)² ] + (1/2)*(1000 - 31² + ∑(1 ≤ k ≤15) [(2k)² - (2k-1)² ])

= 483
作者: thepiano    時間: 2015-3-29 20:59     標題: 回復 22# cefepime 的帖子

cefepime 兄每次出手都是妙解,小弟佩服之至
作者: bugmens    時間: 2016-3-6 04:46

2015AIME第14題
如圖,一塊木製半徑為6、高度為8的圓柱體,表面被漆成藍色。點\(A\)、\(B\)為圓柱的底面圓周上的兩點使得\(AB\)為\(120^{\circ}\)。將此圓柱體切成兩塊,其截面通過圓柱的中心及\(A\)、\(B\)兩點,且此截面是一個沒有顏色的平面。設這個截面的面積為\(a \cdot \pi+b \sqrt{c}\),其中\(a\)、\(b\)、\(c\)均為整數,且\(c\)不能被任何質數的平方所整除。試求\(a+b+c\)之值。


圖片附件: 截面面積.gif (2016-3-6 04:54, 83.07 KB) / 該附件被下載次數 5227
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3222&k=cf25999ea950aa858152880781085d1c&t=1711687009



附件: 截面面積SketchUp檔.zip (2016-3-6 04:54, 59.52 KB) / 該附件被下載次數 6819
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3223&k=f8a98c1e54f6b56dc688d7e1063e7b7b&t=1711687009




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0