晚點應該會有官方版的題目，
經過一晚的慘烈廝殺，睡夢中仍在思考如何解題，因此先把計算題寫上來跟各路高手請教。

計算一
有一四面體   P−ABC ，已知 PA和ABC 所在的平面垂直，且PA=AB=2。自A點作PC、PB的垂線，垂足分別為E、F。若ACB是一個直角三角形且 C=90，令CPB= ，問：
(1) AEF的最大面積為何？
(2)承上，此時tan()=？

計算二
拋物線y2=6x上有相異二點A(x1y1)、B(x2y2)，且x1+x2=4，作AB的垂直平分線交 x軸於C，請問：
(1) C的座標。
(2) 設M(x0y0)是AB的中點，請問 y0的範圍為何？
(3) 求ABC的最大面積。

第四題

一、填充題甲
3.
已知數列an的前n項和為Sn，首項a1=41，且滿足an+3SnSn−1=0(n2nN)，則1S2022=　　　。
[提示]
看到Sn，想到an=Sn−Sn−1
我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507

二、填充題乙
1.
設A1A2A111為一單位圓的內接正111邊形，且P為此單位圓上任一點。試求PA1PA2PA111的最大值為　　　。

3.
已知An=nk=1k2k(k+1)(k+2) ，Bn=nk=12k ，nN，求滿足|\;(n+2)A_n-B_n|\;>2022之最小自然數n=　　　。

4.
設一數列\langle a_n \rangle滿足a_1=1，a_{n+1}>a_n(n\in N)且(a_{n+1})^2+(a_n)^2+1=2(a_{n+1}\cdot a_n+a_{n+1}+a_n)。令\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k，試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{na_n}=　　　。

數列 \left\{a_n\right\} 中，已知 {a_1} = 2,{a_{n + 1}} > {a_n}，且 a_{n + 1}^2 + a_n^2 + 4 = 2{a_{n + 1}}{a_n} + 4{a_{n + 1}} + 4{a_n}，則一般項  {a_n} = ?
(98師大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=735&page=1#pid1261)

7.
設a>0,b>0,c>0，求\displaystyle \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}+17的最小值為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

二、填充2

計算第 2 題
(1)
\begin{align}   & 直線 AB:y=mx+n \\ & {{\left( mx+n \right)}^{2}}=6x \\ & {{m}^{2}}{{x}^{2}}+\left( 2mn-6 \right)x+{{n}^{2}}=0 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{2mn-6}{{{m}^{2}}}=4 \\ & n=\frac{3}{m}-2m \\ & y=mx+\frac{3}{m}-2m \\ \end{align}
\overline{AB}中點為M\left( 2,\frac{3}{m} \right)
垂直平分線：y-\frac{3}{m}=-\frac{1}{m}\left( x-2 \right)交x軸於C\left( 5,0 \right)
(2)
\begin{align}   & {{y}_{0}}=\frac{3}{m} \\ & {{\left( 2mn-6 \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}{{n}^{2}}>0 \\ & mn<\frac{3}{2} \\ & m\left( \frac{3}{m}-2m \right)<\frac{3}{2} \\ & m>\frac{\sqrt{3}}{2},m<\text{-}\frac{\sqrt{3}}{2} \\ & -2\sqrt{3}<{{y}_{0}}<2\sqrt{3} \\ \end{align}
(3)
直線AB交x軸於D\left( -\frac{n}{m},0 \right)
\begin{align}   & \left\{ \begin{align}   & {{y}^{2}}=6x \\ & y=mx+n \\ \end{align} \right. \\ & {{y}^{2}}=6\left( \frac{y-n}{m} \right) \\ & m{{y}^{2}}-6y+6n=0 \\ & {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=\frac{6}{m},{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{6n}{m} \\ & \Delta ABC=\frac{1}{2}\left| 5+\frac{n}{m} \right|\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|=\frac{1}{2}\left| 5+\frac{n}{m} \right|\sqrt{{{\left( {{y}_{1}}+{{y}_{2}} \right)}^{2}}-4{{y}_{1}}{{y}_{2}}} \\ & =3\left( 1+\frac{1}{{{m}^{2}}} \right)\sqrt{12-\frac{9}{{{m}^{2}}}} \\ &  \\ \end{align}
令
\begin{align}   & t=\sqrt{12-\frac{9}{{{m}^{2}}}} \\ & \frac{1}{{{m}^{2}}}=\frac{4}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{9} \\ & \Delta ABC=3\left( 1+\frac{4}{3}-\frac{{{t}^{2}}}{9} \right)t=-\frac{{{t}^{3}}}{3}+7t \\ \end{align}
最大值為\frac{14}{3}\sqrt{7}

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-16 16:17 編輯 ]

感謝第4題神提點，不然想破頭還是做不出來

填充(乙)第2題
作 \Delta BNC 的外接圓後，由弦切角、圓周角可知 \Delta ABN ~ \Delta ACB
故 \frac{AN}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}，
因此，令 \overline{AC} =5a ，可得 \overline{AB}=4a 、 \overline{AN}=\frac{16a}{5}
再搭配孟氏定理 \frac{BD}{CD} \times \frac{CA}{AN} \times \frac{MN}{BM} =1   可得所求。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-16 16:40 編輯 ]

計算第 1 題
(1)
關鍵是先說明 △AEF 是直角三角形 (∠E 是直角)
AF = √2，故 AE = EF = 1 時，△AEF 面積有最大值 1/2

(2)
求出 AC = 2/√3， PC = 4/√3，BC = 2√2/√3
又 PB = 2√2
故 △PCB 是直角三角形 (∠C 是直角)
tanθ = BC / PC = √2/2

二、填充3

二、填充4

二、填充6