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標題: 102建國中學 [打印本頁]

作者: tsusy 時間: 2013-4-13 22:19 標題: 102建國中學

有鑑於學校沒公告數學科的試題

所以來回憶一下題目，有的地方沒有記得很清楚

還請有考試的考生幫忙回憶一下，謝謝！部分題目可能不太正確

其中填5 的圖是自己畫的，跟試卷的標記可能不太一樣，也忘了要求哪段的長度了

填10，則是只記得形狀，忘記數字了，經 Google 大神協助本題出處應為 2004年(第三屆)中國女子數學奧林匹克試題
數字為 \( \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c} \)

填11，敘述也許和原題有出入?因為題目寫得太長了

另外填12，題目是否有給 \( x> -1 \) 之類的條件？

請慢慢享用

附上部分個人算的數字，僅供參考，歡迎指正。

填充題
1. \( -\frac{159}{160} \)                   2. \( \frac{5}{2} < b < 4 \)

3. \( \frac{1}{32} \)                      4. 2084

5. \( \frac{1+\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2} \)       6. \( \frac{6}{11} \)

7. \( \frac{1}{\sqrt{10}} \)                   8. \( \frac{4}{5} \)

9. \( x< \frac{1-\sqrt{5}}{2} \) 或 \( 1 < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)

10. \( -17+12\sqrt{2} \)    11.\( n-1 \)

12. \( \frac{1}{x+1} \)

計算3. \( (0,0,z) \) 及 \( (1,-1,-1) \)

附件檔案修正
2. 修正填 2 的敘述，感謝鋼琴大修正。
3. 補上漏掉的條件 \( f(\frac{x}{6}) = \frac{f(x)}{2} \)，感謝鋼琴大提醒。
5. 應該求 \( \overline{BE} \) 之長。
8. 修正為 \( bx^2 \)，感謝 dream10 提醒修正。
12. 修正為 \( t^x \)

附件: [修正填充 2,3,8] 102建國中學.pdf (2013-4-17 16:29, 411.46 KB) / 該附件被下載次數 17165
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作者: bugmens 時間: 2013-4-13 23:41

6.空間中，有四個球兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球外切，則其半徑=？

空間有四個球，他們的半徑分別為2,2,3,3，每個球都與其餘3個球外切，另有一個小球與那四個球都外切，求該小球的半徑？
(1995中國數學奧林匹克)

102.4.14補充
感謝老王提醒忘了還有索迪公式
計算\( \displaystyle 3(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{r^2})=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{r})^2 \)
解出\( \displaystyle r=\frac{6}{11},-6 \)
老王的部落格有證明h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=5697&prev=5702&next=-1連結已失效
拼圖拼字拼數學P229，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1604

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作者: tsusy 時間: 2013-4-14 09:06

請教填充 9,2 有無什麼好方法

9.
不等式\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3}>x^3+2x\)的實數解為　　　　。
[解答]
個人的想法是 \( LHS = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^3} \) 分段遞減。而且在 \( 1\pm \) 處為 \( \pm \infty \)

而 \( RHS = x^3+2x \) 微分可知，嚴格遞增。

故僅需解 \( \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3} = x^3+2x \) 之兩實根。

即方程式 \( x^{6}-3x^{5}+5x^{4}-7x^{3}+4x^{2}+2x-3=0 \) 之兩實根 \( \alpha< \beta \)

而不等式之解則為 \( x < \alpha \vee 1 < x < \beta \)。

但易驗，該六次式沒有理根，然後就卡了

附上 Wolfram Alpha 的答案 \( x < \frac{1-\sqrt{5}}{2} \) 或 \( 1<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)

2.
平面上坐標上，\(\Gamma\)為所有的點\(P\)滿足到直線\(x=4\)與\((1,0)\)的距離和為5之曲線。試求\(b\)的範圍，使得\(\Gamma\)上恰有三組點，關於點\((b,0)\)對稱。
[解答]
想法，先畫個概圖

注意上下對稱於 x 軸必一組，另兩組為是 \( y = \pm c \)，四個交點成矩形，畫個對角線交點就是 \( (b,0) \)

但 \( c=0 \), \( b =\frac52 \) 會多出一組左右對稱點，隨著 \( c \) 從 \( 0\to 4\)，猜測 \( b \) 從 \( \frac52 \to 4 \)

故猜答案為 \( \frac52 < b < 4 \)

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作者: thepiano 時間: 2013-4-14 11:13

填充第 2 題
寸絲老師的幾何解法很漂亮且答案應是正確的，建議題目最後一句改成 "使得Γ上恰有三組點，關於(b，0)對稱" 比較好理解

這題最難的地方是畫出Γ

作者: 老王 時間: 2013-4-14 11:25

關於第六題
順便記一下索迪(Soddy)公式吧:
對於\(n\)維情況，有\(n+2\)個球互相切來切去，所有球的半徑記為 \( r_i \)，
再記半徑的倒數為 \(\displaystyle c_i=\frac{1}{r_i} \)
那麼有
\(\displaystyle n \sum_{i=1}^{n+2}c_i^2=(\sum_{i=1}^{n+2}c_i) ^2 \)

作者: ichiban 時間: 2013-4-14 12:37

我後悔了，本來打算不等式推推推出來，
推了半天推出錯
還是跟隨寸絲老大的腳步求那兩根就好
\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3}=x^3+2x\)
\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+2}{(x-1)^3}-2x=x^3-\frac{1}{(x-1)^3}\)
\(\displaystyle -2(x-\frac{1}{x-1})=(x-\frac{1}{x-1})(x^2+\frac{x}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2})\)
\(\displaystyle x-\frac{1}{x-1}=0\)
\(\displaystyle x=\frac{1+-\sqrt{5}}{2}\)
所以\(\displaystyle x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)或\(\displaystyle 1<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

作者: tsusy 時間: 2013-4-14 13:36 標題: 回復 6# ichiban 的帖子

解得漂亮，原來是把 2 跟 2 放一起，1 跟 1 也放一起

什麼時候我才可以也有這種眼力，看出其中竅門所在

作者: Joy091 時間: 2013-4-14 16:43

有關填充 2，我發現 \(\displaystyle Γ \) 其實只是兩個拋物線的合成圖:
\(\displaystyle x<4\) 時，為 \(\displaystyle y^2=4x ... Γ _1\)
\(\displaystyle x>4\) 時，為 \(\displaystyle y^2=-16x+80 ... Γ _2\)

不難得到若要在 \(\displaystyle Γ _1\)上找一組點對稱 (b,0)，則這組點必對稱 x 軸。
所以要在兩個拋物線上各找一點，才有可能產生三組關於 (b,0) 的對稱點。

令 \(\displaystyle P(\frac{a^2}{4},a)\)，其關於 (b,0) 的對稱點 \(\displaystyle Q(2b-\frac{a^2}{4},-a)\) 落在 \(\displaystyle Γ _2\) 上，
化簡得到 \(\displaystyle b=\frac{3a^2+80}{32}\)
因為 \(\displaystyle 0<a<4\)，故 \(\displaystyle \frac{5}{2}<b<4\)。

作者: ichiban 時間: 2013-4-14 16:47 標題: 回復 7# tsusy 的帖子

別誇我 , 我寧願拿我碰巧的眼力換你千錘百鍊的實力
小弟正在算你的大作 Math Note 01-10
目前正在第九頁 , 看到了一些錯誤 , 不過可以肯定的是數學寶典不會再是101了
被你奪走了
對了
42題 , 我弄不出來

作者: tsusy 時間: 2013-4-15 18:53 標題: 回復 8# Joy091 的帖子

原來如此~~感謝 Joy091 解惑

另外填 3 是個有趣的題目，做法如下

填 3.
若函數\(f(x)\)滿足\(f(1)=1\)，\(f(x)+f(1-x)=1\)，\(\displaystyle \frac{x}{6}=\frac{1}{2}f(x)\)，其中\(0\le x\le 1\)，且對\(0\le x_1<x_2\le 1\)，有\(f(x_1)\le f(x_2)\)，則\(\displaystyle f(\frac{1}{2013})=\)　　　。
[解答]
注意由函數之性質可得 \(f(\frac16) = \frac12 = f(\frac56) \)

又 \( \frac16 < \frac{6^4}{2013} < \frac56\), 故 \( f(\frac{6^4}{2013})=\frac12\)

因此所求 \( f(\frac1{2013}) = \frac1{32}\)

補充一類題：設函數 \(f (x) \) 在\( 1 \leq x\leq 3\) 時，滿足 \(f (x) =1-|x-2|\) ，且對所有的正數 \(x\)，\(f (x)\) 滿足\(f(3x) = 3f (x)\)。試求最小的正數 \(x\) 使得 \(f (x) = f (2011)\)。
(100二區能力競賽 )(2001AIME 則是 2011變成 2001)

填 4.
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2013}\Bigg[\;\root 5 \of {\frac{2013}{k}} \Bigg]\;=\)　　　。([]為高斯符號)
[解答]
則是基本的題型，提供一個有趣的方法：Fubini 定理

令 \( S=\{\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\mid k=1,2,3\ldots,2013\} \), \( S_{n}=S\cap\{x\mid x\geq n\} \)。

由 Fubini 定理有 \(\sum\limits _{k=1}^{2013}\left[\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\right]=\sum\limits _{n=1}^{\infty}|S_{n}|\) 。

\( \left[\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\right]\geq n\Leftrightarrow\frac{2013}{k}\geq n^{5}\Leftrightarrow\frac{2013}{n^{5}}\geq k \)，

故 \( |S_{n}|=\left[\frac{2013}{n^{5}}\right]=2013,62,8,1,0,0\ldots \)。故所求 \(=2013+62+8+1=2084\)。

類題：2. \(y=[x] \) 表高斯函數，求 \(\sum\limits _{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right]\)。(101文華高中)

作者: best2218 時間: 2013-4-16 17:56

老師好，第一題想了很久，也試圖用插值多項式處理
但是找無規律，不知道怎麼切入比較好?
謝謝老師!

作者: bugmens 時間: 2013-4-16 18:27

來這裡找吧，這裡有滿滿的考古題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

作者: tsusy 時間: 2013-4-16 19:04 標題: 回復 11# best2218 的帖子

1.
設\(f(x)\)為一317次多項式滿足\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}\)，\(k=1,2,3,\ldots,318\)，則\(f(320)=\)　　　。
[解答]
要直接用插值多項式做，也不是不可以，只是組合恆等式要熟一點，可以像下面這樣做

以拉格朗日，插值多項式表示之，令 \( f(x)=\sum\frac{1}{k}f_{k}(x) \)，其中 \( f_{k}=\frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(x-i)}{\prod_{i=1}^{k-1}(k-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(k-i)}=(-1)^{k}\frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(x-i)}{(k-1)!(318-k)!} \)

而 \( \frac{1}{k}f_{k}(320)=\frac{(-1)^{k}}{k}\cdot\frac{319!}{320-k}\cdot\frac{1}{(k-1)!(318-k)!}=(-1)^{k}\frac{319-k}{320}\frac{320!}{k!(320-k)!}=(-1)^{k}\frac{319-k}{320}C_{k}^{320} \)。

注意 \( (1+x)^{320}=\sum\limits _{k=0}^{320}C_{k}^{320}x^{k} \)，微分得 \( 320(1+x)^{319}=\sum\limits _{k=1}^{320}kC_{k}^{320}x^{k-1} \)。

將 \( x=-1 \) 代入得 \( \sum\limits _{k=0}^{320}(-1)^{k}C_{k}^{320}=0 \), \( \sum\limits _{k=1}^{320}(-1)^{k-1}kC_{k}^{320}=0 \)。

故所求
\( \begin{aligned}f(320) & =\sum\limits _{k=1}^{318}\frac{1}{k}f_{k}(x)=\frac{319}{320}\cdot\sum\limits _{k=1}^{318}(-1)^{k}C_{k}^{320}+\frac{1}{320}\cdot\sum\limits _{k=1}^{318}(-1)^{k-1}kC_{k}^{320}\\
& =\frac{319}{320}\cdot(-1+320-1)+\frac{1}{320}\cdot(320-319\cdot320)\\
& =-\frac{159}{160}
\end{aligned} \)

做樣，挺累的...而且一不小心就會出錯，所以還是看樓上連結裡的方法吧

作者: best2218 時間: 2013-4-16 19:19

感謝各位!
也謝謝寸絲老師將我的不足說明
謝謝!

作者: 老王 時間: 2013-4-16 20:21

填充5
終於找到，是93年新竹區筆試一第二題，不一樣的是邊長為4，以及求的是BD

圖片附件: 93新竹區筆試1-2.jpg (2013-4-16 20:21, 44.84 KB) / 該附件被下載次數 6610
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1598&k=b5cf265631b71e5ab683414eabfa6354&t=1732209018

作者: tsusy 時間: 2013-4-16 20:44 標題: 回復 15# 老王的帖子

填 5. 再補另一個解法：

由面積可知正方形之邊長為 \( \sqrt[4]{3} \)。注意直角的位置，可知正方形左下角為原來的 \( H \)，右上角為原來的 \( I \)。

並且正方形之一邊(最右邊)為 \( 2\overline{GI}=\sqrt[4]{3} \) \( \Rightarrow\overline{GI}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2} \)。坐標化，

令 \( G(0,0), F(-1,0), B(-\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}) \), \( r=\frac{\sqrt[4]{3}}{2} \)。

再令 \( \Gamma \) 為一圓，其圓心為 \( G \)，半徑為 \( r \)，則 \( \overline{FE} \) 為圓 \( \Gamma \) 之切線。

計算此切線方程式得 \( y=-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}}(x+1) \)，其與 \( y=-\frac{\sqrt{3}}{2} \) 之交點 \( E \) 之坐標為 \( (\frac{\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}-1,-\frac{\sqrt{3}}{2}) \)。

故所求 \( \overline{BE}=\frac{\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}-1+\frac{3}{2}=\frac{1+\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2} \) 。

圖片附件: 102Jianguo5.png (2013-4-16 20:44, 26.03 KB) / 該附件被下載次數 7929
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作者: ichiban 時間: 2013-4-17 08:53

6.
空間中，有四個求兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球皆外切，則其半徑=　　　。

求救第6題
算了兩次都同一解
我是用坐標化
設計出四個外切圓 , 他們的圓心位置成了一個還算好算的四面體
接著假設了第五圓的方程式 , 並求其半徑
不過我的答案是\(\displaystyle \frac{-110+12\sqrt{133}}{41}\)
直覺這麼醜不是答案 , 又想說是建中 , 醜好像也是應該的
請問我這樣的方向是正確的嗎
若正確 , 我就再拼一次
若錯誤 , 請救援~

作者: basess8 時間: 2013-4-17 22:55 標題: 想請教第八題四次方程式的問題

想請問第八題，四次方程式有實數解，則可能四實數，或二實二虛。
能否請版上各位先進給一個方向讓我繼續想下去

作者: tsusy 時間: 2013-4-17 23:01 標題: 回復 18# basess8 的帖子

填 8.
若\(x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0\)有實數解，則\(a^2+b^2\)的最小值為　　　。
[提示]
那樣係數首尾對稱的式子

常用 \(\displaystyle t = x+\frac1x \) 代換處理之

這樣就可以降低成二次方程式

作者: 老王 時間: 2013-4-17 23:02 標題: 回復 18# basess8 的帖子

99年台中區複賽二第三題
我是分情況討論

圖片附件: 99台中區複賽二第三題.jpg (2013-4-17 23:02, 39.09 KB) / 該附件被下載次數 6528
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1607&k=b153639284b18efd7247ae1a5068262c&t=1732209018

作者: basess8 時間: 2013-4-18 01:20 標題: 請教第12 題題意

12.
設\(\displaystyle F(x)=\int_0^1 \frac{t^x-1}{lnt}dt\)，則\(\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=\)　　　。

第12題是否想要考微積分基本定理，但是題目F(x)的定義看起來是常數，
或是小弟不才遺漏了積分函數中 t^z (z是否有特殊意義) 部分的涵義，請指教。

作者: tsusy 時間: 2013-4-18 10:51 標題: 回復 21# basess8 的帖子

抱歉，是我的手誤打錯了，是 \( t^x \) 才正確，已修正之。

這題，可以是初微的積分技巧，也可以是高微以上(上至實分析) 裡，微分和積分可否交換順序的層次

作者: chu1987 時間: 2013-4-20 01:26

不好意思～各位老師
我想請問計算第2題
這題應該從哪個方向切入比較好？
謝謝各位老師了！！

作者: thepiano 時間: 2013-4-20 08:54

計算第 2 題
應是寸絲老師筆誤了
要證的部分不會成立(例：正三角形ABC及以P為垂心)

作者: tsusy 時間: 2013-4-20 10:56 標題: 回復 24# thepiano 的帖子

倒不是筆誤，而是寸絲記的題目就是那樣。

或許是記錯了吧？難怪一直做不出來

猜測，正確的命題應為 AP(BC-DE) >= BD PE + CE PD

不知道有沒有哪位，記得正確的題目，可以幫忙確認一下，謝謝！

作者: ilikemath 時間: 2013-4-27 07:07

想請教填充7.11.12
感謝

作者: tsusy 時間: 2013-4-27 09:08 標題: 回復 26# ilikemath 的帖子

填 7.
\(OABC\)為一邊長為1的正四面體，\(D,E\)分別為\(\overline{AB},\overline{OC}\)中點。兩歪斜線\(\overline{OD}\)和\(\overline{BE}\)的距離為　　　。
[提示]
坐標化 \(\displaystyle O(0,0,0), A(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}), B(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}), C(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)\)，剩下的應該不難了。

填 12.
設\(\displaystyle F(x)=\int_0^1 \frac{t^x-1}{lnt}dt\)，則\(\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=\)　　　。
[解答]
若 \( x>-1 \)，則 \(\displaystyle t^{x}-1=\ln t\int_{0}^{x}t^{s}ds \), for \( t>0 \)

\(\displaystyle \Rightarrow F(x)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}t^{s}dsdt=\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}t^{s}dtds=\int_{0}^{x}\frac{1}{s+1}ds=\ln(x+1) \)。

故 \(\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=\frac{1}{x+1} \) 。

作者: 王保丹 時間: 2013-4-30 20:30 標題: 回復 6# ichiban 的帖子

我目前算到這
但是無法接下去
能否幫我看一下

圖片附件: image.jpg (2013-4-30 20:31, 104.87 KB) / 該附件被下載次數 5680
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1639&k=b52f479b24239a8a585b44b33e06bb07&t=1732209018

作者: shingjay176 時間: 2013-5-12 13:23

填充題第九題的圖

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-12 01:33 PM 編輯 ]

圖片附件: [填充題第九題] 1.png (2013-5-12 13:23, 10.51 KB) / 該附件被下載次數 5538
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1683&k=44ef04e41853fe83f9a13e8f0c693579&t=1732209018

作者: David 時間: 2013-5-23 21:41 標題: 回復 28# 王保丹的帖子

最後一行好像應該這樣接:

\( x-\frac{1}{x-1}=0 \)

\(\frac{x^2-x-1}{x-1}=0 \)

所以正負號的分界點有 \(x=1,x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
有錯煩請指正

作者: ilikemath 時間: 2013-6-5 06:49

想請教第11題
謝謝

作者: upup170 時間: 2013-6-5 10:11 標題: 回復 30# David 的帖子

x=1 應該不行吧~~
帶入分母為0!!

作者: insel 時間: 2013-10-12 08:01 標題: 回復 10# tsusy 的帖子

tsusy  老師打擾您了

想詢問填充四這個想法是怎麼出現的??

類題：2.  高斯符號這一題 (101文華高中)
            我有看了您的筆記是取log討論但這想法是怎麼切入
         表格內容怎麼去計算出來的? 不得其門

            勞煩老師能說明謝謝您了

作者: tsusy 時間: 2013-10-12 14:58 標題: 回復 33# insel 的帖子

版大 bugmens 已答 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317

所以，我來說說其它事

其實這兩題：填4 和類題101文華，不用這樣的技巧也是可以做，

只是變成去數 i=1,2,3,... 各有幾個，再相乘相加，而幾個的數量，則是某兩個值相減，

最後，求和的時候，要把 i 跟其數量相乘，sum 起來

我單純是因為不想做上面紅字的減法、相乘，所以才用這樣的方法

至於聯想的起點是期望值 \( E(X) = \sum p_i x_i \) 或 \( \int f(x)x dx \)，當 \( X \) 取值為非負(非負整數) 時

式子可變形為 \( E(X) = \sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geq n ) \) 或 \( E(X) = \int_{0}^\infty P(X>x) dx\)

作者: insel 時間: 2013-10-12 22:55 標題: 回復 34# tsusy 的帖子

感謝bugmens老師的耐心回覆
也謝謝tsusy老師的提示XD

作者: idontnow90 時間: 2013-11-20 22:27

引用:

原帖由老王於 2013-4-17 11:02 PM 發表
99年台中區複賽二第三題
我是分情況討論

想請教解法中的第10.11行的地方..為什麼都可以直接平方?題目並沒有對a,b有所大小限制阿??
(雖然說事後算出答案後..知道這兩處..直接平方不會出問題...)
還請賜教...謝謝~

作者: tsusy 時間: 2013-12-8 13:44 標題: 回復 25# tsusy 的帖子

銳角三角形\(\Delta ABC\)中，\(D\)、\(E\)分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上。過\(D\)、\(E\)分別作\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)之垂線，交於\(\Delta ABC\)內部一點\(P\)。
試證：\(\overline{AP}\cdot(\overline{BC}-\overline{DE})\ge \overline{BD}\cdot \overline{AE}+\overline{CE}\cdot \overline{AD}\)。
[解答]
前幾日(12.04)的帖子，似乎因主機異常而消失了，再重回一次

猜測修正題目的不等式為 \( \overline{AP}(\overline{BC}-\overline{DE})\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD} \)，證明如下

注意 \( \overline{AP}(\overline{BC}-\overline{DE})\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD}\Leftrightarrow\overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD}+\overline{AP}\cdot\overline{DE} \)

而 \( ADPE\) 為圓內接四邊形，由托勒密定理有 \( \overline{AP}\cdot\overline{DE}=\overline{AD}\cdot\overline{PE}+\overline{AE}\cdot\overline{PD} \)。

故原不等式等價於 \( \overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD} \)。

令 \(Q\) 為 \(P\) 對 \(\angle BAC\) 之分角線之對稱點，\(D'\), \(E'\) 分別為 \(Q\) 對 \(\overleftrightarrow{AB}\),\(\overleftrightarrow{AC}\) 之投影點，則有 \(\overline{AQ}=\overline{AP}\),\(\overline{QD'}=\overline{PE},\overline{QE'}=\overline{PD}\)。

四邊形 \(ABQC\) 之面積 \(=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}\cdot\overline{QD'}+\overline{AC}\cdot\overline{QE'}\right)=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD}\right)\)。

亦可寫為 \(\triangle AQB+\triangle AQC=\frac{1}{2}\overline{AQ}\cdot\overline{BC}\sin\theta\)，

其中 \(\theta\) 為 \(\vec{AQ}\) 和 \(\vec{BC}\) 的夾角。又 \(\sin\theta<1\) 且 \(\overline{AQ}=\overline{AP}\)，

因此\(\overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD}\)，又此不等式與欲證之命題等價，故得證。

注意以上證明中，並沒有用到銳角之條件，及點 \(P\) 在三角形內部。銳角之條件雖保證點 \(P\) 在三角形內部，但點 \(Q\) 仍可以在三角形外，而且鈍角時，即使 \( P,Q \) 分在三角形外，結論及證明亦正確。

作者: Pacers31 時間: 2014-1-5 17:59 標題: 回復 36# idontnow90 的帖子

我也還沒參透為什麼可以直接平方 (或許是要分Case討論)，於是這麼解：

設\(g(y)=y^2+ay+(b-2)\)，20#  老王老師解到

\(g(y)=0\)有實根且至少一根絕對值\(\geq2\)

反過來想就是不能兩根都落在\((-2,2)\)，因此\(a,b\)須滿足\(D=a^2-4(b-2)\geq0\)

且\((a,b)\)不能落在  \(-2<-\frac{a}{2}<2\)  \(\Rightarrow -4<a<4\)
                              \(g(-2)>0\) \(\Rightarrow 2a-b<2\)
                                 \(g(2)>0\) \(\Rightarrow 2a+b>-2\) 這三式以及\(D\geq0\)同時成立之區域

以上範圍作圖，可知\(\min(a^2+b^2)=d^2(O,L)=\frac{4}{5}\)，其中\(L\)為直線\(2a-b=2\)或\(2a+b=-2\)

作者: mathelimit 時間: 2014-11-2 21:10

想請教 12題的第一步為什麼可以這樣做~ QAQ

作者: thepiano 時間: 2014-11-3 07:20 標題: 回復 39# mathelimit 的帖子

指數函數的積分

作者: mathelimit 時間: 2014-11-3 18:11 標題: 回復 40# thepiano 的帖子

喔喔，我看出來了，這個靈感也太神了吧 XDDD

作者: anson721 時間: 2015-10-21 11:26 標題: 已得解

若\(a,b,c\)為正實數，則\(\displaystyle \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)的最小值為　　　。

111.4.20補充
設\(a>0,b>0,c>0\)，求\(\displaystyle \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}+17\)的最小值為　　　。
(111台中一中，https://math.pro/db/thread-3621-1-1.html)

令\(a,b,c\)為正實數且\(k\)為\(\displaystyle \frac{13a+13b+2c}{2a+2b}+\frac{24a-b+13c}{2b+2c}+\frac{-a+24b+13c}{2c+2a}\)的最小值。
試回答下列問題：
(1)試求k.
(2)若最小值發生於\((a,b,c)=(a_0,b_0,c_0)\)時，試求\(\displaystyle \frac{b_0}{a_0}+\frac{c_0}{b_0}\)
(2020亞太數學奧林匹亞競賽初選試題，https://math.pro/db/thread-3242-1-1.html)

設\(a,b,c\)為正實數，求\(\displaystyle \frac{2b-2c}{a+b+2c}+\frac{2a+4c}{a+2b+c}+\frac{b}{a+b+c}\)的最小值，並求此時\(a,b,c\)三數關係式為何？
建中通訊解題第61期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37

設\(a,b,c\)為正實數，求\( \displaystyle \frac{2b-2c}{a+b+2c}+\frac{2a+4c}{a+2b+c}+\frac{b}{a+b+c} \)的最小值　　　？
(106松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2794&page=1#pid17572)

設\(a,b,c>0\)且\(a+b+c=4+2\sqrt{2}\)，試求\(\displaystyle \frac{2b-c}{a+b+2c}+\frac{6a+8c}{a+3b+c}-\frac{a-2b}{2a+b+c}\)的最小值。
建中通訊解題第117期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37

設\(\Delta ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a+b+c=12\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)的最小值為　　　。
(109台中一中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3310&page=1#pid20964)

112.5.30
設\(a>0,b>0,c>0\)，試求\(\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}\)的最小值。
此題送分
(112羅東高中，https://math.pro/db/thread-3752-1-1.html)

113.1.7補充
設\(x,y,z\)為正實數。試求\(\displaystyle \frac{x}{3x+y+z}+\frac{y}{x+3y+z}+\frac{z}{x+y+3z}\)之值的範圍。
(2024亞太數學奧林匹亞競賽，https://math.pro/db/thread-3795-1-1.html)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3121&k=a4310b1316670eb69cb24ff80e4e817e&t=1732209018

作者: anyway13 時間: 2016-8-11 11:04 標題: 請教第七題

根據版上老師提示坐標化 O(0,0,0) A(0,1/根號2,1/根號2)B(1/根號2,0,1/根號2)C(1/根號2,1/根號2,0)

將兩條歪斜線 OD BE 做出 ....算出M N 兩點距離一直算不到1/根號10?

請問版上老師該如何下手?

圖片附件: IMAG2151.jpg (2016-8-11 11:04, 915.98 KB) / 該附件被下載次數 6289
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3618&k=eff15be7a43917a37a1e934547306879&t=1732209018

作者: thepiano 時間: 2016-8-11 17:54 標題: 回復 42# anyway13 的帖子

向量垂直那裡計算有誤
第1式應是 2t+3s=3
第2式應是 3t+2s=3

作者: anyway13 時間: 2016-8-11 19:04 標題: 回復 43# the piano 的帖子

鋼琴老師謝謝您!

作者: anyway13 時間: 2016-8-12 01:50 標題: 請教計算第一題

計算第一題,試著微分,得兩根alpha, beta,f'(alpha)f'(beta)<0

然後就卡很久..請問版上高手有誰可以教一下,謝謝!

作者: thepiano 時間: 2016-8-12 06:08 標題: 回復 45# anyway13 的帖子

計算第1題
已知方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)有三實根，且\(-2\le a+b+c\le 0\)。求證：此方程式必有一實根\(\alpha\)滿足\(0\le \alpha \le 2\)。
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=1523

作者: anyway13 時間: 2016-8-12 10:09 標題: 回復 4# the piano 的帖子

受教了,感謝您!

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