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標題: 101竹山高中 [打印本頁]
作者: wind2xp    時間: 2012-6-26 10:24     標題: 101竹山高中

想請問證明2,4

謝謝~~

附件: 101竹山高中.zip (2012-6-26 11:14, 24.57 KB) / 該附件被下載次數 12502
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1309&k=e1af2bbfe0936ead8452ca81d3e3132b&t=1713952553
作者: shiauy    時間: 2012-6-26 12:06

證明4
拋物線和\( x \)軸,直線\( x-y-1=0 \)，\( x+y+1=0 \)都相切，其焦點為\( P(h,k) \),\( h>0 \),\( k>0 \)，則\( P \)點軌跡方程式為何？　

對\( (h,k) \)做三條切線之對稱點\( (h,-k),(k+1,h-1),(-k-1,-h-1) \)
此三點皆在準線上，也就是三點共線
故用三點共線的關係就可以得到\( h^2+k^2=1 \)
作者: march2001kimo    時間: 2012-6-26 14:02     標題: 請問計算1,2,3

感恩
作者: wind2xp    時間: 2012-6-26 15:41

好強..感謝一心老師
作者: shiauy    時間: 2012-6-26 17:14

計算1
單位圓內一內接四邊形\( ABCD \)，其中\( \overline{AD} \)為直徑，\( ∠ABC=120^{\circ} \)，求四邊形\( ABCD \)的最大周長？

因為\( ∠ABC=120^{\circ} \)，對角互補
所以\( C \)點也被固定了，實際上變動的點就只有\( B \)，在弧AC之間
最大周長出現在B在弧AC的中間點，
此時\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1 \)
\( \overline{AD}=2 \)
故最大周長為5

計算3
求\( \displaystyle sin \frac{\pi}{11}sin \frac{2\pi}{11}sin \frac{3\pi}{11}sin \frac{4\pi}{11}sin \frac{5\pi}{11}= \)？
這一題考古題出現很多次了
都還有了公式
\( \displaystyle \sin \frac{\pi }{{2n + 1}}\sin \frac{{2\pi }}{{2n + 1}}...\sin \frac{{n\pi }}{{2n + 1}} = \frac{{\sqrt {2n + 1} }}{{{2^n}}}\)
用複數解吧
(92屏東高中)(93彰女)(數學101 p161)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1313&k=9054a2d2e2a068358f31b484575d1499&t=1713952553

作者: march2001kimo    時間: 2012-6-28 10:36     標題: 回復 5# shiauy 的帖子

感謝一心老師
作者: 阿光    時間: 2012-6-28 19:26

想請教計算第2題,謝謝

計算2.
\( f(n) \)表由小到大的第\( n \)個非完全平方數，如\( f(1)=2 \),\( f(2)=3 \),\( f(3)=5 \)，求證：\( f(n)=n+\{\; \sqrt{n} \}\; \)，其中\( \{\; \sqrt{n} \}\; \)表最接近\(  \sqrt{n} \)的整數。
作者: larson    時間: 2012-6-28 21:48     標題: 想問填充1、6兩題

可否給提示

填充1.
\( a \)為正無理數，\( p=a^3-a^2-13a+6 \)，\( q=a^2-4a \)均為有理數，則\( (p,q,a)= \)？

填充6.
\( \Delta ABC \)中\( \overline{AB}=10 \)，\( \overline{AC}=6 \)，\( P \)在內部，\( ∠APB=90^{\circ} \)，\( ∠ABP=∠ACP \)，\( M \)為\( \overline{BC} \)中點，則\( \overline{PM}= \)？
作者: tsusy    時間: 2012-6-29 16:54     標題: 回復 8# larson 的帖子

填充 1. 基本想法是 \( x+ya = 0 \),  \( x,y \in Q \) 則 \( x=y=0 \)

剩下的就是從 \( p,q \) 裡湊寫一寫得 \( p=(a^{2}-4a-1)a+\left[3(a^{2}-4a)+6\right] \Rightarrow (q-1)a+(3q+6-p) = 0 \)

那 \( q,p,a \) 就有了

至於怎麼湊...小弟也說不出個好方法，但不難湊就是了

填充 6. 今年附中考過 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1355&page=1#pid5501
作者: Ellipse    時間: 2012-6-29 19:11

引用:
原帖由 larson 於 2012-6-28 09:48 PM 發表
可否給提示
填充1
參考美夢成真:鋼琴老師與小弟的作法~
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=8138#p8138
作者: tsusy    時間: 2012-6-29 21:00     標題: 回復 1# wind2xp 的帖子

計算證明 2. 來個不高明的數歸納法好了，如果有什麼其它高招，請不吝告訴在下

先分析 \( \{m\} \) 這個函數。注意 \( (n+\frac{1}{2})^{2}=n^{2}+n+\frac{1}{4}, (n-\frac{1}{2})^{2}=n^{2}-n+\frac{1}{4} \)。

若 \( n^{2}-n<m\leq n^{2}+n, m,\, n\in N \), 則 \( \{m\}=n.\) 注意 \(\dot{\cup}(n^{2}-n,n^{2}+n]=(0,\infty) \).

以數學歸納法證之：

\( n=1, f(1)=2=1+\{1\} \), 顯然成立。

設 \( m\leq k  (k\geq1) \) 時成立，分成二情況

(情況一)若 \( k=n^{2}+n \), for some \( n\in N \).

由歸納法假設有 \( f(k)=(n^{2}+n)+n=n^{2}+2n \). 因此下個數 \( (n+1)^{2} \) 是完全平方數

故 \( f(k+1)=f(k)+2=(n^{2}+n+1)+(n+1)=k+1+\{k+1\} \).

(情況二)若  \( n^{2}-n<k<n^{2}+n, \Rightarrow n^{2}<f(k)<n^{2}+2n\Rightarrow \) 下一個數 \( n^{2}<f(k)+1<(n+1)^{2} \) 非完全平數

所以 \( f(k+1)=f(k)+1=k+\{k\}+1=(k+1)+\{k+1\} \)。

由數學歸納法得證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-10-28 11:56 PM 編輯 ]
作者: larson    時間: 2012-6-30 22:47

引用:
原帖由 shiauy 於 2012-6-26 05:14 PM 發表
計算1
最大周長出現在B在弧AC的中間點，  ...
(1)想請問要如何證明在弧AC的中間點
(2)順便想問填充8
\( \Delta ABC \)中\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，\( ∠BAC=84^{\circ} \)，\( P \)在其內部\( ∠PBC=12^{\circ} \)，\( ∠PCB=30^{\circ} \)，則\( ∠APB= \)？
作者: 老王    時間: 2012-6-30 23:40     標題: 回復 12# larson 的帖子

填充八
在 \( \Delta PBC \) 中，\(\displaystyle \frac{PB}{\sin30^o}=\frac{BC}{\sin138^o} \)
\(\displaystyle PB=\frac{\frac{1}{2}BC}{\sin42^o}=AB \)
所以
\(\displaystyle \angle{APB}=\frac{1}{2}(180^o-(48^o-12^o))=72^o \)
作者: larson    時間: 2012-6-30 23:59     標題: 回復 13# 老王 的帖子

謝謝，太強了，竟然可以看出來！！！不知還有沒有將圖形旋轉或平移的作法！

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-1 12:01 AM 編輯 ]
作者: basess8    時間: 2012-7-1 00:04     標題: 填充第一題

\(a\)為正無理數，\(p=a^3-a^2-13a+6\)，\(q=a^2-4a\)均為有理數，則\((p,q,a)=\)？
[解答]
\(q+4=(a-2)^2\)⇒\(a=2\pm \sqrt{4+q}\)，(\(q>-4\))
(1)
當\(a=2+\sqrt{4+q}\)，此時\(p=(2+\sqrt{4+q})^3-(2+\sqrt{4+q})^2-13(2+\sqrt{4+q})+6\)
整理得\(p=\sqrt{4+q}(q-1)+(4+5q)\)，\(\sqrt{4+q}\in Q^{*} \)⇒\(q=1，p=9，a=2+\sqrt{5}\)
(2)
當\(a=2-\sqrt{4+q}\)，此時\(p=(2-\sqrt{4+q})^3-(2-\sqrt{4+q})^2-13(2-\sqrt{4+q})+6\)
整理得\(p=\sqrt{4+q}(-q+1)+(4+5q)\)⇒\(q=1，p=9，a=2-\sqrt{5}<0\)(不合)
綜合以上：⇒\(q=1，p=9，a=2+\sqrt{5}\)
作者: larson    時間: 2012-7-1 00:27     標題: 回復 9# tsusy 的帖子

謝謝寸絲的填充6，我可能要好好的練功了！
作者: 老王    時間: 2012-7-1 10:40     標題: 回復 14# larson 的帖子

個人以為，在考場中用三角函數硬作，解出來的機會比較大。
這樣的問題出現很多次了，我上面的作法其實不夠一般，應該要這樣作:
假設(底下都省略度) \(\displaystyle \angle{PAB}=x \)


\(\displaystyle \frac{PA}{PB}=\frac{\sin36}{\sin x} \)


\(\displaystyle \frac{PB}{PC}=\frac{\sin30}{\sin12} \)

\(\displaystyle \frac{PC}{PA}=\frac{\sin(84-x)}{\sin18} \)

然後三式相乘得到

\(\displaystyle \sin36 \sin30 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \sin18 \)

然後其實應該先猜答案是多少，當然，畫個近似準確的圖是重要的，這樣才可以猜測。
像這裡先整理最後的式子得到

\(\displaystyle \cos18 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \)

這樣應該不難猜出答案是 \( 72 \)
接著朝目標前進

\(\displaystyle \sin72 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \)

\(\displaystyle \sin(156-x)+\sin(x-12)=\sin(x+12)+\sin(x-12) \)

\(\displaystyle \sin(156-x)=\sin(x+12) \)

剩下就是判斷哪個才是解了。


順便放上早上頭腦清醒的狀態:

[ 本帖最後由 老王 於 2012-7-1 10:45 AM 編輯 ]

圖片附件: 101竹山高中填充8-1.jpg (2012-7-1 10:41, 26.79 KB) / 該附件被下載次數 5951
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1324&k=b26c74f90734b0d8cb3a5b4abde89224&t=1713952553



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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1325&k=e6038078adf8815392e00c75507cb29f&t=1713952553

作者: sport    時間: 2012-10-24 17:26     標題: 請問

填充題第9題

不知道有沒有什麼提示
作者: weiye    時間: 2012-10-24 19:31     標題: 回復 18# sport 的帖子

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=587

填充題第9題

解，

三白球 → ○○○

三白球形成4個空隙

五黑球放到四個空隙，平均每個空隙有 5/4 顆黑球(空隙中黑球個數的期望值)

→ (5/4個●) ○ (5/4個●) ○ (5/4個●) ○ (5/4個●)

由左到右取球，取到白球取完時，共取了 (1+5/4)*3 = 27/4 顆球
作者: sport    時間: 2012-10-25 00:55     標題: 回復 19# weiye 的帖子

謝謝
我懂了
作者: tsusy    時間: 2012-10-28 19:51     標題: 回復 19# weiye 的帖子

好方法！ 沒想到這招也可以用在這題上

以下是一些類題

將 4  個球全部投入 3  個不同的袋子中，每次投一球，連續投 4  次，則空袋子個數的期望值 \( \underline{\qquad\qquad} \) 。     (99中興高中 填充17)

一袋中有 m  個白球與 n  個黑球，個袋中一次取一球，取後不放回，直到取完所有白球為止，求所取球數的期望值。     (97大里高中 計算3  第17篇)

A  在方格的左下角，B  在方格的右上角，各有 9  個→與↑ ，求 A  到 B  走捷徑轉彎數之期望值。     (99高雄高中 第1題)

有 3  個「+ 」，4  個「- 」，排成一列。若一列中一個「+- 」或一個「-+ 」我們說：有一個「變號」。問 3  個「+ 」，4  個「- 」排成一列，變號個數的期望值？     (99彰化女中 填充12)

另外期望值線性疊加亦可在公平事件的機率問題使用，如以下：

有甲、乙、丙等 14 人出遊，欲住進兩間 4  人房、兩間 3  人房，問甲乙丙三人同房的機率為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。     (99桃園高中 填充15)

97中興高中填充9、99彰化女中 填充2、99中正高中 填充 9

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-10-28 09:52 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2012-10-28 21:36     標題: 回復 21# tsusy 的帖子

再補一個類題：

袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,\cdots,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。 (99屏東女中 第8題、97台中一中 第14題)
作者: vicky614    時間: 2012-11-15 15:42

問題1. 請問如何用以上的想法來解
           A  在方格的左下角，B  在方格的右上角，各有 9  個→與↑ ，求 A  到 B  走捷徑轉彎數之期望值。」這題.
         
問題2. 請問填充2除了旋轉,還有其他較簡潔的方法嗎?觀察出題目裡有出現x+y與xy,但接下來就不知如何下筆了.

           煩請老師們解答,謝謝!
作者: tsusy    時間: 2012-11-15 18:45     標題: 回復 23# vicky614 的帖子

99 高雄高中那題

可考慮每 n 步是否有轉彎的機率為 \( p \)，易得 \( p = \frac{2\cdot9\cdot9}{18\cdot 17} \) (與 n 無關)

故所求 \( =17p = 9\)

填充 2. 另解(沒有比較簡潔) 注意兩個式子都是 x,y 的對稱多項式

處理對稱多項式常用的手法就是用基本對稱式表示之

令 \( \alpha =x+y, \beta= xy \) 則 x,y 為 \( t^2 - \alpha t+\beta = 0 \) 之兩實根

因此 \( \alpha^2-4\beta \geq 0 \) 又 \( \alpha^{2}-\beta=6 \) 可得 \( |\alpha|\leq2\sqrt{2} \)

而由  \( \alpha^{2}-\beta=6 \) 可將目標函數改為 \( g(\alpha)=\alpha^{3}-\alpha^{2}-5\alpha \)

微分得 \( g'(\alpha)=(3\alpha-5)(\alpha+1)\)

代入  critical point 得： \( g(2\sqrt{2})=6\sqrt{2}-8, g(- 2\sqrt{2})=-6\sqrt{2}-8, g(-1)=3, g(\frac{5}{3})=-\frac{175}{27} \)

故最大值為 3，最小值為 \( -6\sqrt{2}-8 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-10-22 22:41 編輯 ]
作者: idontnow90    時間: 2012-12-18 16:15

想請教證明4
為什麼對(h,k)做三條切線之對稱點(h,-k)(k+1,h-1)(-k-1,-h-1)
則此三點皆在準線上?
感謝!
作者: weiye    時間: 2012-12-18 17:49     標題: 回復 25# idontnow90 的帖子

偷偷借一下老王老師在 http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl ... &l=f&fid=30 的圖來說明~~~



見上圖，自拋物線上一點 \(A\) 做切線 \(\overleftrightarrow{AE}\)（此切線交準線於 \(E\) 點），

自 \(A\) 往準線做垂線，得垂足 \(C\)，

設拋物線焦點 \(F\)，

由拋物線定義可得 \(\overline{AC}=\overline{AF}\)，

由光學性質可推得 \(\angle FAE=\angle CAE\)

再加上 \(\overline{AE}=\overline{AE}\)

可得 \(\triangle FAE\sim\triangle CAE\)

進而可推知 \(F,C\) 兩點會對稱於 \(\overleftrightarrow{AE}\)

亦即，將焦點對稱切線後，對稱點會落在準線上。

圖片附件: qq.jpg (2012-12-18 17:49, 13.6 KB) / 該附件被下載次數 7432
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1480&k=66e450f2238fabf35b8a43711088cebc&t=1713952553

作者: idontnow90    時間: 2012-12-18 23:16

謝謝瑋岳老師...我弄懂了~
作者: idontnow90    時間: 2013-1-15 00:06

想請教填充5
是用根與係數關係去湊嗎?感覺程開之後有點難湊ㄟ??能否給點提示嗎?感謝~
作者: weiye    時間: 2013-1-15 08:28     標題: 回復 28# idontnow90 的帖子

填充第五題：

https://math.pro/db/thread-164-1-1.html

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13822　連結已失效
作者: 王保丹    時間: 2013-4-21 19:31

想請問一下計算第一題如何知道
最大周長出現在B在弧AC的中間點，
底下是我目前寫的

圖片附件: image.jpg (2013-4-21 19:31, 92.91 KB) / 該附件被下載次數 6173
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1616&k=1272d42b56c90b3a162608a1da4a6f94&t=1713952553

作者: tsusy    時間: 2013-4-21 19:37     標題: 回復 30# 王保丹 的帖子

計算 1. 可以用正弦定理去表示 \( \overline{BC} \) 和 \( \overline{CD} \) 的長度，

分別為 \( 2 \sin x, 2 \sin y \) 其中 \( x+y =60^\circ \)

再利用和差化積可得 \( \sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)

其中 \( \sin \frac{x+y}{2} = \frac12 , \cos \frac{x-y}{2} \leq 1 \)

故得 \( x=y =30^\circ \) 時 \( \sin x + \sin y\) 有最大值

故得 \( \overline{BC} = \overline{CD} =1 \) 時有最大周長
作者: 老王    時間: 2013-4-21 20:36     標題: 回復 31# tsusy 的帖子

這個問題的一般情形就是在弧AC上取一點B，使得AB+BC最大。
寸絲老師提供的方法非常好，請大家在考場要記得這樣寫。

以下有興趣的再看，這也是我要處理多邊形的等周定理時要用到的一部分。
證明B在中點為最大
另取非中點之點P，不妨假設AP>CP
連接AP和CP，過B作AP的垂線，令垂足為H，
由阿基米德折弦定理得到，H是折弦APC的中點，也就是 2AH=AP+CP
由於AB>AH
故 AB+BC>AP+CP

[ 本帖最後由 老王 於 2013-4-21 08:42 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1617&k=a6dce0495414f52bdb937d97315693c3&t=1713952553

作者: 王保丹    時間: 2013-4-21 20:42     標題: 回復 31# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師的解答
我寫出來了
作者: 王保丹    時間: 2013-4-21 21:02     標題: 回復 29# weiye 的帖子

這是我跟興傑老師問到的解答
提供另一種想法

[ 本帖最後由 王保丹 於 2013-4-21 09:08 PM 編輯 ]

圖片附件: image.jpg (2013-4-21 21:02, 103.25 KB) / 該附件被下載次數 5296
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1618&k=9da8ec44a07a86a0a3b45afb36770505&t=1713952553

作者: tsusy    時間: 2013-4-21 22:15     標題: 回復 34# 王保丹 的帖子

填 5. 誠如 weiye 老師在 29# 連結中所提到的，該式對於變數是反對稱 (交換，值變號)

所以讓在下做一下傻事，把它平方，就會變成常數

\( (\alpha-\beta)^{2}(\beta-\gamma)^{2}(\gamma-\alpha)^{2}=\sum\alpha^{4}\beta^{2}-2\sum\alpha^{4}\beta\gamma-2\sum\alpha^{3}\beta^{3}+2\sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma-6\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2} \)

以上的記號上 \( \sum \) 裡是跑對稱項，如 \( \sum\alpha^{4}\beta^{2} = \alpha^4\beta^2+\alpha^4\gamma^2+\beta^4\alpha^2+\beta^4\gamma^2+\gamma^4\alpha^2+\gamma^4\beta^2 \) 有六項，\( \sum\alpha^{3}\beta^{3} \) 則有三項

接下來先計算 \( \alpha^n + \beta^n + \gamma^n \)，再利用這些值去表示各項

\( \alpha\beta\gamma=1 \)
\( \alpha+\beta+\gamma=0 \)
\( \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=2 \)
\( \alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=\alpha+\beta+\gamma+3=3 \)
\( \alpha^{4}+\beta^{4}+\gamma^{4}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+\alpha+\beta+\gamma=2 \)
\( \alpha^{5}+\beta^{5}+\gamma^{5}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}+\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=5 \)
\( \alpha^{6}+\beta^{6}+\gamma^{6}=\alpha^{4}+\beta^{4}+\gamma^{4}+\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=5 \)

\( \sum\alpha^{4}\sum\alpha^{2}=\sum\alpha^{6}+\sum\alpha^{4}\beta^{2}\Rightarrow\sum\alpha^{4}\beta^{2}=-1 \)

\( \sum\alpha^{4}\beta\gamma=\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{3}=3 \)

\( (\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3})^{2}=\sum\alpha^{6}+2\sum\alpha^{3}\beta^{3}\Rightarrow\sum\alpha^{3}\beta^{3}=2 \)

\( \sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma=\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{2}\beta \) ，

而 \( \sum\alpha^{2}\sum\alpha=\sum\alpha^{3}+\sum\alpha^{2}\beta\Rightarrow\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{2}\beta=-3 \)

綜合以上有 \( \sum\alpha^{4}\beta^{2}-2\sum\alpha^{4}\beta\gamma-2\sum\alpha^{3}\beta^{3}+2\sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma-6\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}=-1-6-4-6-6=-23 \)

因此所求 \( = \pm \sqrt{23} i \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-21 10:43 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2013-4-21 23:01     標題: 回復 32# 老王 的帖子

為向老王老師致敬，再補一個證明，還有考試的時候不要這樣做

如下圖：B, D 為 AC 優弧和劣弧上的中點，E 為 AC 劣優上之點且不為 A,D,C
試證 \( \overline{AD} + \overline{DC} > \overline{AE} + \overline{EC} \)



證. 圓內接四邊形中ABCD，由托勒密定理有 \( \overline{AC}\cdot\overline{BD} = \overline{AD}\cdot\overline{BC} + \overline{DC}\cdot\overline{AB} \)
(注意 \( \overline{BD} \) 為圓之直行，由面積亦可得此式)

其中 \( \overline{AB} = \overline{BC} \)，故可改寫為 \( \overline{AC}\cdot\overline{BD} = (\overline{AD} + \overline{DC})\cdot\overline{BC}\)

同理對圓內接四邊形 ABCE 亦有 \( \overline{AC}\cdot\overline{BE} = (\overline{AE} + \overline{EC})\cdot\overline{BC}\)

因 \( \overline{BD} \) 為直徑，故 \( \overline{BD} > \overline{BE} \)

再以上式比較托勒密所得之二式，即可得 \( \overline{AD} + \overline{DC} > \overline{AE} + \overline{EC} \)

圖片附件: Ptomley.png (2013-4-21 23:01, 17.65 KB) / 該附件被下載次數 6089
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1619&k=24df8f23f34481ba35582e180300a1d3&t=1713952553

作者: Joy091    時間: 2013-4-21 23:36     標題: 回復 36# tsusy 的帖子

用餘弦定理應該也可以...

借用寸絲老師的圖，令AD=DC=d，AE=a，EC=b，AC=x，

則有 \(\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos E=x^2=d^2+d^2-2dd\cos D\)

整理得 \(\displaystyle \frac{a^2+b^2-2d^2}{2ab-2d^2}=\cos E\)   

(其中因為D到AC的距離比E到AC的距離大，所以a(ADC)>a(AEC)，\(d^2>ab\)，分母沒有問題)

推得 \(\displaystyle (\frac{a^2+b^2-2d^2}{2ab-2d^2})^2<1\)

\(\displaystyle (a^2+b^2-2d^2)^2<(2ab-2d^2)^2\)

\(\displaystyle ((a+b)^2-4d^2)(a-b)^2<0\)

\(\displaystyle (a+b)^2-4d^2<0\)

因此 \(\displaystyle a+b<2d\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-21 11:58 PM 編輯 ]
作者: shingjay176    時間: 2013-4-22 08:03     標題: 回復 35# tsusy 的帖子

寸絲老師。
你算式中三根次方和，三次，四次，五次，六次。怎麼求得的
作者: tsusy    時間: 2013-4-22 08:35     標題: 回復 38# shingjay176 的帖子

利用 \( \alpha, \beta, \gamma \) 滿足三次式 \( x^3 -x - 1 = 0 \)

因此有 \( \alpha^{n+3} = \alpha^{n+1} + \alpha^{n} \),  \( \beta, \gamma \) 亦同

故有遞迴關係 \( \sum \alpha^{n+3} = \sum \alpha^{n+1} + \sum \alpha^n \)

以此遞迴式計算之 35# 所列之式子
作者: 老王    時間: 2013-4-22 19:14

關於填充五，寫一個從以前同事那邊偷學到的方法

可以看出這是凡得夢行列式(可能差個符號)，所以考慮矩陣
\(\displaystyle A=\left( \begin{array}{ccc}
1  &  a  &  a^2  \\
1  &  b  &  b^2  \\
1  &  c  &  c^2  \end{array} \right) \)
所求 \( (a-b)(b-c)(c-a)=det(A) \)
又 \( det(A)=det(A^T) \)
考慮
\(\displaystyle A^TA=\left( \begin{array}{ccc}
3  &  a+b+c  &  a^2+b^2+c^2  \\
a+b+c  &  a^2+b^2+c^2  &  a^3+b^3+c^3  \\
a^2+b^2+c^2  &  a^3+b^3+c^3  &  a^4+b^4+c^4  \end{array} \right) \)
所以
\(\displaystyle ((a-b)(b-c)(c-a))^2=det(A^TA)=\left| \begin{array}{ccc}
3  &  0  &  2  \\
0  &  2  &  3  \\
2  &  3  &  2  \end{array} \right|=-23 \)
故 \(\displaystyle (a-b)(b-c)(c-a)=\pm \sqrt{23}i \)

[ 本帖最後由 老王 於 2013-4-22 07:18 PM 編輯 ]
作者: GGQ    時間: 2013-4-23 07:21

補充 填充5 , 用卡當三次方判別式公式解看看 , 作為參考

用卡當三次方公式   當   x^3+px=q 時 , 三根為a,b,c 時
則 判別式     -4p^3-27q^2 = [ (a-b)(a-c)(b-c) ]^2

所以 , 該題   x^3-x-1=0    用 p = -1  , q =1 代入得

[ (a-b)(a-c)(b-c) ]^2  = -4(-1)^3-27(1)^3  =  4 - 27  = -23

故得    (a-b)(a-c)(b-c)  = 正負(根號23) i

sorry!   我剛剛才看到 版上已有大大 提供這方法了  ......^.^

[ 本帖最後由 GGQ 於 2013-4-23 07:32 AM 編輯 ]
作者: 阿吉    時間: 2013-6-23 01:50

填充１
讓f(x)=x^3-x^2-13x+(6-p)
   g(x)=x^2-4x-q
a可以看成是f(x)=0和g(x)=0的解
因為a是g(x)=0的無理根
=> a可寫成x+\sqrt(y)這種形式
=> 有理係數多項式方程式的x+\sqrt(y)這種根會成對出現
=> g(x) | f(x)
所以g(x)是g(x)和f(x)的最高公因式
=> g(x) | f(x)-xg(x) = 3x^2-(13-q)x+(6-p)
=> 1 : -4 : -q = 3 : -(13-q) : (6-p)
=> p=9, q=1, a=2+\sqrt(5)

--
後來覺得自己的方法沒有前面幾位前輩來得簡易
但因為我習慣用這類方式看待這種題目...所以還是PO上來分享
請多指教...謝謝

[ 本帖最後由 阿吉 於 2013-6-23 03:09 AM 編輯 ]
作者: 瓜農自足    時間: 2014-9-19 11:17     標題: 回復 24# tsusy 的帖子

想請教轉彎那題p值怎麼思考得到，以及E(X)=17p是二項分配期望值的算法嗎？思緒疑惑繞不太出去...
先謝謝了。
作者: thepiano    時間: 2014-9-19 12:18     標題: 回復 43# 瓜農自足 的帖子

提供一下另解

轉彎的情形有 "→↑" 和 "↑→"
捷徑之走法相當於把 9 個 → 和 9 個 ↑ 排成一列的排法
"→↑" 可放的位置有 17 個，其餘的 8 個 → 和 8 個 ↑ 有 C(16，8) 種排法
同理，"↑→" 亦同
所求 = [C(16，8) * 17 * 2]/C(18，9) = 9

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-9-19 12:59 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2014-9-19 19:31     標題: 回復 43# 瓜農自足 的帖子

不是二項分配，但算法一樣。

二項分配是"獨立"且相同分布的白努力隨機變數相加

而99高雄高中那題，則是"非獨立"且相同分布白努力隨機變數相加

回復 44# thepiano 的帖子
thepiano 兄的另解真酷，竟然走了 Fubini 定理的路子！
作者: 瓜農自足    時間: 2014-9-21 11:55     標題: 回復 45# tsusy 的帖子

p值還是揣測不出來，想說以Fubini 定理思考，卻也卡關了，想請教如何分類出機率值\( \displaystyle \frac{C(16，8) *17*2}{C(18,9)}=1\times{P(X=1)}+2\times{P(X=2)}+3\times{P(X=3)}+...+ 17\times{P(X=17)} \)
或是說怎麼思考理解左式分子計數了2次\(n(X=2)\)
謝謝！(好笨一直理不清@@)

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-21 06:01 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2014-9-21 14:15     標題: 回復 46# 瓜農自足 的帖子

以下用符號的方式來解釋，不過顯然沒有比 thepiano 老師的文字說明還要清楚，只是單純賣弄一下符號而已

以 \( \omega \) 表示一個樣本點(一條捷徑), \( n(\omega) = \sum \chi_i(\omega) \)

其中 \( \chi_i \) 為表示第 i 到 i+1 是否有轉彎的函數，有為 1，無為 0。

期望值 \( \sum n(\omega) P(\omega) = \frac{1}{C^{18}_9}\sum n(\omega) = \displaystyle \frac{1}{C^{18}_9} \sum_\omega \sum_i \chi_i(\omega)\)

交換兩個 \( \sum \) 的順序，就得到 thepiano 老師的式子

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-9-21 10:32 PM 編輯 ]
作者: 瓜農自足    時間: 2014-9-21 17:52     標題: 回復 47# tsusy 的帖子

原來如此，非常謝謝寸絲師撥冗解決我的疑惑！
十分欽佩。

[ 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-21 08:57 PM 編輯 ]
作者: mathca    時間: 2015-12-20 16:55

引用:
原帖由 thepiano 於 2014-9-19 12:18 PM 發表
提供一下另解

轉彎的情形有 "→↑" 和 "↑→"
捷徑之走法相當於把 9 個 → 和 9 個 ↑ 排成一列的排法
"→↑" 可放的位置有 17 個，其餘的 8 個 → 和 8 個 ↑ 有 C(16，8) 種排法
同理，"↑→" 亦同
所求 = [C(16，8) * 17 ...
理解成：
每一個走完 "→↑"(或 "↑→")後，單一個點 E(X)=p=C(16，8) /C(18，9)

不知是否正確？
作者: tsusy    時間: 2015-12-20 18:46     標題: 回復 49# mathca 的帖子

沒有用到走"完"、"後"，走了之後就變成條件機率，後面的期望值就改變了，這樣會很難算 (還是我誤解你的文字了)

用到的是期望值的線性性質，以 # 47 的記號來說，就是

\( E[n] = E[ \sum \chi_i ] = \sum E[\chi_i] = 17 E[\chi_1] = 17 \cdot \frac{2\times C^{16}_8}{C^{18}_9} \)
(忘了乘2，補上去)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-12-20 08:13 PM 編輯 ]
作者: mathca    時間: 2015-12-20 19:49     標題: 回復 50# tsusy 的帖子

轉彎函數等於 1 或 0 可以理解(代表有轉彎則計數1)，

至於17是從何而得的？代表什麼數？

轉彎函數的期望值，怎知是 C168/C189？==>這不是只有放一個轉彎後的上右方法數/總上右排列數？
作者: tsusy    時間: 2015-12-20 21:25     標題: 回復 51# mathca 的帖子

我覺得我不太清楚你的思路，畢竟前面好幾帖都是討論這題。

thepiano 老師的做法，和我的作法入手的點是不同，加上中間有的是解釋兩個解法間的關係。

#44 thepiano 老師的做法：計算所有路徑的所有轉彎數和
#47 我所寫，是先算每條轉彎數，再加起來 = 總轉彎數
                      和先算每個可能的點有幾路路徑轉紬，再加起來 = 總轉彎數
而 # 50 處，我看到你在 #49 樓用的"單一個期望值"的字眼，以為你要把個別期望值加起來，所以就回了期望值的做法了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-20 21:12 編輯 ]
作者: mathca    時間: 2015-12-20 21:50     標題: 回復 52# tsusy 的帖子

其實單獨兩種分開來看，我都看不太懂，所以才好像試圖用一種解釋另一種。
或請再詳#50 中 i 從何取到17的，感謝。

[ 本帖最後由 mathca 於 2015-12-20 09:52 PM 編輯 ]
作者: CyberCat    時間: 2016-1-13 21:16     標題: 回復 19# weiye 的帖子

想請教weiye老師&各位先進
填充9的這結果真的很棒
印象 我看過一個文章
類似討論 m個黑球 n個白球
討論
當有1個黑球時 n個白球 求白球取完的期望次數
當有2個黑球時 n個白球 求白球取完的期望次數
一直討論到
當有m個黑球時 n個白球 求白球取完的期望次數
發現有等差性質 才去解一般的情況 得到漂亮的結果

不知是數學傳播還是其他老師們分享的文章（bee?
最近念到這題 想好好筆記一下 感謝

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2016-1-13 09:19 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2016-1-13 21:53     標題: 回復 54# CyberCat 的帖子

但 19 樓 weiye 老師的做法，已經適用於你說的 m 黑 n 白

所以，好像也不需要補充任何東西了
作者: z78569    時間: 2019-4-7 17:53

不好意思

想請教各位老師

1. A  在方格的左下角，B  在方格的右上角，各有 9  個→與↑ ，求 A  到 B  走捷徑轉彎數之期望值。
以及
2.將 4  個球全部投入 3  個不同的袋子中，每次投一球，連續投 4  次，則空袋子個數的期望值  。
可否用weiye老師在第19篇分享的方法呢？


苦思很久 還是卡在這裡 煩請各位老師可以提示一下 感謝！

[ 本帖最後由 z78569 於 2019-4-7 17:58 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2019-4-7 21:28     標題: 回復 56# z78569 的帖子

提供其他看法 可能不是Z大想要的答案請見諒

1.就是一個\(9\times 9\)的方格
隨便畫一條路線出來，容易算出有17個轉折點
無論你是在哪個轉折點(姑且設為A) 要在A點轉彎
勢必前一步和後一步方向不能一樣，即:左，上 或者 上，左

第一種左，上的情形要在A點轉彎之機率:\(\frac{9}{18}\times\frac{9}{17}\)
第二種上，左的情形要在A點轉彎之機率:\(\frac{9}{18}\times\frac{9}{17}\)

兩種情形加起來的機率為\(\frac{9}{17}\)
注意全部有17個轉彎處，所以轉彎期望值為\(\frac{9}{17}\times 9=9\)

2.姑且假設ABC三個袋子好了
一次的丟球中，A袋子是空的機率為\(\frac{2}{3}\)
所以連續四次的丟球裡面，A袋子是空的機率為\((\frac{2}{3})^{4}\)
當然B，C的情形也是如此 機率都相同
所以期望值為\((\frac{2}{3})^{4}\times 3\)

都是前人的想法 小弟只是換個方式用自己的話表達出來而已
獻醜了

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-4-7 21:31 編輯 ]
作者: z78569    時間: 2019-4-8 06:44     標題: 回復 57# satsuki931000的帖子

非常感謝satsuki931000老師，您的分享非常清楚，收益良多！
作者: anyway13    時間: 2020-9-19 11:01     標題: 請教填充第2題

\(x,y\)是實數且\(x^2+xy+y^2=6\)，求\(x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\)得最大值\(M\),即最小值\(m\)
令\(f(x,y)=x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\)
\(f_x(x,y)=0\)得到\(2xy+y^2-2x-2y+1=0\)
\(f_y(x,y)=0\)得到\(x^2+2xy-2x-2y+1=0\)
得到\(x=y\)或\(x=-y\)
(i)\(x=y\)得到\(y=\pm \sqrt{2}\)代入\(f(x,y)=x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\)得到\(\pm 6\sqrt{2}-8\)
(ii)\(x=-y\)得到\(f(x,y)=0\)
請問老師最大值3是如何得出的呢？

請教板上老師
填充2的最大值是3是怎麼得到的? 我的作法在附檔,可是只計算得出最小值-6根號2-8

附件: 0919.pdf (2020-9-19 11:01, 188.65 KB) / 該附件被下載次數 3848
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5639&k=a51f41a0bb3db821bd2332221b482f1f&t=1713952553
作者: thepiano    時間: 2020-9-19 15:37     標題: 回復 59# anyway13 的帖子

填充第 2 題
在此討論串的第 3 頁，寸絲老師有提供解法
另外這題 101 南港高工也考過，可去該討論串找找
作者: tsusy    時間: 2020-9-19 16:39     標題: 回復 59# anyway13 的帖子

填充2. 雖然已有解答，但您有附件算式，還是值得一看

看了一下，附件的解法，問題不小

您走微積分的方法，這裡需要拉格朗日乘子法 (the method of Lagrange multipliers)

建議您不只是參考討論串，更要好好複習一下微積分中的部分
作者: anyway13    時間: 2020-9-19 17:28     標題: 回復 60# thepiano 61# 寸絲 的帖子

謝謝兩位老師的指點  趕快去複習複習



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