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標題: 103桃園高中二招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2014-6-18 16:23 標題: 103桃園高中二招

各科初試最低錄取分數：英文科：55分。數學科：51分。英文代理：55分。數學代理：43分。

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作者: bugmens 時間: 2014-6-18 16:23

2.
\( \Delta \)的三中線長分別為5,\( \sqrt{73} \),\( 2 \sqrt{13} \)，求\( \Delta ABC \)之面積　　。
(99華江高中，https://math.pro/db/thread-1010-1-1.html)
[解答]
\( \displaystyle cos \theta=\frac{73+52-25}{2 \cdot \sqrt{73} \cdot 2 \sqrt{13}}=\frac{25}{\sqrt{73 \cdot 13}} \)

\( \displaystyle sin \theta=\sqrt{1-cos^2 \theta}=\frac{18}{\sqrt{73 \cdot 13}} \)

三中線長的面積\( \displaystyle \Delta=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{73} \cdot 2 \sqrt{13} \cdot \frac{18}{\sqrt{73 \cdot 13}}=18 \)

再乘\( \displaystyle \frac{4}{3} \)倍就是\( \Delta ABC \)面積\( \displaystyle =\frac{4}{3} \cdot 18=24 \)

5.
黑箱中有8枚硬幣，其中有3枚雙面皆是人頭，3枚雙面皆是字，其餘2枚一面是人頭，一面是字；將手伸入箱中，握住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，則另一面也是人頭的機率是　　。

有置於黑箱中的七枚硬幣，其中一枚兩面皆是人頭，一枚兩面皆是字，其餘五枚一面是人頭一面是字，將手伸入箱中握住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，試問另一面也是人頭的機率是多少？(1)1/2(2) 1/4(3) 2/7(4) 1/6(5) 1/7
(97研究用試卷，https://math.pro/db/thread-583-1-9.html)

9.
若二次多項式\( \displaystyle f(x)=3 \cdot \frac{(x-\sqrt{3})(x-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{5})}+4 \cdot \frac{(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}+6 \cdot \frac{(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \)，則\( f(99)= \)　　。
[解答]
或許你能從\( f(\sqrt{2})=3 \)，\( f(\sqrt{3})=4 \)，\( f(\sqrt{5})=6 \)猜出\( f(x)=x^2+1 \)，但我自己是用差分算的。

\( \matrix{f(\sqrt{2}) &　& f(\sqrt{3}) &　& f(\sqrt{5}) \cr
3 &　& 4 &　& 6 \cr
　& \frac{4-3}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2} &　& \frac{6-4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\sqrt{5}+\sqrt{3} & \cr
　&　& \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})-(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=1 &　&　} \)

\( f(x)=3+(\sqrt{3}+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})+1(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})=x^2+1 \)，\( f(99)=99^2+1=9802 \)

15.
E,F分別在矩形ABCD的邊\( \overline{BC} \),\( \overline{CD} \)上，若\( \Delta ABE \),\( \Delta ECF \),\( \Delta AFD \)的面積分別為3,1,2，則\( \Delta AEF \)的面積是　　。
[公式]
正常的解法我就不寫了，這裡提供一個公式。
設ABCD矩形面積為S，\( \Delta ABE=a_1 \)，\( \Delta AEF=a_2 \)，\( \Delta ADF=a_3 \)，公式為\( S^2-2 a_3 S-4 a_1 a_2=0 \)

[解答]
設\( \Delta AEF=x \)，\( S=x+6 \)，\( a_3=x \)，\( a_1=3 \)，\( a_2=2 \)
解方程式\( (x+6)^2-2x(x+6)-4 \cdot 3 \cdot 2=0 \)，得\( x=2 \sqrt{3} \)

17.
設\( n \in N \)，若\( (2+\sqrt{3})^n=x_n+y_n \sqrt{3} \)，其中\( x_n \)、\( y_n \in N \)，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}= \)　　。

28.
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有　　種不同的傳球方法。

甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有__種不同的傳球方法？
(A)156　(B)258　(C)342　(D)514
(110全國高中聯招，https://math.pro/db/thread-3530-1-1.html)

30.
甲,乙兩人競選班代共獲13張票，若開票時甲,乙兩人的得票差距一直保持在2票之內(含2票)，而最後甲獲勝，則開票的情形有　　種。

作者: jyi 時間: 2014-6-18 18:34

請教第一題!

作者: tsyr 時間: 2014-6-18 20:11 標題: 第一題

我的想法如下
但不知如何解釋
請各位高手幫忙!!

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作者: tsyr 時間: 2014-6-18 20:22

抱歉漏了一個圖(A和B的中點為C)
我又試試看，
若過非平行y=3-2x的直線做兩交點的中點會如何?
得到的結論是:中點軌跡不會在一直線上
於是我覺得應該和直線的斜率有密切關係
唯有斜率為-2者才會滿足兩交點的中點軌跡在直線

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作者: tsyr 時間: 2014-6-18 20:54

第20題
a+b=9-c，(a+b)c=-ab=(9-c)c => ab=c^2-9c
以a、b為兩根的方程式為x^2+(c-9)x+(c^2-9c)=0
，再利用判別式大於等於0可求出c的最小值為-3
即a+b的最大值為9-(-3)=12

類似題目:
設a>0，若關於x,y,z的三元方成組
x+2y+3z=a
xy+xz+2yz=2
有實數解，則a的最小值為________。

答:根號15
利用x和2y為兩根，利用判別式大於等於0列出含有a和z的不等式，
得到0大於等於15z^2-2az-a^2+16
再由圖形可知a^2大於等於15

作者: broken 時間: 2014-6-18 20:59 標題: 基礎填充第一題

把兩式分別整理成\(2^{x-1}=\frac{3}{2}-x\)和\(log_2(x-1)=\frac{3}{2}-x\)
令\(t=x-1\)，則\(x=t+1\)
得到\(2^t=\frac{1}{2}-t\)和\(log_2t=\frac{1}{2}-t\)
由圖形的對稱可以得到\(t_{1}+t_{2}=\frac{1}{2}\)
故\(\alpha+\beta =(t_{1}+1)+(t_{2}+1)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)

作者: tsyr 時間: 2014-6-18 21:06

第一題
原來這麼簡單謝謝

作者: hua0127 時間: 2014-6-18 21:07 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

提供一些略解：
填3：
利用圓外冪性質，\(CD\cdot BD=11\cdot 183=3\cdot 11\cdot 61\) 在驗證一下即可

填8：
設\(f\left( x \right)=\left( x-{{\alpha }_{1}} \right)\left( x-{{\alpha }_{2}} \right)...\left( x-{{\alpha }_{10}} \right)\Rightarrow f\left( {{x}^{3}}-1 \right)=\left( {{x}^{3}}-\left( {{\alpha }_{1}}+1 \right) \right)\left( {{x}^{3}}-\left( {{\alpha }_{2}}+1 \right) \right)...\left( {{x}^{3}}-\left( {{\alpha }_{10}}+1 \right) \right)\) 每個括號的3個根和為0, 故所有根的和為0

填16：
三角不等式：\(\left| \left| a \right|-2\left| b \right| \right|\le k\left| c \right|=\left| a+2b \right|\le \left| a \right|+2\left| b \right|\Rightarrow 1\le k\le \frac{5}{3}\)

填13：
因為襪子只有4種顏色，由鴿籠原理，取5隻至少可以取得1雙，扣掉這一雙後還有3隻襪子，再補2隻又至少可再得一雙，依此類推，
要取得10雙最少要取 5+2*9=23 (隻)

填18：
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}\left( {{\left( 2+\frac{2k-1}{n} \right)}^{2}} \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{n}\left( {{\left( 2+\frac{2k-1}{n} \right)}^{2}} \right)}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{{{\left( 2+x \right)}^{2}}dx}=\frac{28}{3}\)

填21：
由柯西不等式：
\(\left( {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\ldots +{{a}_{2014}} \right)\left( \frac{1}{{{a}_{2}}}+\frac{1}{{{a}_{3}}}+\ldots +\frac{1}{{{a}_{2014}}} \right)\ge {{2013}^{2}}\Rightarrow \left( 2015-{{a}_{1}} \right)\left( 2015-\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)\ge {{2013}^{2}}\Rightarrow {{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{1}}}\le \frac{8057}{2015}\)

填23：
判別式大於0, 檢驗條件
\(\left\{ \begin{align}
  & \left( \alpha +\frac{9}{5} \right)\left( \beta +\frac{9}{5} \right)>0 \\
& \left( \alpha -\frac{3}{7} \right)\left( \beta -\frac{3}{7} \right)>0 \\
\end{align} \right.\) 利用根與係數即可

填24：
計算n(丙丁戊不相鄰)-n(丙丁戊不相鄰，甲乙相鄰)即可

填25：
\(\left\{ \begin{align}
  & a+ar+a{{r}^{2}}=19 \\
& \left( a+1 \right)+\left( a{{r}^{2}}+6 \right)=2\left( ar+5 \right) \\
\end{align} \right.\), 將\(a{{r}^{2}}=19-\left( a+ar \right)\) 帶入下式求出\(ar\)即可

填26：一開始用向量，但計算上好像也沒有比較快，故直接利用兩垂足面加上平面ABC去求：
\(\left\{ \begin{align}
  & x+3y-4z=19 \\
& x-y=-9 \\
& x+y+z=20 \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( x,y,z \right)=\left( 3,12,5 \right)\)

2013.06.28 感謝版友YAG 觀念指正

填28：之前有很多類似的討論串，103台中女中、101文華代理…等
\({{a}_{n}}=\frac{\left( k-1 \right)\left( {{\left( k-1 \right)}^{n-1}}+{{\left( -1 \right)}^{n}} \right)}{k},\forall n\ge 2\), 本題帶\( k=3,n=10\) 即可

填29：投影算子觀念，取\(\overrightarrow{v}=\left( \begin{matrix}
a  \\
b  \\
\end{matrix} \right)\Rightarrow P=\frac{\overrightarrow{v}\cdot {{\left( \overrightarrow{v} \right)}^{T}}}{{{\left( \overrightarrow{v} \right)}^{T}}\cdot \overrightarrow{v}}\)

填30：結束時甲必為7票，乙必為6票，計算size 為\(6\times 7\)的捷徑問題，但有兩條違規線不能經過，計算一下可得到答案729

作者: tsyr 時間: 2014-6-19 05:43

第22題
可知A點在(2,3)和(4,-3)的中垂線(x-3y+3=0)上
又O至中垂線的最短距離為3/根號10
B點為A點(對O點)逆時針旋轉30度再將長度加倍
因此最小面積為(1/2)*(3/根號10)*(6/根號10)*(sin30度)=9/20

作者: David 時間: 2014-6-19 14:53

填充6 ??
1. 前二式相減, 得\(x=\frac{c-1}{a-b}\), 即為二式之共同實根.
2. 後二式相減, 得\((1-c)x=b-a\). 若\(1-c=0\), 則前二式之共同根為0, 不合. 故\(1-c\neq0\), 此二式之共同實根為\(x=\frac{a-b}{c-1}\).
3. 故前二式與後二式之根互為倒數, 各設為\(\alpha,\frac{1}{\alpha}\), 帶入一, 三式, 得
\(\begin{align}
\alpha^2+a\alpha+1=0\\
a\alpha^2+\alpha+1=0\\
\end{align}\)
4. 再將上面二式相減, 得\((a-1)\alpha=a-1\). 若\(a-1=1\), 則\(a=1\), 代入第一式並無實根, 不合.
故\(a-1\neq0\), 得\(\alpha=1\), 代入前二式得\(a=-2,b+c=-1\), 故\(a+b+c)=-3\)

有錯請不吝指正.

?? 即使算式沒錯, 但討論冗長, 似乎不符本題[3分]的要旨. 想請問更快的方法, 謝謝.

[ 本帖最後由 David 於 2014-6-19 03:35 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-6-19 18:28 標題: 回復 11# David 的帖子

填充 6. 出處應該是 TRML 2009 的團體賽第 8 題

翻了一下，以前寫的，基本上做法一樣，個人是沒有覺得特別的冗長

只是配分只有3分，真得少得可憐

作者: thepiano 時間: 2014-6-19 18:44 標題: 回復 11# David 的帖子

除非運氣好，先假設這四個方程式有相同的實根......

作者: David 時間: 2014-6-19 19:24

原來如此, 多謝了!

作者: hua0127 時間: 2014-6-19 20:19 標題: 回復 11# David 的帖子

觀察 \(\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+ax+d=0 \\
& {{x}^{2}}+bx+c=0 \\
\end{align} \right.,\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+dx+a=0 \\
& {{x}^{2}}+cx+b=0 \\
\end{align} \right.\) 的四個多項方程式：
(1) 左式的相同根與右式的相同根互為倒數(若存在的話)
(2) 若左式的共同根為1, 則右式的共同根亦為1

本題若已知解唯一(當然沒辦法已知XD)，則可把1的值帶入左式，在不違背題意的情況下，可得到\(a+b+c+d=-2\) (本題\(d=1\))

不過這種做法純粹靠運氣(毫無嚴謹度)，David 兄的做法已經很簡潔了

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-19 08:21 PM 編輯 ]

作者: Singing 時間: 2014-6-20 15:53

想請教第七題，謝謝

作者: Ellipse 時間: 2014-6-20 16:14

引用:

原帖由 Singing 於 2014-6-20 03:53 PM 發表
想請教第七題，謝謝

8*888=7104 (k=3,有1個1,頭尾各是7與4)
8*8888=71104(k=4,有2個1,頭尾各是7與4)
8*88888=711104(k=5,有3個1,頭尾各是7與4)
.......
7+1*(k-2)+4=1000
k=991

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-20 04:16 PM 編輯 ]

作者: peter0210 時間: 2014-6-21 23:16

請問hua0127老師
填充30題，可以在具體一些嗎
謝謝

作者: hua0127 時間: 2014-6-21 23:49 標題: 回復 18# peter0210 的帖子

這種做法的觀念大概就是化歸法，轉化成走捷徑問題，往右走一步對應到甲得一票，往上走一步對應到乙得一票
(key word：一路領先問題，可搜尋到很多討論串)
但是兩人的差距可以在兩票以內，畫圖之後考慮那兩條線是走捷徑不能碰到的臨界線
用東北角法即可，但是有趣的是，對角線會成公比為3的等比，可以玩玩看此性質，
附個圖應該比較好懂

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作者: peter0210 時間: 2014-6-22 12:02

很謝謝老師的提點
不過我真的還是看不大懂老師的"東北角法"是甚麼意思
但是去找了一些資料
總算得到一個自己可以理解的想法
不過還是很想厚臉皮的問老師東北角法要怎麼算？？

n(A到C)－n(A’到C)－n(A”到C)+ n(A’到C”) + n(A”到C’)
=c(13,7)-c(13,4)-c(13,3)+ c(13,0)+ c(13,1)
=1716-715-286+1+13
=729

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作者: hua0127 時間: 2014-6-22 12:09 標題: 回復 20# peter0210 的帖子

peter兄你這算法相當漂亮~讚
東北角法就是一般走捷徑的累加法而已，其實沒有什麼賣點XD

作者: cherryhung 時間: 2014-7-2 14:25 標題: 請問填充14

感恩謝謝

作者: tsyr 時間: 2014-7-2 14:52

填充14
根據對稱，所求=CD中點(設為M)到AB的距離
AB=9，BM=3根號3，AM=6根號2
設M至AB的垂足為N，則MN=MA*sin角MAB=根號23

作者: cherryhung 時間: 2014-7-2 20:06 標題: 回復 23# tsyr 的帖子

謝謝~感恩~

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