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標題: 101彰化高中 [打印本頁]

作者: milkie1013 時間: 2012-5-21 13:46 標題: 101彰化高中

想請教幾題:

填充1. 四面體ABCD
   其中AB長=4
         CD長=5
   AB到CD之距離為3
   求四面體體積=?

計算作圖2. 給定一拋物線,並給軸上一點,如何利用紙規作圖找出焦點

計算作題4.

      sinx1+sinx2+....+sinxn=0
   {
      sinx1+2sinx2+3sinx3+....+nsinxn=100

   求滿足上式之最小正整數n

以上三題~請教大家...謝謝!!

【註：weiye 於 2012/05/23 附加上彰化高中公布的題目與答案，並修改上述題目對應至正確的題號了。】

附件: 101彰化高中_試題.pdf (2012-5-23 19:40, 335.17 KB) / 該附件被下載次數 14035
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附件: 101彰化高中_解答.pdf (2012-5-23 19:40, 22.62 KB) / 該附件被下載次數 12189
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作者: judochiou625 時間: 2012-5-21 15:24 標題: 回復 1# milkie1013 的帖子

填充1.
四面體\(O-ABC\)中\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{OC}=5\)，\(\overline{AB}\)與\(\overline{OC}\)的公垂線段長為3，則此四面體的體積為　　　。

四面體那體我是這樣想的，看成上下兩面都是正方形，高為3的形體，(其中上面正方形的對角線是4，下面正方形的對角線是5)此四面體體積為該立體再扣掉4個三角錐為所求。

計算作圖2. 尺規作圖：先做出對稱軸，再找1：2的正交弦即可得焦點。

作者: Ellipse 時間: 2012-5-21 16:21

引用:

原帖由 milkie1013 於 2012-5-21 01:46 PM 發表
想請教幾題:

計算作圖4.    sinx1+sinx2+....+sinxn=0----------------(1)
   {
      sinx1+2sinx2+3sinx3+....+nsinxn=100---------------(2)

   ...

以下是純粹是小弟的猜測~如果答案是錯的,最後會刪掉
依題意知sin(xi) ,i=1,2,3,......n當中有些是負的,有些是正的
sin(xi)若是0那麼會浪費n的數量(n會變更大)
由(2)可知當n越後面時,前面的倍數就越大
因為(2)答案為100,那就讓前面產生k個負的,後面用k個正的相加答案=100
(用後面迅速產生正的量減掉前面緩慢產生負的量,這樣n就會比較小)
-(1+2+........+k)+ [(k+1)+(k+2)+...........+(k+k)]=100
-(k+1)*k/2 + (3k+1)*k/2=100
-k^2-k+3k^2+k=200
k^2=100,k=10
表示n=2k=20是最小值

註:前面10個sin(xi)=-1,後面10個sin(xi)=1

以上如果有錯,請告知~

作者: tsusy 時間: 2012-5-21 16:38 標題: 回復 2# judochiou625 的帖子

「先做出對稱軸」這件事並不無聊，須費一翻功夫

如果拿尺隨便一畫，鐵定得 0 分

因為題目是只給軸上一點，沒有給軸，當然也不知道軸的方向

記得很多年前，參加能力競賽的時候，口試就被問到了這樣的問題

作法為：任作兩條平行線，於拋物線交於兩弦，則其中點連線平行於對稱軸

橢圓和雙曲線的情況，亦有類似之性質

作者: bugmens 時間: 2012-5-21 18:20

5.
\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，\( n \in N \)，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{9999}a_k= \)？

設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n \)？
(100麗山高中第二次，https://math.pro/db/thread-1164-1-1.html)

計算題6.
已知實數數列\( a_1,a_2,a_3,... \)滿足\( a_1=1 \)，\( 3a_{n+1}=a_n^2+3a_n \)，\( n=1,2,... \)，求級數\( \displaystyle \frac{1}{a_1+3}+\frac{1}{a_2+3}+\frac{1}{a_{2012}+3} \)之和的整數部分

\( <x_n> \)正實數數列，\( \displaystyle x_1=\frac{3}{4} \)且滿足\( x_{k+1}^2=x_k^4+2x_3^3+x_k^2 \)，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{202}+1} \Bigg]\; \)
(101板橋高中，https://math.pro/db/thread-1366-1-1.html)

計算題7.
[]表高斯符號，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{\root 3 \of{1^2}+\root 3 \of{1 \times 2}+\root 3 \of{2^2}}+\frac{1}{\root 3 \of{3^2}+\root 3 \of{3 \times 4}+\root 3 \of{4^2}}+\frac{1}{\root 3 \of{5^2}+\root 3 \of{5 \times 6}+\root 3 \of{6^2}}+...+\frac{1}{\root 3 \of{999^2}+\root 3 \of{999 \times 1000}+\root 3 \of{1000^2}} \Bigg]\; \)之值
以上三題都可以在"我的教甄準備之路　裂項相消"找到更多類似題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

計算題2.
附圖是拋物線的一部分，Q為拋物線之對稱軸上的一點。
試利用尺規作圖的方法，找出此拋物線的焦點。(請作圖並寫出作法)
這裡有相關資料，我的教甄準備之路第10篇
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834(連結已失效)
h ttp://forum.nta.org.tw/examserv ... 230541&postcount=10(連結已失效)

作者: judochiou625 時間: 2012-5-21 19:42 標題: 回復 4# tsusy 的帖子

我當下也只做到這而已(對稱軸)，回來跟同事討論和上網查才知道後半段，1：2是同事給的方法，網路上是查到兩弦中點連線與拋物線之交點A，過A做平行一開始的弦會是該點切線，再來就光學性質。

作者: weiye 時間: 2012-5-23 19:44

彰化高中公佈題目跟答案了，感謝 ptt 網友 polipo 提醒。

小弟已將題目與答案以附加檔貼到本討論串的首篇了！：Ｄ

作者: Ellipse 時間: 2012-5-23 21:19

計算#5
\(\left[\matrix{
2012\times2013&2013\times2014&2014\times2015\cr
2013\times2014&2014\times2015&2015\times2016\cr
2014\times2015&2015\times2016&2016\times2017}\right]
\left[\matrix{x\cr y\cr z}\right]=\left[\matrix{1\cr 4 \cr 9}\right]\)，求\(x+y+z\)之值。

想對方向就很快,想錯方向就要做很久
\(2012*2013x+2013*2014y+2014*2015z=1\)---------------(1)
\(2013*2014x+2014*2015y+2015*2016z=4\)---------------(2)
\(2014*2015x+2015*2016y+2016*2017z=9\)---------------(3)

(2)-(1)得 \(\displaystyle 2013x+2014y+2015z=\frac{3}{2}\)----------------(4)
(3)-(2)得 \(\displaystyle 2014x+2015y+2016z=\frac{5}{2}\)----------------(5)
(5)-(4)得 \(x+y+z=1\)

作者: Ellipse 時間: 2012-5-23 22:04

計算最後一題
最後面的數據是否有問題
聽去考的老師說
當場有修正數據

作者: man90244 時間: 2012-5-23 23:41

想請教一下計算題第一題??????

作者: weiye 時間: 2012-5-24 00:01 標題: 回復 10# man90244 的帖子

計算作圖題第 1 題：
以\(O\)表坐標平面的原點。給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。以\(l(x)\)表示\(\overline{AB}\)長，求\(\Delta OAB\)中兩邊長比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值。
(請給出兩種解法：一種是微積分的方法、一種是幾何觀點的方法。)

微積分法：

\(l(x)=\sqrt{(x-4)^2+3^2}=\sqrt{x^2-8x+25}\)

令 \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{l(x)}=\frac{x}{\sqrt{x^2-8x+25}}\)

\(\displaystyle f\,'(x)=\frac{25-4x}{(x^2-8x+25)\sqrt{x^2-8x+25}}\)

解 \(f\,'(x)=0\)，可得 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\)

且當 \(\displaystyle x>\frac{25}{4}\) 時，\(f\,'(x)<0\)；

當 \(\displaystyle x<\frac{25}{4}\) 時，\(f\,'(x)>0\)

所以，當在 \(\displaystyle x=\frac{25}{4}\) 時，\(\displaystyle f(x)\) 有最大值 \(\displaystyle f(\frac{25}{4})=\frac{5}{3}\)。

幾何觀點法：

令 \(\displaystyle \angle AOB=\alpha, \angle OAB=\theta\)，則 \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5}\)

　　　　

且在 \(\triangle OAB\) 中，由正弦定理，可得

　　\(\displaystyle \frac{\overline{OB}}{\sin\theta}=\frac{\overline{AB}}{\sin\alpha}\)

　　\(\displaystyle\Rightarrow \frac{x}{l(x)}=\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}=\frac{\sin\theta}{\frac{3}{5}}\leq\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\)

可知當 \(\displaystyle \theta=90^\circ\) 時，\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}=\frac{5}{3}\) 為最大值。

註：這題是 2006 年指考數甲的考題

110.8.25補充
以\(O\)表坐標平面的原點，給定一點\(A(4,3)\)，而點\(B(x,0)\)在正\(x\)軸上變動。若\(l(x)\)表\(\overline{AB}\)長，則\(\Delta OAB\)中兩邊比值\(\displaystyle \frac{x}{l(x)}\)的最大值為　　　。(化成最簡分數)
(110蘭陽女中，https://math.pro/db/thread-3538-1-1.html)

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作者: 阿光 時間: 2012-5-24 12:36

想請教填充第4&6題,謝謝

作者: weiye 時間: 2012-5-24 14:07 標題: 回復 12# 阿光的帖子

填充第 4 題：
一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅板，正面為中獎，反面為沒中獎。獎品有四份，活動直到四份獎品都被抽中為止。則在排第六位的人可以抽獎的情況下，排第七位的人可以抽獎的條件機率為　　　。

設 \(A\) 表示第六位可抽獎的事件， \(B\) 表示第七位可抽獎的事件，

則

\(\displaystyle P(A)=P(\mbox{前五位沒人中獎})+P(\mbox{前五位恰一人中獎})+P(\mbox{前五位恰兩人中獎})+P(\mbox{前五位恰三人中獎})\)

　　\(\displaystyle =C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\)

　　\(\displaystyle =\frac{26}{32}\)

\(\displaystyle P(A\cap B)=P(\mbox{前五位中不超過兩人中獎，第六位有沒有中獎都可以})+P(\mbox{前五位恰有三人中獎且第六位沒有中獎})\)

　　\(\displaystyle =\left(C^5_0\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_1\left(\frac{1}{2}\right)^5+C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)\cdot1+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^5\cdot\frac{1}{2}\)

　　\(\displaystyle =\frac{21}{32}\)

所求機率＝\(\displaystyle P(B\Big|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{21}{26}.\)

作者: weiye 時間: 2012-5-24 14:45 標題: 回復 12# 阿光的帖子

填充第 6 題：
在一個七位數中，若每一出現的數字都至少出現兩次，就稱這種七位數是一個好數。例如：2222222和2223323都是好數，但是2222223和3456777都不是好數。則所有的七位數中，好數有　　　個。

七同 → \(9\) 種

五同兩同 → \(\displaystyle C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{5!2!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{5!1!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{4!2!} = 1701\)

　　　　　　註：分成「不含零」、「五同為0」、「兩同為0」

三同兩同兩同 → \(\displaystyle C^9_1C^8_2\frac{7!}{3!2!2!}+1\cdot C^9_2\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{2!2!2!}\right)+1\cdot C^9_1C^8_1\cdot\left(\frac{7!}{3!2!2!}-\frac{6!}{3!2!1!}\right) = 68040\)

　　　　　　註：分成「不含零」、「三同為0」、「兩同為0」

三同四同 → \(\displaystyle C^9_1C^8_1\cdot\frac{7!}{3!4!}++1\cdot C^9_1\frac{6!}{2!4!}+1\cdot C^9_1\frac{6!}{3!3!}= 2835\)

　　　　　　註：分成「不含零」、「四同為0」、「三同為0」

所求＝\(9+1701+68040+2835=72585\)

作者: jmfeng2001 時間: 2012-5-25 21:55

想請問各位老師,填充第8題該如做...一直想不到...謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-5-25 22:24 標題: 回復 15# jmfeng2001 的帖子

填充 8.
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[(n+2)(n+4)\ldots(n+2n)]^{\displaystyle \frac{1}{n}}=\)　　　。

這應該是老題目了，直覺就是取 log 黎曼和，作法如下

把 \( n = (n^n)^{\frac1n} \) 放進中括號 \( [..] \)

取 log 後，黎曼和轉成積分

作者: 老王 時間: 2012-5-25 22:42 標題: 回復 13# weiye 的帖子

在第六位可以抽的條件下，第七位不能抽的機率
\(\displaystyle \frac{\displaystyle C_3^5 \times (\frac{1}{2})^5 \times \frac{1}{2}}{P(A)} \)

作者: march2001kimo 時間: 2012-5-25 23:26 標題: 回復 2# judochiou625 的帖子

作對稱軸
可利用對稱及尺規作圖
以該點為圓心取適當長當半徑畫弧與拋物線的交點必對稱
再以此兩點作出其線段的中垂線
必過給定點且必為軸
後面就差怎樣找正焦弦

作者: hua77825 時間: 2012-5-27 21:46

不好意思，能否請教一下各位老師計算第七題。

上下同乘 A-B 分母都變成1之後就不知道怎麼下手了@_@

感謝。

作者: tsusy 時間: 2012-5-27 22:21 標題: 回復 19# hua77825 的帖子

[]表高斯符號，求\(\displaystyle \left[\frac{1}{\root 3 \of {1^2}+\root 3 \of {1\times 2}+\root 3 \of {2^2}}+
\frac{1}{\root 3 \of {3^2}+\root 3 \of {3\times 4}+\root 3 \of {4^2}}+
\frac{1}{\root 3 \of {5^2}+\root 3 \of {5\times 6}+\root 3 \of {6^2}}+\ldots+
\frac{1}{\root 3 \of {999^2}+\root 3 \of {998\times 999}+\root 3 \of {1000^2}} \right]\)之值。

看錯題目~~抱歉~~等等想想

承您所說，同乘可得

\( \left[ \sum\limits_{n=1}^{999} (\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}) \right] \)

之後相消即得 \( [ \sqrt[3]{1000}-1] = 9 \)
-----------------------------------------------------------------------------------------
上面雖然是錯的，但想法可用，就是把缺項補上

令 \( A=(\sqrt[3]{2}-1)+(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3})+\ldots+(\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{999}) \), \( B=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}+\ldots+\sqrt[3]{999}-\sqrt[3]{998} \)

則 \( A + B = 10-1 =9\)。把根號寫回分數，則 \( A,\, B \) 可逐項比大小有 \( A>B \) 且 \( A-(\sqrt[3]{2}-1)<B \) 可得 \( B<A<B+0.3 \)

所以 \( 2A-0.3<A+B=9<2A \)，得 \( 4.5 < A < 4.65 \)

因此 \( [A] =4 \)

以上，如有錯誤，麻煩指正

作者: weiye 時間: 2012-5-27 22:33 標題: 回復 19# hua77825 的帖子

計算作圖第 7 題：thepiano 老師解過了 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2816#p7601

作者: hua77825 時間: 2012-5-28 18:44 標題: 回復 21# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師，小弟太不細心了沒有去注意，感謝

作者: bluemo 時間: 2012-5-29 10:08

想請教填充第9題
謝謝~

作者: tsusy 時間: 2012-5-29 15:27 標題: 回復 23# bluemo 的帖子

已知\(x\)為實數，則\(\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+10x-24}\)的最大值為　　　。

先配方得 \( \sqrt{25-(x-4)^{2}}-\sqrt{1-(x-5)^{2}} \)

將之看作兩半圓之 \( y \) 坐標相減

而當 \( x=4 \) 時，第一個半圓 \( y \) 坐標有最大值，第二個半圓 \( y \) 坐標有最小值

\( x= 4 \) 代入得最大值 \( \sqrt{21} \)

作者: casanova 時間: 2012-5-29 16:56

引用:

原帖由 milkie1013 於 2012-5-21 01:46 PM 發表
想請教幾題:

填充1. 四面體ABCD
   其中AB長=4
         CD長=5
   AB到CD之距離為3
   求四面體體積=?

計算作圖2. 給定一拋物線,並給軸上一點,如何利用紙規作圖找出焦點

計算作題4.

   ...

校方公佈題目和答案說填充第一題條件不足無法解，請問要加什麼條件才能算呢？
又，請問該如何算呢？

作者: icetea 時間: 2012-5-29 20:59

想請問填充7該如何做

作者: tsusy 時間: 2012-5-29 21:21 標題: 回復 26# icetea 的帖子

填充 7.
若\(\displaystyle z_k=cos \frac{k\pi}{12}+i sin\frac{k\pi}{12}\)，其中\(k=0,1,2,\ldots,11\)；若\(\displaystyle \omega=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，則\(\displaystyle \sum_{k=0}^{11}|\;z_k-\omega|\;^2=\)　　　。

\( |z|^2 = z \cdot \bar{z} \)

用力的展開，合併項得

所求 \( = 24 - \sum \bar{z_k} \omega - \sum z_k \bar{\omega} = 24 - 2Re \sum z_k \bar \omega \)

而 \( Re \sum z_k \bar \omega = 2 + \sqrt{\frac32} + \frac{3}{\sqrt{2}} +\sqrt{3} \) (硬算) 代入得

\( 20 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} -3\sqrt{2} \)

作者: natureling 時間: 2012-7-9 16:53

變成lim e^{1/n ln [(1+2/n)(1+4/n).....]}
=e^{1/n [ln(1+2/n)+ln(1+4/n)+...]}
是積ln(1+2x)嗎@@..
感恩

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-25 10:24 PM 發表
填充 8.

這應該是老題目了，直覺就是取 log 黎曼和，作法如下

把 \( n = (n^n)^{\frac1n} \) 放進中括號 \( [..] \)

取 log 後，黎曼和轉成積分

作者: tsusy 時間: 2013-11-1 09:14 標題: 回復 28# natureling 的帖子

積 ln(1+x) 或 ln(1+2x) 皆可，以下補完算式

注意 \( \frac{1}{n}=(\frac{1}{n^{n}})^{\frac{1}{n}} \)，\( \frac{1}{n}\left[\prod\limits _{k=1}^{n}(n+2k)\right]^{\frac{1}{n}}=\left[\prod\limits _{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n})\right]^{\frac{1}{n}} \)，

取對數，變乘為加，\( \frac{1}{n}\ln\prod\limits _{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n})=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\ln(1+\frac{2k}{n}) \)，

上式為 \( \int_{0}^{1}\ln(1+2x)dx \) 之黎曼和，故其收斂至 \( \int_{0}^{1}\ln(1+2x)dx=\frac{3\ln3}{2}-1 \)。

故所求極限為 \( e^{\frac{3\ln3}{2}-1}=\frac{3\sqrt{3}}{e} \)。

作者: weiye 時間: 2013-11-27 22:43 標題: 計算第 3 題

空間中，\(x^2+y^2=3^2,z=0\)及\(x-z=0\)所圍成封閉區域的體積為何？

雖然 thepiano 老師已解，小弟幫朋友解完也順便放上來供參考。

圖片附件: n.jpg (2013-11-27 22:43, 96.22 KB) / 該附件被下載次數 5651
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2002&k=5268de3a935e43ba68b31b55207f7286&t=1732258764

作者: nianzu 時間: 2013-12-16 14:56 標題: 可以請教一下計算作圖第 6 題嗎? 謝謝!!

可以請教一下計算作圖第 6 題嗎?
謝謝!!

作者: thepiano 時間: 2013-12-16 15:41

bugmens 老師已有提示
https://math.pro/db/viewthread.p ... =1&authorid=210

作者: nianzu 時間: 2013-12-16 17:35 標題: 回復 32# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師提醒!
已解出!!!

作者: satsuki931000 時間: 2020-10-9 17:08

對於計算5 小弟有個問題請教

我第一眼的想法是發現t=1，2，3 三根和為6
為(t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^2 的三根
但這是一個2次方程頂多兩根
但如果把尾部的常數改成 1 8 27
即可用這方法搭配根與係數求出x+y+z

想請問的是如果是原題目的數字，是否就不能用上述的方法，只能用橢圓老師的方法
又或者是我有哪邊的細節沒考慮到

作者: bugmens 時間: 2020-10-10 11:15

你的觀察很敏銳
\((t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^2\)是一個二次方程式，卻有\(t=1,2,3\)三個根
代表原方程式是個恆等式，將原方程式重新整理成\((x+y+z)t^2+(\ldots)t+(\ldots)=t^2\)比較\(t^2\)係數可得\(x+y+z=1\)

把尾部的常數改成1,8,27
\((t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^3\)是一個三次方程式，三根為\(t=1,2,3\)
就不是恆等式了，此時才用根與係數求出\(x+y+z\)
同樣技巧的類似問題整理在這裡https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1944

若實數\(a,b,c\)滿足\( \displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1 \)，則\( a+b+c \)？(A)18　(B)24　(C)27　(D)30
也可以問上面題目要怎麼改才會變成用恆等式求\(a+b+c\)的值。

作者: satsuki931000 時間: 2020-10-10 11:32

感謝bugmens老師的指點豁然開朗

試著推導了一下常數為1 16 81 的情形
令t=1，2，3，d為
(t+2011)(t+2012)x+(t+2012)(t+2013)y+(t+2013)(t+2014)z=t^4 的四根
整理得t^4 -(x+y+z)t^2 +...t+...=0
由根與係數知d=-6
-(x+y+z)=-25
所以x+y+z=25 經過驗證相同

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