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標題: 101臺南二中 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2012-4-29 20:51     標題: 101臺南二中

以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 37分
取10名參加複試，錄取1名
49.48.46.46.42.42.38.38.38.37

其他，
30~35分 12人
20~29分 57人
10~19分 74人
0~9分   55人
缺考  3人

共計 211 人

附件: 101南二中.rar (2012-4-29 20:51, 183.59 KB) / 該附件被下載次數 18564
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1024&k=7fca84a8e9c9f43aab02df647b85cc6e&t=1713414027
作者: bugmens    時間: 2012-4-29 20:53

3.
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 4 \cr 3 & 2} \Bigg]\;  \)，且X、Y均為二階方陣，滿足\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1}\Bigg]\;  \)，\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，\( aX+bY=A \)，其中\( a>b \)，a、b為常數，則\( X^n= \)？
(91高雄女中指定科目模擬考(三)，RA531.pdf)
[解答]
(1)
\( \displaystyle \cases{aX+bY=A \cr X+Y=I} \)，得\( \displaystyle X=\frac{1}{a-b}(A-bI) \)，\( \displaystyle Y=\frac{1}{a-b}(aI-A) \)
又\( XY=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0}\Bigg]\; \)，得\( \displaystyle \frac{1}{(a-b)^2}(A-bI)(aI-A)=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
∵\( a-b>0 \)　∴\( (A-bI)(aI-A)=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)，
\( \Bigg[\; \matrix{1-b & 4 \cr 3 & 2-b} \Bigg]\; \Bigg[\; \matrix{a-1 & -4 \cr -3 & a-2} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
\( \Bigg[\; \matrix{a+b-13-ab & 4(a+b)-12 \cr 3(a+b)-9 & 2(a+b)-16-ab} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{0 & 0 \cr 0 & 0} \Bigg]\; \)
\( \cases{a+b-13-ab=0 \cr 4(a+b)-12=0} \)，得\( (a,b)=(5,-2) \)或\( (-2,5) \)(不合)
(2)
將\( (a,b)=(5,-2) \)代入\( \displaystyle X=\frac{1}{a-b}(A-bI)=\frac{1}{a-b}\Bigg[\; \matrix{1-b & 4 \cr 3 & 2-b} \Bigg]\;=\frac{1}{7}\Bigg[\; \matrix{3 & 4 \cr 3 & 4} \Bigg]\; \)
又\( X+Y=\Bigg[\; \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \Bigg]\; \)．兩邊同乘X，\( X^2+XY=X \)，得\( X^2=X \)，所以\( X^n=X=\Bigg[\; \matrix{\frac{3}{7} & \frac{4}{7} \cr \frac{3}{7} & \frac{4}{7}} \Bigg]\; \)

102.8.10補充文章
林倉億，從一題矩陣的試題談起

110.8.2補充
設\(A=\left[\matrix{1&-1\cr 2&4}\right]\)，且\(X\)，\(Y\)均為二階方陣，滿足\(X+Y=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，\(XY=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)，若\(aX+bY=A\)，其中\(a>b\)，\(a,b\)為定值，試求
(1)數對\((a,b)=\)？
(2)\(X^{2021}-Y^{2021}=\)？
(110竹東高中，https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)

112.7.1補充
設\(A=\left[\matrix{2&4\cr 1&-1}\right]\)，二階方陣\(X\)、\(Y\)滿足\(X+Y=I\)且\(XY=O\)，其中\(I=\left[\matrix{1&0 \cr 0&1}\right]\)、\(O=\left[\matrix{0&0\cr 0&0}\right]\)。若存在實數\(a>b\)使得\(A=aX+bY\)，則\(a^b\)之值為　　　。
(112嘉義女中，https://math.pro/db/thread-3767-1-1.html)

6.
將\( (x-2y+3z-4u)^{40}-(x+2y-3z-4u)^{40} \)展開後並將同類項合併，則會有幾種不同類項？

將表示式\( (x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006} \)展開並合併同類項，試問化簡後共有多少項?
(A)6018　(B)671,676　(C)1,007,514　(D)1,008,016　(E)2,015,028

The expression \( (x+y+z)^{2006}+(x-y-z)^{2006} \)is simplified by expanding it and combining like terms. How many terms are in the simplified expression?
(A)6018　(B)671,676　(C)1,007,514　(D)1,008,016　(E)2,015,028
(2006AMC12，95和美高中，http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2006)

112.7.25補充
將\((a-2b+3c-4d)^{20}-(a+2b-3c-4d)^{20}\)展開後合併整理，最後會有　　　種不同類項。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

7.
\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(高斯符號)，試求\( [\; (\sqrt{3}+1)^8 ]\;= \)？

大於\( (\sqrt{3}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數為何？
(建中通訊解題第39期)

若n是大於\( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^6 \)的最小整數，試求n之值？
(100高師大附中代理，https://math.pro/db/thread-1286-1-1.html)

8.
\( x_i \)為整數且\( -1 \le x_i \le 2 \)，\( x_1+x_2+...+x_{2012}=19 \)，\( x_1^2+x_2^2+...+x_{2012}^2=219 \)，若\( x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3 \)最大值為M，最小值為m，則數對\( (M,m) \)為何？
這裡還有相同類型的題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=980&page=1#pid2322

計算證明題
2.
z為複數，試解方程式\( (z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=-3570i \)

設方程式\( z(z+i)(z+3i)=2002i \)有一根為\( a+bi \)，其中a,b皆表正實數，試求a之值為？
(A)\( \sqrt{118} \)　(B)\( \sqrt{210} \)　(C)\( 2\sqrt{210} \)　(D)\( \sqrt{2002} \)　(E)\( 100\sqrt{2} \)
(2002AMC12)

3.
設△ABC為任意三角形，以\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)各為一邊向外作一正三角形，分別為△ABD、△BCE、△CAF。證明：△ABD、△BCE、△CAF的重心\( G_1 \)、\( G_2 \)、\( G_3 \)形成的三角形為正三角形。
拿破崙定理，書上看過但不會想到要準備這題

附件: 補充資料.rar (2012-4-30 07:48, 234 KB) / 該附件被下載次數 15924
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1032&k=553588c436f8ba1c3c0a167f42204a8c&t=1713414027

附件: 從一題矩陣的試題談起.pdf (2013-8-10 08:51, 142.11 KB) / 該附件被下載次數 13765
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1933&k=d23350b2ae5459fc4a71b15f46298550&t=1713414027
作者: poemghost    時間: 2012-4-29 22:53

那些年我們一起考的教甄  XDD


同事考完有打電話問我

填充1我是用tan的和角公式，先轉成特殊角，150、30
然後就只剩 tan1 而已，化簡一下就可以得到

我另一位同事用偷吃步，因為三個角相差60度，
所以答案應該是固定的，所以他把題目的三個tan換成 tan120、tan60、tan0，
果然答案還是一樣 = =!!

這一題格式太特殊，我想應該還有別的漂亮解法(如根與係數、變換…等等)


計算證明題3
目標：三角形的三邊長相等
方法摘要：利用「餘弦定理」、「cos的和角公式」、「三角形的面積公式absinC/2」
　　　　　就可以求出 \(\LARGE x^2=y^2=z^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{6}+\frac{2\sqrt{2}Area(ABC)}{3}\)
　　　　　其中 x,y,z 表示要證的三角形G1G2G3的三邊長， a,b,c 表示三角形 ABC 的三邊長

細節我就不寫了，但其實過程會蠻漂亮
不過我想應該還有其它方法，再想過吧 ^^
作者: t3712    時間: 2012-4-29 22:55

今年的考試難度好像都提高了，分數蠻驚人的。囧
作者: Ellipse    時間: 2012-4-30 00:30

計算2
求(z+1+10i)(z+1+11i)(z+1+13i)=-3570i 的解
因為3570=14*15*17
原式改為[(z+1-4i)+14i]*[(z+1-4i)+15i]*[(z+1-4i)+17i]=-3570i
令x=z+1-4i ,即求(x+14i)*(x+15i)*(x+17i)=-3570i的解
展開後得x^3+46i*x^2-703x-3570i= -3570i
x(x^2+46i*x-703)=0
x=0或x=-23i+174^0.5 或 -23i-174^0.5
還原z=-1+4i 或 -1-19i +174^0.5或 -1-19i -174^0.5
作者: Ellipse    時間: 2012-4-30 00:34

引用:
原帖由 poemghost 於 2012-4-29 10:53 PM 發表
那些年我們一起考的教甄  XDD


同事考完有打電話問我

填充1我是用tan的和角公式，先轉成特殊角，150、30
然後就只剩 tan1 而已，化簡一下就可以得到

我另一位同事用偷吃步，因為三個角相差60度，
所以答案應該是固定的，所以 ...
計算3可以用複數做~
作者: andyhsiao    時間: 2012-4-30 10:33

第10題96政大附中第6題
(1)原式
(2)x用(x-1)/x代
(3)x用-1/(x-1)代
(三式相加)/2-(2)可得f(x)
作者: sweeta    時間: 2012-4-30 12:46     標題: 填充九

第九題我提供一下我的想法

整理過程有用到三倍角 & 和角公式

原諒我比較懶惰    直接上傳計算過程的圖檔

也許有其他作法　也歡迎提出來一起討論

圖片附件: DSC01639.JPG (2012-4-30 12:46, 38.67 KB) / 該附件被下載次數 12558
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1033&k=433890b4d170a856c02c596ec4d75cd5&t=1713414027

作者: justhgink    時間: 2012-4-30 19:46

請問有人能提供全部的答案嗎?雖然有一兩題題目"比較"簡單~但自己算完還是很不確定怕怕的>"<
作者: arend    時間: 2012-5-1 00:52

請教計算第一題

我是設FD=x, EB=y , 用餘弦定理,或和角
一直做不出來
試了很多方法,就是差一步



謝謝
作者: 老王    時間: 2012-5-1 19:44

引用:
原帖由 arend 於 2012-5-1 12:52 AM 發表
請教計算第一題

我是設FD=x, EB=y , 用餘弦定理,或和角
一直做不出來
試了很多方法,就是差一步



謝謝
\(\displaystyle (5-x)^2+(5-y)^2=16 \)

\(\displaystyle 50-10(x+y)+(x^2+y^2)=16 \).............(1)

令\(\displaystyle \angle {DCF}=\alpha , \angle {BCE}=\beta \)

\(\displaystyle \tan \alpha =\frac{x}{5}, \tan \beta =\frac{y}{5} \)

\(\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\tan(90^o-\angle{ECF})=\cot \angle{ECF} \)

\(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{5}+\frac{y}{5}}{\displaystyle 1-\frac{xy}{25}}=\frac{4}{3} \)

\(\displaystyle 15(x+y)=100-4xy \)...........(2)

再令\(\displaystyle P=x+y,Q=xy \)
(1) => \(\displaystyle 50-10P+P^2-2Q=16 \)
(2) => \(\displaystyle 15P=100-4Q \)

\(\displaystyle 50-10P+P^2-50+\frac{15}{2}P=16 \)

\(\displaystyle 2P^2-5P-32=0 \)

\(\displaystyle P=\frac{5+\sqrt{281}}{4} \)

所求為\(\displaystyle 25-\frac{1}{2}(5x+5y+25-5x-5y+xy)=\frac{1}{2}(25-Q)=\frac{15}{8}P=\frac{75+15\sqrt{281}}{32} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-5-1 07:47 PM 編輯 ]
作者: arend    時間: 2012-5-1 21:11

引用:
原帖由 老王 於 2012-5-1 07:44 PM 發表

\(\displaystyle (5-x)^2+(5-y)^2=16 \)

\(\displaystyle 50-10(x+y)+(x^2+y^2)=16 \).............(1)

令\(\displaystyle \angle {DCF}=\alpha , \angle {BCE}=\beta \)

\(\displaystyle \tan \alpha =\)...
謝謝王老師

我是算到(2)就卡住了

再次感謝你
作者: 老王    時間: 2012-5-1 21:44

填充一
\(\displaystyle \tan(149^o-29^o)=\frac{\tan149^o-\tan29^o}{1+\tan149^o \tan29^o} \)

\(\displaystyle \tan149^o \tan29^o=-1-\frac{1}{\sqrt3}(\tan149^o-\tan29^o)=-1+\frac{1}{\sqrt3}(\tan29^o-\tan149^o) \)

同法可得
\(\displaystyle \tan89^o \tan149^o=-1+\frac{1}{\sqrt3}(\tan149^o-\tan89^o) \)

\(\displaystyle \tan89^o \tan29^o=-1+\frac{1}{\sqrt3}(\tan89^o-\tan29^o) \)

所以
\(\displaystyle \tan149^o \tan29^o+\tan89^o \tan149^o+\tan89^o \tan29^o=-3 \)
順便PO一下今天監考算的東西，有錯要說，我很容易算錯的。

2.  7

4. \(\displaystyle \frac{364}{729} \)


5.  \(\displaystyle \frac{3\sqrt3}{32} \)


6. 6160


7. 3103


8. (253,19)


10. \(\displaystyle -\frac{99}{100} \)


話說計算第三題拿破崙三角形，那是我的幾何講義裡面，用來講極端化和特殊化的例子。
作者: justhgink    時間: 2012-5-1 22:52

感恩您~ 想請問填充6有沒有比較簡單的想法呢?
還是都是要一個個討論呢?~
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-1 23:20     標題: 回復 14# justhgink 的帖子



填充6
懶,因此 省略所有項的係數

\( [(x-u)-(y-z)]^{40} - [(x-u)+(y-z)]^{40} \)

去掉中括號後

小括號外 偶次項對消 僅餘奇次項
\( =(x-u)^{39} (y-z)^1 + (x-u)^{37} (y-z)^3 + (x-u)^{35} (y-z)^5 + ... +(x-u)^1 (y-z)^{39} \)

項數
= 40*2 + 38*4 + 36*6 +... + 2*40
= \( \displaystyle \Large\sum_{k=1}^{20} \left[ (42-2k)(2k) \right] \)
=6160
作者: Ellipse    時間: 2012-5-2 00:18

引用:
原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-1 11:20 PM 發表

又一位高手出現了

彬爸是"彬爸珍媽部落格"裏面的彬爸嗎?

Math pro的高手越來越多了喔~
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-2 06:30     標題: 回復 16# Ellipse 的帖子

是 彬爸
但稱不上 高手

還請多指教

很惋惜 全教會 教甄論壇 走入歷史
很高興 發現這裡
感謝 瑋岳站長
作者: poemghost    時間: 2012-5-2 13:47

引用:
原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-2 06:30 AM 發表
是 彬爸
但稱不上 高手

還請多指教

很惋惜 全教會 教甄論壇 走入歷史
很高興 發現這裡
感謝 瑋岳站長
吉彬老師 ^^？
作者: Ellipse    時間: 2012-5-2 14:08

引用:
原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-5-2 06:30 AM 發表
是 彬爸
但稱不上 高手

還請多指教

很惋惜 全教會 教甄論壇 走入歷史
很高興 發現這裡
感謝 瑋岳站長
彬爸您好,您太謙虛了
您到這網站來是大家的福氣
小弟也很懷念全教會的教甄論壇
不過那時候小弟的能力就只能當觀眾而已
作者: 老王    時間: 2012-5-2 15:43     標題: 回復 15# cplee8tcfsh 的帖子

我的作法跟彬爸一樣。

我以為你知道這個地方~~
作者: 阿光    時間: 2012-5-2 19:43

想請教填充第4,5題和計算第3題
作者: hua0127    時間: 2012-5-3 09:13

引用:
原帖由 阿光 於 2012-5-2 07:43 PM 發表
想請教填充第4,5題和計算第3題
填充第四題:
先算出先擲的一方獲勝的機率為 2/3 ,  輸的機率為1/3
另P(n)為甲第n局獲勝的機率，
則可得到一個遞迴式 P(n)=(1/3)P(n-1)+(2/3)(1-P(n-1))
可解出 P(n)=(1/6)*(-1/3)^n-1
帶入P(6)=364/729

想法若有瑕疵也煩請大家指教，謝謝。
作者: 喬峰    時間: 2012-5-3 11:00

第五題做法,按照題意即可

圖片附件: IMAG0197.jpg (2012-5-3 11:19, 237.51 KB) / 該附件被下載次數 7409
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1039&k=dedac3e23a3b032f150484d26dac89a6&t=1713414027

作者: weiye    時間: 2012-5-3 12:15     標題: 回復 21# 阿光 的帖子

填充第五題：

思考一：看起來很像旋轉矩陣，就當旋轉矩陣來玩看看好了。

解答一：



如圖，令 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}, \sin\theta=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\)，其中 \(0^\circ<\theta<90^\circ\)

則 \(\displaystyle M=\cos\theta\left[\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right]\)

（註：以原點為中心逆時針旋轉 \(\theta\) 且伸縮為原來的 \(\cos\theta\) 倍）

畫出下圖：



其中



因此我們要求的面積＝\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\sin\theta\cdot\sin\left(180^\circ-\theta\right)=\frac{1}{2}\cos\theta\sin^3\theta\)

由算幾不等式，可得

\(\displaystyle\frac{\cos^2\theta+\frac{1}{3}\sin^2\theta++\frac{1}{3}\sin^2\theta++\frac{1}{3}\sin^2\theta}{4}\geq\sqrt[4]{\cos^2\theta\left(\frac{\sin^2\theta}{3}\right)^3}\)


化簡後，可得所求三角形面積的最大值為 \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{32}.\)



思考二：咦，剛剛的過程雖然包裝成三角函數，

　　　　可是也只是方便算面積而已呀，沒有用到什麼三角函數的特別性質，

　　　　而且最後還是透過算幾不等式，

　　　　也就是如果一開始就硬做＋算幾，應該也可以呀。

解答二：

如同前篇回覆，先算出 \(P_1,P_2,P_3\)，再算 \(\displaystyle\triangle P_1P_2P_3=\frac{a^3}{2\left(1+a^2\right)^2}\)


可由算幾不等式得

\(\displaystyle\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}\right)\geq\sqrt[4]{\frac{1}{27}\frac{a^6}{(1+a^2)^4}}\)

\(\displaystyle\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{32}\geq\frac{a^3}{2(1+a^2)^2}\)

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作者: 阿光    時間: 2012-5-3 21:14

瑋岳大師的方法好酷喲，不知道誰能將計算第3題的方法仔細show 一下，謝謝。
作者: tsusy    時間: 2012-5-3 22:13     標題: 回復 25# 阿光 的帖子

剛剛暴力硬算，其實沒有很醜，只是之前一直不敢算

計算 3

令三個對應邊為 \( a,\, b,\, c\)，則 \(\overline{G_{3}C}=\frac{a}{\sqrt{3}}\), \( \overline{G_{2}C}=\frac{b}{\sqrt{3}} \), \( \angle G_{3}CG_{2}=\frac{\pi}{3}+C \)，

\( \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \), \( \sin C=\frac{2\triangle}{ab} \)，\( \cos(\frac{\pi}{3}+C)=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{4ab}-\frac{\sqrt{3}\triangle}{ab}\)

餘弦定理硬算 \( \overline{G_{2}G_{3}}^{2}=\frac{a^{2}}{3}+\frac{b^{2}}{3}-\frac{2ab}{3}\cos(\frac{\pi}{3}+C)=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}+\frac{2\sqrt{3}\triangle}{3} \)

對稱的，另兩邊也一樣，三邊相等，得證。
作者: cplee8tcfsh    時間: 2012-5-3 23:34     標題: 回復 25# 阿光 的帖子

換個方法暴力硬算

\(R=cos60^0+isin60^0\)
\(R^3=-1\)
\(R^2=R-1\)

\(3 \cdot G_1=A+B+D=A+B+B+(A-B)R=A(R+1)+B(-R+2)\)
\(3 \cdot G_2=B+C+E=B+C+C+(B-C)R=B(R+1)+C(-R+2)\)
\(3 \cdot G_3=C+A+F=C+A+A+(C-A)R=C(R+1)+A(-R+2)\)

\(3 \cdot (G_3-G_1)=A(-2R+1)+B(R-2)+C(R+1)\)
\(3 \cdot (G_2-G_1)=A(-R-1)+B(2R-1)+C(-R+2)\)

\(R \cdot 3 \cdot (G_2-G_1) \)
\(=A(-R^2-R)+B(2R^2-R)+C(-R^2+2R)\)
\(=A(-2R+1)+B(R-2)+C(R+1)\)
\(=3 \cdot (G_3-G_1)\)

\(R \cdot (G_2-G_1)=(G_3-G_1)\)
Q.E.D.
作者: arend    時間: 2012-5-4 15:38

引用:
原帖由 hua0127 於 2012-5-3 09:13 AM 發表


填充第四題:
先算出先擲的一方獲勝的機率為 2/3 ,  輸的機率為1/3
另P(n)為甲第n局獲勝的機率，
則可得到一個遞迴式 P(n)=(1/3)P(n-1)+(2/3)(1-P(n-1))
可解出 P(n)=(1/6)*(-1/3)^n-1
帶入P(6)=364/729

想法若有瑕 ...
請問hua0127老師


可解出  應該是
P(n)=(1/6)*(-1/3)^n+(1/2)

我算出是這樣


若乙第1局先擲,情況又會如何?
大家討論一下

謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-5-4 04:24 PM 編輯 ]
作者: tsusy    時間: 2012-5-4 18:52

引用:
原帖由 arend 於 2012-5-4 03:38 PM 發表

P(n)=(1/6)*(-1/3)^n+(1/2)

若乙第1局先擲,情況又會如何?
大家討論一下
\( n=1 \) 代入檢驗，就知道是否有錯

而乙先擲的情況，方法完全相同，甚至式子也幾乎沒有差別

何不自己試一下，順帶驗證，是否真的懂了，學會這個方法了

再由大家幫忙看看是否有錯誤，就行了

如果更懶一點，其實也有不重新計算的方法(甲、乙 對稱)
作者: tsusy    時間: 2012-5-4 19:03     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

看到第三題矩陣，完全沒有想過要像這樣硬解 \( X, Y \)

還好題目是問 \( X^n \)，才想到應該從特徵值下手

找 \( P \) 把 A 對角化，\( X,\, Y \) 做 Similar transfrom 的 \( X',\, Y' \)

這時候 \( X',\, Y' \) 滿足一樣式子，但是 \( A \) 被對角化，

所以用眼睛一看，就知道 \( X', \, Y' \) 是 \(\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\
0 & 0\end{array}\right) \) 和 \( \left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 1\end{array} \right) \)

接下計算 \( X^n \) 也因為那個 1 0; 0 0 怎麼乘不變，所以 \( X^n = X \)

中間的計算，就不做了，有興趣的自行完成
作者: arend    時間: 2012-5-4 21:16

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-4 06:52 PM 發表


\( n=1 \) 代入檢驗，就知道是否有錯

而乙先擲的情況，方法完全相同，甚至式子也幾乎沒有差別

何不自己試一下，順帶驗證，是否真的懂了，學會這個方法了

再由大家幫忙看看是否有錯誤，就行了

如果更懶一點，其實也有不重新計算 ...
tsusy老師

其實我這這問題
我是有先想一下

P(n)=(-1/3)^n-1*(-1/6)+1/2
變成乙先擲情況下,甲赢第6局的機率365/729

因就變成1-(甲先擲的機率)
到這裡我就沒有把握
所以上來請就一下

謝謝你
作者: tsusy    時間: 2012-5-4 22:17     標題: 回復 31# arend 的帖子

看起來沒什麼錯誤

如果把算過的式子，仔細一看，就會發現列的遞迴式根本是一模一樣

只有 \( P_1 \) 代的數字不同而已

另外，您也注意到了，這個機率其實和原本的相加等於 \( 1 \)

運用先前所說的對稱，乙先擲，乙贏第六局的機率

必然與甲先擲甲贏第六局的機率相同，也就是 \(  \frac{364}{729} \)

而沒人得勝，也是一直丟反面機率是 0，所以不是乙勝就是甲勝，

因此甲勝的機率 = 1 - 乙勝的機率

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-5 04:58 PM 編輯 ]
作者: natureling    時間: 2012-5-5 00:00

可以請教一下
遞迴式 P(n)=(1/3)P(n-1)+(2/3)(1-P(n-1))的意思嗎?

@@我的想法如下：不知卡在何處
第n局win=第(n-1)局win*第n局也要win+第(n-1)局lose*第n局win
為何不是
P(n)=P(n-1)*1/2*1/2        +     (1-P(n-1))*1/2
        第n-1局甲win                  第n-1局甲輸
        第n局換乙丟                   第n局換甲先丟
        因甲要win                       甲丟正面1/2即win
        故乙丟反面1/2
        換甲丟正面1/2


想法若有瑕 ...
作者: tsusy    時間: 2012-5-5 00:08     標題: 回復 33# natureling 的帖子

我想，只要問一個問題就好了

第一局甲贏的機率是多少？
是 \( \frac{1}{2} \) 嗎？
如果覺得是的話，再仔細看看題意，也許有所誤會題意了哦
作者: natureling    時間: 2012-5-5 00:23

想出了。題意的一局是指看誰先丟出正面，才一局結束。有可能輪流丟了1O多次才分出勝負，才算一局。故P（n)=第n-1局甲 Win*1/3（第n局.換乙先丟，沒丟正面，即甲先正）十第n-1局甲輸*2/3（表第n局甲先丟*甲先正面）.....@@這樣對嗎！？想了許久！唉！
引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-5 12:08 AM 發表
我想，只要問一個問題就好了

第一局甲贏的機率是多少？
是 \( \frac{1}{2} \) 嗎？
如果覺得是的話，再仔細看看題意，也許有所誤會題意了哦
[ 本帖最後由 natureling 於 2012-5-5 01:18 AM 編輯 ]
作者: arend    時間: 2012-5-5 01:04

引用:
原帖由 natureling 於 2012-5-5 12:23 AM 發表
是吔...第一局甲win...想法
一、甲先丟直接丟正面1/2 win....乙不用丟...這樣算一局
二、甲丟換乙丟....共有4種(++,+ -,-+,--)  這樣甲win機率(雖甲+乙也+,但甲先丟先win)也是2/4=1/2...
還是2個都錯....@@..感恩解 ...
我代 tsusy 老師回答

第1局甲贏的機率
甲(+),甲(-)乙(-)甲(+),...
1/2+(1/2)^3+.....=2/3
作者: natureling    時間: 2012-5-5 01:22

引用:
原帖由 arend 於 2012-5-5 01:04 AM 發表


我代 tsusy 老師回答

第1局甲贏的機率
甲(+),甲(-)乙(-)甲(+),...
1/2+(1/2)^3+.....=2/3
嗯~謝arend!
作者: shingjay176    時間: 2012-5-5 10:01     標題: 回復 33# natureling 的帖子

起初我也是犯了跟你一樣的錯誤，想說遞迴式沒寫錯吧。怎麼答案不一樣。原來是題目的意思解讀錯了。
作者: tsusy    時間: 2012-5-16 21:51     標題: 回復 24# weiye 的帖子

今天恰好和人討論了這份題目...重新又仔細思考之一下：關於填充 5

發現， \( P_2 \) 的軌跡是圓，而 \( P_3 \) 的軌跡是心臟線

瑋岳老師的圖中，將 \( P_3 \) 沿著 \( \overline{OP_2} \) 折過去得 \( P_4 \)

則 \( P_4 \) 在 x 軸上，且 \( \overline{P_2P_4} \) 垂直 x 軸




\( \triangle P_1P_2P_3 \) 和 \( \triangle P_1P_2P_4\) 同底等高，面積相同

列下來，當然是和瑋岳老師一樣的式子，但圖形上就很清楚了，就只是 \( P_2 \) 和半圓上移動

其對 \( x \) 軸投影 \( P_4 \) 和 \( P_1 \) 所圍出的直角三角形面積

如果把 \( \overline{P_2P_4} \) 延長成 \( \overline{P_2P_5} \) 讓 \( P_5 \) 在圓上

這時 \( P_1P_2P_5 \) 面積是所求的兩倍，但其為圓內接三角形，閉著眼睛也能猜出正三角時最大了！

(其實畫了會動的 ggb 但是要怎麼放上來？要轉 html嗎？還是...)
(感謝橢圓兄，可以放圖了)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-17 08:38 AM 編輯 ]

圖片附件: 101tainan.gif (2012-5-16 22:24, 948.92 KB) / 該附件被下載次數 9076
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1102&k=1e586e84de8ee26f1e958e02a1ad89e4&t=1713414027

作者: Ellipse    時間: 2012-5-16 21:56

引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-16 09:51 PM 發表
到檔案\匯出\動態GIF檔
就行了

P.S要用4.0以上才可以
作者: tsusy    時間: 2012-5-28 20:44     標題: 回復 8# sweeta 的帖子

很妙的替換方式，即使看過之後

再來做，一樣學不起來

來個很暴力的方法：分子分母先同乘 \( \cos 20^\circ \)，

令 \( x = \sin 20^\circ \), \( y =\cos 20^\circ \) 則 \(\displaystyle \frac{3-4x^2}{4y^2 - 1} =1 \)

所以原式 \(\displaystyle  = \frac{x}{2+y-4y^{2}}\cdot\frac{3-4x^{2}}{4y^{2}-1} \)

以三倍角公式 \(\displaystyle  3x-4x^3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( 4y^3 -3y = \frac12 \)

化簡得 \(\displaystyle  - \frac{1}{\sqrt{3}} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-31 08:03 PM 編輯 ]



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