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標題: 101中科實中（含計算1） [打印本頁]

作者: t3712 時間: 2012-4-7 21:43 標題: 101中科實中（含計算1）

今天下午去考的，計算題乘著還有印象先寫下來

(1)拋物線：\( y^{2}=4cx \) ，O為拋物線頂點，直線L與拋物線交於兩點A、B，且\(\angle AOB=90^\circ\) ，證明：L必過P(4c,0) [七分]

(2)過P(2,1)做直線L交拋物線：\(y=\frac{1}{5}x^{2} \)於A、B兩點，且\(\angle AOB=90^\circ\)，求L方程式。[三分]

(1)我是利用參數式，假設\(A(ct^{2},2ct)\)、\(B(cs^{2},2cs)\)，然後用OA垂直OB得到t與s的關係，再用兩點式寫出L的方程式，y=0帶入解出x=4c，得證。

(2)就是利用(1)的結果，將數字代入。

[weiye 於 101.04.08, 18:23 附加上中科實中公布的試題與解答]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=990&k=7ad46b8a3ef91c57c298aa2a594d0aa9&t=1732250192

作者: tsusy 時間: 2012-4-7 22:28

題目分配總數：一. 單選題 10 題二. 填充題 15 題三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題

如圖，滿足 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} + \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} + \frac{\overline{CG}}{\overline{GF}} =2012 \)

求 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} \cdot \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} \cdot \frac{\overline{CG}}{\overline{GF}} \)

編號的字母可能不太一樣

填充 1x

\( a,\, b>0\) (印象中)

\(A=\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab}\), \(B=\sqrt{49+a^{2}-7\sqrt{20}}\), \(C=\sqrt{64+b^{2}-8\cdot\sqrt{3}}b\)求 \(A+B+C\) 的最小值。

註：猜測題目的 \(C\) 打錯了，裡面應該有 \(a\)，改成 \(\sqrt{49+a^{2}-7\cdot\sqrt{2}a}\) 可能是原本正確的題意。

填充 1x
\( f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})^{11}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{44}x^{44}\)，求 \(a_{6}\)。

填充 x (超眼熟的題目，考前一天做100基隆高中，才做到)

\( f(x) \) 是一個 98 次多項式，且滿足 \( f(n) =\frac{1}{n}\), \( n=1,2,3,\ldots, 99 \)，求 \( f(100) \)

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作者: Ellipse 時間: 2012-4-7 23:17

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-4-7 10:28 PM 發表
題目分配總數：一. 單選題 10 題二. 填充題 15 題三.計算題 1 題 (1)(2) 小題
填充15題

982

如圖，滿足 \( \frac{\overline{AG}}{\overline{GD}} + \frac{\overline{BG}}{\overline{GE}} + \) ...

填充15
右圖中，\(P\)為三角形\(ABC\)內部一點，已知\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}+\frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}+\frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}=2012 \)，試求\( \displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PD}}\times \frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}\times \frac{\overline{CP}}{\overline{PF}}= \)　　　。
[解答]
假設三角形PBC面積為a,PCA面積為b,PAB面積為c
依題意及三角形相似性質得(b+c)/a +(c+a)/b+(a+b)/c=2012
所求=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)
=[(b+c)/b][(c+a)/c][(a+b)/a]
=(1+c/b)(1+a/c)(1+b/a)
=(1+c/b+a/c+a/b)(1+b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+(c/b)(b/a)+(a/c)(b/a)+(a/b)(b/a)
=1+c/b+a/c+a/b+b/a+c/a+b/c+1
=2+(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c
=2+2012
=2014

作者: Ellipse 時間: 2012-4-7 23:25 標題: 回復 2# tsusy 的帖子

那題多項式f(x),會是求a_44 嗎?
很明顯a_44=1

作者: tsusy 時間: 2012-4-7 23:28 標題: 回復 4# Ellipse 的帖子

手殘，打錯，已修正，感謝！

作者: Ellipse 時間: 2012-4-7 23:54

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-4-7 11:28 PM 發表

可能可以用生成函數做
不過我用多項式來處理
假設展開後一般項為 [11!/(a!b!c!d!e!)] *(1)^a*(x)^b*(x^2)^c*(x^3)^d*(x^4)^e
且a+b+c+d+e=11,b+2c+3d+4e=6,其中a,b,c,d,e為非負整數.
可分(a,b,c,d,e)=(5,6,0,0,0) ,(6,4,1,0,0) ,(7,2,2,0,0) ,(8,0,3,0,0) ,(7,3,0,1,0) ,(8,1,1,1,0) ,(9,0,0,2,0) ,(8,2,0,0,1),(9,0,1,0,1)共九組
所求係數
=11!/(5!*6!) +11!/(6!*4!) +11!/(7!*2!*2!)+11!/(8!*3!)+11!/(7!*3!)+11!/8!+11!/(9!*2!)+11!/(8!*2!)+11!/9!
=7887

作者: ichiban 時間: 2012-4-8 01:22

我不會用網頁寫數學式子..所以用貼的..
先恭喜大家了..應該不會0分

可參詳99中壢一招的計算題

[ 本帖最後由 ichiban 於 2012-4-8 01:24 AM 編輯 ]

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作者: ichiban 時間: 2012-4-8 01:36

填充第14題
多項式\(f(x)\)，已知\( deg f(x)=98 \)，\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)\( (k=1,2,3,\ldots,99) \)，試求\( f(100)= \)　　　。
解法：
\( \displaystyle f(k)=\frac{1}{k} \)
\( kf(k)-1=0 \)
令\( F(x)=xf(x)-1 \)
我們已經知道\( F(x) \)為99次多項式且\( F(k)=0 \)，當\( k=1,2,3,\ldots,99 \)
所以\( F(x)=xf(x)-1=a(x-1)(x-2)\ldots (x-99) \)
\( \displaystyle F(0)=-1=a \cdot (-1)99 ! \Rightarrow a=\frac{1}{99} \)
\( \displaystyle F(100)=100f(100)-1=\frac{1}{99!}\cdot 99!=1 \)
\( 100f(100)=2 \)
\( \displaystyle f(100)=\frac{1}{50} \)

作者: bugmens 時間: 2012-4-8 04:56

9.
設a,b為正實數，\( A=\sqrt{a^2+b^2-\sqrt{2}ab} \)，\( B=\sqrt{49+a^2-7 \sqrt{2} a} \)，\( C=\sqrt{64+b^2-8 \sqrt{3} b} \)，則\( A+B+C \)之最小值？

\( \forall x>0,y>0 \)，\( \sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{y^2-3y+3}+\sqrt{x^2-\sqrt{3}xy+y^2} \ge \sqrt{6} \)
(99中壢高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371)

14.
f(x)為98次多項式，而\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{k} \)，當\( k=1,2,3,...,99 \)，求f(100)
(奧數教程　高一　第20講構造函數解題)
(100基隆高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108)

作者: t3712 時間: 2012-4-8 07:17

「中科實中中部科科第一」，相同字不相鄰有幾種排法？

走20階樓梯，每次只能走2階或是3階，不走第8階，但是要走第12階的走法有幾種？

作者: ichiban 時間: 2012-4-8 08:23

填充第13題
設有一階梯共有20階，每次只能走2階或3階，第8階階梯壞掉不能踩且必須踩上第12階的上樓方法數=　　　。

這是本來的題目嗎?
我好像眼拙,送他四分了...qq

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作者: tsusy 時間: 2012-4-8 09:12 標題: 回復 11# ichiban 的帖子

遞迴不難做，

但要注意第八項為 0，遞迴關係為 \( a_{n+3} =a_{n+1}+a_n \)

從 1-12 分別為 0,1,1,1,2,2,3,0,5,3,5,8

之後再做 13-20 0,1,1,1,2,2,3,4

其實和 1-12 一樣

所以答案是 \( 8 \times 4 =32 \)

但是我也眼殘，沒看到 20 ，印象中我只算到 12階

作者: mandy 時間: 2012-4-8 09:27

填充:袋中有號碼球120個 ,第ｉ號球有ｉ個, i= 1~15 , 取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
　　　(題目大概記的是這樣),

選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?

請問走樓梯的問題: 為什麼走到12階的方法數會等於走到20階的方法數一樣呢?

已修正題目,謝謝 !!

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-4-8 06:57 PM 編輯 ]

作者: t3712 時間: 2012-4-8 09:54

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-8 09:27 AM 發表
填充:袋中有1~120號球,第ｉ號球有ｉ個,取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
　　　(題目大概記的是這樣),

選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?

請問走樓梯的問題: ...

我記得是共有120顆球，第1號到第15號，第ｉ號球有ｉ個，其他同上。

這題我猜中位數，不知道對不對...XD

作者: Ellipse 時間: 2012-4-8 10:11

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-8 09:27 AM 發表
填充:袋中有1~120號球,第ｉ號球有ｉ個,取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
　　　(題目大概記的是這樣),

選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?

請問走樓梯的問題: ...

選擇第10題
求值：\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ}= \)？
(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \)　(B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)　(C)\( \displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{5} \)　(D)\( \displaystyle \frac{3}{4} \)　(E)\( \displaystyle \frac{5}{6} \)。
[解答]
\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ} \)
\( \displaystyle =\frac{cos 20^{\circ}+1}{2}+\frac{cos 100^{\circ}+1}{2}-\frac{1}{2}\left[ cos(40^{\circ}-80^{\circ})-cos(40^{\circ}+80^{\circ}) \right] \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}+cos100^{\circ}-cos40^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-(cos80^{\circ}+cos40^{\circ})}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-2cos60^{\circ} \cdot cos 20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-cos20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{4} \)

作者: tsusy 時間: 2012-4-8 10:21 標題: 回復 15# Ellipse 的帖子

回程的路上，想到，這題其實可以用立方和加三倍角公式做，如下

\(\displaystyle \cos^{2}10^{\circ}+\cos^{2}50-\cos50^{\circ}\cos10^{\circ}=\frac{\cos^{3}10^{\circ}+\cos^{3}50^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\cdot\frac{4\cos^{3}10^{\circ}+4\cos^{3}50^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\frac{4\cos30^{\circ}+4\cos150^{\circ}+3(\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ})}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{3}{4}\)

作者: tsusy 時間: 2012-4-8 11:57 標題: 回復 3# Ellipse 的帖子

實在厲害...
來補上自己的考試中未竟之功...考試中一直在想特殊化，用特例帶數字，但一直想正三角。

但其實直角三角形才會好算。

特例：令 \( A(0,0), B(2,0), C(0,2), D(1,1), G(t,t)\)， \( t \) 待決定，以滿足題目條件。

則邊長比積和可表示為 \(\displaystyle \frac{t}{1-t}+\frac{2-t}{t}+\frac{2-t}{t}=2012\)

整理成 \( \Rightarrow t^{2}+2(2-t)(1-t)=2012(1-t)t\Rightarrow2015t^{2}-2018t+4=0\)。

邊長比的積 \(\displaystyle \frac{(2-t)^{2}}{(1-t)t}=\frac{t^{2}-4t+4}{t-t^{2}}\times\frac{2015}{2015} \)

\(\displaystyle =\frac{2018t-4-8060t+8060}{4-3t}=\frac{-6042t+8056}{-3t+4}=2014 \)。

不過這樣的作法，也只能用在填充題上而已，有沒有更漂亮簡單的特例呢？

作者: 老王 時間: 2012-4-8 12:06

選擇10
以前PO過的作法
\(\displaystyle \cos^2{10^o}+\cos^2{50^o}-\cos{50^o}\cos{10^o} \)
\(\displaystyle =\sin^2{80^o}+\sin^2{40^o}-2\sin{80^o}\sin{40^o}\cos{60^o} \)
\(\displaystyle =\sin^2{60^o} \)

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作者: bugmens 時間: 2012-4-8 12:11

\( (cos10^o)^2+(cos50^o)^2-(sin40^o)(sin80^o)= \)？
(1991中國高中數學聯賽)
[解答]
改計算\( (sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o) \)
可以看成半徑為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)圓上的三角形ABC
\( ∠A=80^o \)，\( ∠B=40^o \)，\( ∠C=60^o \)
由正弦定理可知
\( \overline{BC}=sin80^o \)，\( \overline{CA}=sin40^o \)，\( \overline{AB}=sin60^o \)
由餘弦定理可知
\( \overline{AB}^2=\overline{BC}^2+\overline{CA}^2-2 \times \overline{BC} \times \overline{CA} \times cos60^o \)
\( \displaystyle (sin60^o)^2=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-2 \times sin40^o \times sin80^o \times \frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \frac{3}{4}=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o) \)

晚了一步

附件: 1991中國高中數學聯賽.rar (2012-4-8 12:46, 64.2 KB) / 該附件被下載次數 9509
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作者: t3712 時間: 2012-4-8 12:49

\( \Large{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\Huge{\frac{\frac{2x}{1-x^2}+\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}{1-\frac{2x}{1-x^2}\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}} \) 求x的最大值(x有給定範圍，忘記了sorry)

[ 本帖最後由 t3712 於 2012-4-8 05:33 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2012-4-8 14:41 標題: 回復 20# t3712 的帖子

應該只有給實數而已，因為右式其實是 \( tan \) 五倍角

另外 \( f(x)=(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})^{11} \) 這題，剛才想到一個美妙的辦法

補項，把 \( x^{5}+x^{6}+\ldots \) 補到括號裡。

那麼新的函數就是 \( \displaystyle\frac{1}{(1-x)^{11}}\)，以微分計算 \( x^{6} \) 係數

\(\displaystyle\frac{1}{6!}\frac{d^{6}}{dx^{6}}\frac{1}{(1-x)^{11}}=\frac{C_{6}^{16}}{(1-x)^{17}}=8008\frac{1}{(1-x)^{17}}\Rightarrow8008 \)

但補了之後，展開中會多出 \( x\cdot x^{5} \) 和 \( 1\cdot x^{6}\) 即 \(\displaystyle\frac{11!}{10!1!}+\frac{11!}{1!1!9!}=11+110=121\)

所以答案就是 \( 8008-121=7887\)。

作者: mandy 時間: 2012-4-8 17:02

引用:

原帖由 t3712 於 2012-4-8 12:49 PM 發表
\( \sqrt{3}=\Huge{\frac{\frac{2x}{1-x^2}+\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}{1-\frac{2x}{1-x^2}\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}} \) 求x的最大值(x有給定範圍，忘記了sorry)

等號左邊我記得是\(\frac{1}{\sqrt{3}} \)

作者: t3712 時間: 2012-4-8 17:34

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-8 05:02 PM 發表

等號左邊我記得是\(\frac{1}{\sqrt{3}} \)

感謝，已修正。

作者: ok_ok0987 時間: 2012-4-9 02:36 標題: 回復 21# tsusy 的帖子

請問
如何想成
n_1+..+n_11=6, 0≦n_i≦4 for all i
a_6=H(11,6)-C(11,1)H(11,1)=7887

作者: Pacers31 時間: 2012-4-9 09:05 標題: 回復 24# ok_ok0987 的帖子

11個括號，每個括號可提供 x 的次數為n_i次，i=1,...,11
n_i=0,1,2,3 or 4
依題意，n_1+...+n_11=6
所以共有H(11,6)種方法扣掉任一個先配5 (超過4) 的方法
即H(11,6)-C(11,1)H(11,6-5)

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2012-4-9 09:06 AM 編輯 ]

作者: mercury0826 時間: 2012-4-9 13:07

題目公佈囉

h ttp://www.nehs.tc.edu.tw/files/math(1).pdf　(連結已失效)

作者: weiye 時間: 2012-4-9 14:52 標題: 回復 10# t3712 的帖子

第 3 題：將『中科實中中部科科第一』十個字重新排成一列，若要求相同字不能相鄰，則排列數＝___________。答：24240

解答：

（任排）－（三個「中」當中至少有兩個「中」相鄰）－（三個「科」當中至少有兩個「科」相鄰）

　　＋（三個「中」當中至少有兩個「中」相鄰且三個「科」當中至少有兩個「科」相鄰）

　\(\displaystyle =\frac{10!}{3!3!}-2\left(\frac{9!}{3!}-\frac{8!}{3!}\right)+\left(8!-2\cdot 7!+6!\right)=24240\)

解說～

1. 三個「中」當中至少有兩個「中」相鄰　→　把兩個中綁在一起，與另一個「中」及其他字任排～

　但因為可能會有 "中中"+"中"～或 "中"+"中中"～重複計算～所以要扣掉三個中綁在一起的情況～

2. 三個「科」當中至少有兩個「科」相鄰　→　把兩個科綁在一起，與另一個「科」及其他字任排～

　但因為可能會有 "科科"+"科"～或 "科"+"科科"～重複計算～所以要扣掉三個科綁在一起的情況～

3. （三個「中」當中至少有兩個「中」相鄰且三個「科」當中至少有兩個「科」相鄰）

　＝（"中中","中","科科","科"及其他字任排）－（"中中中","科科","科"及其他字任排）－（"中中","中","科科科"及其他字任排）＋（"中中中","科科科"及其他字任排）

作者: t3712 時間: 2012-4-9 15:39 標題: 回復 27# weiye 的帖子

感謝瑋岳老師

對完答案之後，發現自己好多地方都算錯...Orz

然後有些考古題有看過，可是考試時還是腦袋一片空白...

作者: weiye 時間: 2012-4-9 19:49

單選第 4 題

幫朋友解完順便ＰＯ上來，臨時畫的圖，很醜！ＸＤ
（對了，這也是2011年指考數甲～的考題）

圖片附件: 未命名.png (2012-4-9 23:21, 43.32 KB) / 該附件被下載次數 5964
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作者: YAG 時間: 2012-4-9 20:03 標題: 回復 25# Pacers31 的帖子

11個括號，每個括號可提供 x 的次數為n_i次，i=1,...,11
n_i=0,1,2,3 or 4
依題意，n_1+...+n_11=6
所以共有H(11,6)種方法扣掉任一個先配5 (超過4) 的方法
即H(11,6)-C(11,1)H(11,6-5)

為什麼不要再扣掉任一個先配六的情況 ?

H(11,6)-C(11,1)H(11,6-5) -11

[ 本帖最後由 YAG 於 2012-4-9 08:22 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2012-4-9 20:34

填充第 8 題：

因為 \(1\leq x<2\)，所以 \([x]=1\)

且因為 \(2\leq 2x^2<8 \Rightarrow [2x^2]=2,3,4,5,6, \mbox{ 或 } 7\)

分成 6 種情況討論，

可以解 \(x\) 的一元二次方程式

解出來還要檢驗一下～

看是否滿足 \([2x^2]\) 等於該情況的值～與 \(1\leq x<2\)

可得只有 \(\displaystyle x=1, \frac{5}{4},\frac{3}{2}\) 會滿足題目的要求。

作者: weiye 時間: 2012-4-9 20:42

填充第 6 題：
一隻螞蟻在一個正四面體的某一個頂點A之上，此時它隨機選擇一個臨近的頂點(每個臨近的頂點B,C,D被選中的機率皆為\( \displaystyle \frac{1}{3} \) )，並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇一個臨近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動，那麼在n分鐘之後，它的位置恰好在頂點A的機率為？
[解答]

令 \(P(n)\) 表示「自某點出發，經過 \(n\) 分鐘之後，又回到該點的機率」。

則 \(\displaystyle P(1)=0, P(n)=1\cdot\left(\frac{1-P(n-1)}{3}\right)+0\cdot P(n-1),\forall n=2,3,4,\cdots\)

可將上列遞迴關係式改寫為 \(\displaystyle P(n)-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{4}\right)\)

再用累乘法，即可解得 \(\displaystyle P(n)=\frac{1}{4}+\left(\frac{-1}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{-1}{4}\right) \)。

說明：

自 \(A\) 點出發，經過 \(1\) 分鐘之後，必然停在 \(B,C,D\) 中的其中一點（三個機率各 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)，以下一起討論），

不失一般性，假設自 \(A\) 出發經 \(1\) 分鐘後停在 \(B\) 點，則

　　因為「自 \(B\) 點出發經過 \(n-1\) 分鐘後，還停在 \(B\)點的機率為 \(P(n-1)\)」

　　「自 \(B\) 點出發經過 \(n-1\) 分鐘後，不停在 \(B\)點的機率為 \(1-P(n-1)\)」

　　「自 \(B\) 點出發經過 \(n-1\) 分鐘後，停在 \(A,C,D\) 點的機率皆為 \(\displaystyle\frac{1-P(n-1)}{3}\)」

因此，

自 \(A\) 點出發，經過 \(n\) 分鐘後，停在 \(A\) 點的機率是 \(\displaystyle C^3_1\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1-P(n-1)}{3}\right)= 1\cdot\left(\frac{1-P(n-1)}{3}\right) \)

圖解：Ａ→〝Ｂ→其他→其他→‧‧‧→Ａ（非Ｂ）〞
　　　Ａ→〝Ｃ→其他→其他→‧‧‧→Ａ（非Ｃ）〞
　　　Ａ→〝Ｄ→其他→其他→‧‧‧→Ａ（非Ｄ）〞

Let A,B,C, and D be the vertices of a regular tetrahedron each of whoseedges measures 1 meter. A bug, starting from vertex A,observes thefollowing rule: at each vertex it chooses one of the three edgesmeeting at that vertex, each edge being equally likely to be chosen,and crawls along that edge to the vertex at its opposite end. Let \( \displaystyle p=\frac{n}{729} \) be the probability that the bug is at vertex A when it has crawledexactly 7 meters. Find the value of n.
(1985AIME第12題，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_12)

101.4.19補充相關問題
有一正八面體的骨架。假設從任一頂點出發走1步，可以走到相鄰的頂點，且從任一頂點走向各相鄰頂點的機率都是\( \displaystyle \frac{1}{4} \)。現從A點出發，試分別求出走了n步之後，會走到A點、B點或C點的機率。(用n的式子表示這三項機率)
(國立台灣大學數學系101學年度學士班甄選入學，連結已失效h ttp://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32]http://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32)

101.5.21補充
一隻螞蟻正保持在一個正四面體的某一個頂點A上，此時它隨機選擇一個鄰近的頂點(每個鄰近的頂點被選中的機率皆為\( \displaystyle \frac{1}{3} \))，並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇一個鄰近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動，那麼恰在30分鐘後，它的位置恰好在一開始起步之頂點A的機率是多少呢？(以指數表示，不必乘開)
(101台中二中，https://math.pro/db/thread-1367-1-1.html)

111.2.20補充
設動點\(P\)每一次自正四面體\(ABCD\)的一個頂點移至另一頂點的機率都是\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。現在\(P\)自\(A\)出發，移動4次又回到\(A\)且恰好經過一次\(B\)的機率為　　　。
(110高中數學能力競賽北一區筆試二，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

113.4.20補充
已知\(ABCD\)為正四面體，有一隻小蟲反覆在四個頂點之間移動，它從一個頂點爬行至另一頂點稱為一次，已知小蟲從一頂點爬行到任一相鄰頂點的機率均相同，今小蟲從\(A\)點開始出發沿稜線爬行至\(B\)、\(C\)、\(D\)其中一點，設\(a_n\)表示小蟲爬行\(n\)次後在\(A\)點的機率。可以寫出一般式\(a_n=\)　　　。
(113中山女中，https://math.pro/db/thread-3834-1-1.html)

作者: casanova 時間: 2012-4-9 23:30 標題: 回復 27# weiye 的帖子

請問weiye老師，若將題目改成下面這樣，該如何算呢？
將『中科實中中部科科第一』十個字重新排成一列，則相同字不能相鄰的機率＝___________。

作者: weiye 時間: 2012-4-9 23:39 標題: 回復 33# casanova 的帖子

引用:

原帖由 casanova 於 2012-4-9 11:30 PM 發表
請問weiye老師，若將題目改成下面這樣，該如何算呢？
將『中科實中中部科科第一』十個字重新排成一列，則相同字不能相鄰的機率＝___________。

多除一個分母 \(\displaystyle \frac{10!}{3!3!}\)

作者: Pacers31 時間: 2012-4-10 13:44 標題: 回復 30# YAG 的帖子

H(11,6-5)表示將剩下的1個讓11個括號去分的方法數

這當中也包括了原本已拿5個的那個括號再拿最後這一個（也就是得6）的方法

作者: t3712 時間: 2012-4-10 14:52

不好意思，還想請問單選9以及填充5，感謝老師。

單選第9題
設\( a,b,c \in \{\; 1,2,3,\ldots,9 \}\; \)，若\( \displaystyle \frac{699}{900}<0.a \overline{bc}<\frac{700}{900} \)，則\(a+b+c=\)？
(A)5　(B)13　(C)17　(D)20　(E)23。

填充第5題
設四次多項式\(f(x)=-x^4+x^3-x^2+x\)，選取積分區間\( a \le x \le b \)，使得定積分\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \)得到最大值，求此最大值為　　　。

作者: t3712 時間: 2012-4-10 15:23

單選2是98年學測的考題(選項A數字有改)

作者: weiye 時間: 2012-4-10 16:35 標題: 回復 36# t3712 的帖子

單選第 9 題：

\(\displaystyle 0.a\,\overline{bc}=\frac{100a+10b+c-a}{990}\)

\(\displaystyle  \frac{699}{900}=\frac{699\times11}{9900}=\frac{768.9}{990}\)

\(\displaystyle  \frac{700}{900}=\frac{700\times11}{9900}=\frac{770}{990}\)

因為 \(\displaystyle \frac{768.9}{990}<\frac{100a+10b+c-a}{990}<\frac{770}{990}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow 100a+10b+c-a=769\) 且 \(a,b,c\in\left\{1,2,\cdots,9\right\}\)

\(a=7\Rightarrow 100a+10b+c=769+7=776\Rightarrow b=7,c=6\)

\(\Rightarrow a+b+c=7+7+6=20\)

作者: weiye 時間: 2012-4-10 16:38 標題: 回復 36# t3712 的帖子

填充第 5 題：
設四次多項式\(f(x)=-x^4+x^3-x^2+x\)，選取積分區間\(a\le x \le b\)，使得定積分\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)得到最大值，求此最大值為　　　。

\(f(x)=-x^4+x^3-x^2+x=-x(x-1)(x^2+1)\)

可知『 \(f(x)\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1\)』

因此，\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\) 的最大值發生在 \(a=0,b=1\) 時，

此最大值為 \(\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{13}{60}.\)

109.6.7補充
設四次多項式\(f(x)=-x^4+2x^3-x^2+2x\)，選取積分區間\(a\le x \le b\)使得定積分\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)達到最大值，求此定積分的最大值　　　。
(109板橋高中，https://math.pro/db/thread-3343-1-1.html)

作者: weiye 時間: 2012-4-10 17:25 標題: 回復 39# weiye 的帖子

填充第 6 題，另解：

參考：https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

分子：\(n+1\) 個排成一直線的相鄰區域填入 \(A,B,C,D\) 四種顏色，相鄰塗異色，

　　首尾都要填Ａ（也就是首尾要接在一起，視為同一個區塊），

　　方法數＝\(\displaystyle\frac{1}{4}\left(3\cdot\left(-1\right)^n+3^n\right)\)

　　（套用：一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n　）

分母：\(n+1\) 個排成一直線的相鄰區域填入 \(A,B,C,D\) 四種顏色，相鄰塗異色，

　　　只有首位要填Ａ，其他位置任意塗色，只要相鄰塗異色就好，

　　方法數＝\(3^n\)

所求機率＝\(\displaystyle\frac{\frac{1}{4}\left(3\cdot\left(-1\right)^n+3^n\right)}{3^n}=\frac{1}{4}\left(\frac{(-1)^n}{3^{n-1}}+1\right)\)

ps. 如果還要再一個另解的話，還可以先寫轉移矩陣 \(T\)，再對角化，然後算 \(T^n\).......＝＝

作者: t3712 時間: 2012-4-10 18:34 標題: 回復 38# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師，我了解了。

作者: poemghost 時間: 2012-4-11 10:28

潛水這麼多天了
本來想說把詳解全部寫一寫後再一起貼上來
最後想想，很多簡單的題目應該不需要貼了
所以，我把一些跟其它前輩不一樣的解法貼出來
還有一些是版上未貼出詳解的題目一併貼出，與各位分享

因為我也受過很多版上前輩的幫忙
尤其是瑋岳學長
(其實他算是我「師兄」，我研究所上課的時候是上他的論文，哈哈 ^^!!)

所以雖然小弟實力微薄，但還是跟各位分享一些心血

【註：weiye 於 101.04.11 協助幫圖檔打包成附加檔案，以避免未來連結丟失。：Ｄ　感謝 poemghost 提供的漂亮解法！！】

附件: poemghost_nehs101.rar (2012-4-11 12:20, 640.1 KB) / 該附件被下載次數 9142
https://math.pro/db/attachment.php?aid=994&k=0fc4d8dea78581376adce219c678c43c&t=1732250192

作者: t3712 時間: 2012-4-11 14:10 標題: 回復 42# poemghost 的帖子

解的真的很漂亮

感謝您

作者: natureling 時間: 2012-4-11 23:34

真感恩多位協助解題的老師們，想請教填充11題，感恩

三次曲線\(y=x^3+ax^2+x+1\)，若由原點可作三條相異之切線，試求實數\(a\)的範圍為　　　。

作者: weiye 時間: 2012-4-11 23:40 標題: 回復 44# natureling 的帖子

填充第 11 題：

令 \(f(x)=x^3+ax^2+x+1\)，則 \(f\,'(x)=3x^2+2ax+1\)

設通過原點的切線與 \(y=f(x)\) 切於 \((x_0,y_0)\)

則 \(\displaystyle f\,'(x_0)=\frac{y_0-0}{x_0-0}\) 且 \(y_0=f(x_0)\)

\(\displaystyle\Rightarrow 3x_0^2+2ax_0+1=\frac{y_0}{x_0}\) 且 \(y_0=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)

\(\Rightarrow x_0\left(3x_0^2+2ax_0+1\right)=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)

\(\Rightarrow x_0\left(3x_0^2+2ax_0+1\right)=x_0^3+ax_0^2+x_0+1\)

\(\Rightarrow 2x_0^3+ax_0^2-1=0\)

令 \(g(x)=2x^3+ax^2-1\)，

\(g\,'(x)=6x^2+2ax=0\Rightarrow x=0\) 或 \(\displaystyle x=\frac{-a}{3}\)

依題意，可知 \(g(x)=0\) 有三相異實根，

所以，\(\displaystyle g(0)\cdot g(\frac{-a}{3})<0\)

\(\Rightarrow a>3.\)

相似類題：請參見 99台中二中填充第 5 題 https://math.pro/db/thread-934-1-1.html

作者: 老王 時間: 2012-4-13 09:03

填充題感覺上有很多都是高中數學競賽題，無聊去翻了一下，才發現
題充一，95年台中區筆試二第一題；
題充二，95年高屏區筆試二第三題；
題充六，95年台中區筆試一第一題；
題充七，95年台中區筆試一第二題；
題充八，95年高屏區筆試一第三題；

這......是出題老師正好做到95年份的嗎??
還有幾題也應該都在高中競賽裡面出現過。

比較想說的是填充八，原題是

設\( a \)為正整數，\( x \)為實數且滿足\( 1 \le x \le a \)，試求滿足方程式
\(\displaystyle 2x^2-[2x^2]=2(x-[x])^2 \)的解，其個數有多少?
(註表示不大於\( b \)的最大整數)。

這題參考解答給錯了，中科的出題者也有發現，所以改成求\( 1 \le x <2 \)的解，
如果犯跟高屏區相同的錯誤，就會寫出4個。

我的作法是:
令\( [x]=n \)，那麼\( x=n+\alpha \)
\( 2x^2=2n^2+4n\alpha+2\alpha^2 \)
再設\( M=[2x^2] \)
就要滿足\( 2n^2+4n\alpha+2\alpha^2-M=2\alpha^2 \)
\( 4n\alpha=M-2n^2 \in Z \)
但是\( 2\alpha^2=2x^2-[2x^2]<1 \)
所以在\( 1 \le x <2 \)只有\(\displaystyle \frac{4}{4},\frac{5}{4},\frac{6}{4} \)滿足。

至於一般情況，我用excel算了一下，發現沒啥規則，
或許這是個科展的好題目，但是我想那不是我能夠掌握的東西。

[ 本帖最後由老王於 2012-4-13 09:08 AM 編輯 ]

作者: pizza 時間: 2012-4-14 14:46 標題: 回復 6# Ellipse 的帖子

請問填充第10題有沒有比較不容易算錯的算法?
找出a+b+c+d+e=11,b+2c+3d+4e=6的非負整數解,很容易miss掉一些
不知道生成函數是怎麼做?
是像第3頁tsusy那樣做嗎? 怎麼想到的阿?

作者: weiye 時間: 2012-4-14 21:56 標題: 回復 47# pizza 的帖子

如 Pacers31 在第 25 篇的回覆，用 H 比較快。

作者: poemghost 時間: 2012-4-15 00:27

剛剛突然想到我貼的填充13中的第一階段應該是寫 \(f(12)-f(8)f(4)\) 才對

怕大家誤會只要扣掉 \(f(8)\) ，所以上來澄清一下 ^^

作者: johncai 時間: 2012-4-15 20:21

請教一個小地方
填充第一題
N點不算NQ線段與球面的交點嗎?
謝謝

作者: weiye 時間: 2012-4-15 20:40 標題: 回復 50# johncai 的帖子

算，

這是題目的小 bug.... 哈。

作者: WAYNE10000 時間: 2012-4-21 14:17 標題: 想請教選擇2

想請教選擇2
謝謝感激不盡

某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下：在 95%信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08 , 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的？
(A)甲地本次的參訪者中， 45%的人聽過該產品
(B)此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數
(C)此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%
(D)若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有95% 的機會落在區間[ 0.08 , 0.16 ]
(E)經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在 95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)

作者: poemghost 時間: 2012-4-22 16:14 標題: 回復 52# WAYNE10000 的帖子

98學測，多選第9題 ^^

作者: mcgrady0628 時間: 2012-4-22 20:22

考多久??

作者: 老王 時間: 2012-4-22 20:31 標題: 回復 52# WAYNE10000 的帖子

Google "我有95%信心說98學測數學第九題得分了嗎"

作者: chiang 時間: 2012-4-28 17:20 標題: 試題參考解答

將大家的精華收集其來
寫成自己看得懂的樣子~~
順便
希望有貢獻

附件: 101中科實中部分試題參考解答.pdf (2012-4-28 17:20, 1.38 MB) / 該附件被下載次數 11219
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1011&k=126ab41c9b0a4adc5ef28f542b738198&t=1732250192

作者: frombemask 時間: 2013-7-16 14:22 標題: 請教計算的證明

(證明沒有有理根那題)

要如何做分類呢?

作者: idontnow90 時間: 2014-3-17 23:44

想請教一下如果"中科實中中部科科第一"那題...
如果改成這樣AAABBCCDEF同字不相鄰
是否可以仿照之前poemghost老師的做法.分成
(1)"AAA" 相鄰
(2)"AA"相鄰與 "A"
(3) "A" , "A", "A"
然後討論把B或C插入
我做了..但答案不對?(正解:47760)

ps:這題是99文華..我有看到板上利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰
但只是覺得這兩題很像..不知道是否能用相同的做法一以貫之..
還請知道的老師不吝指教...謝謝^_^

作者: tsusy 時間: 2014-3-18 22:34 標題: 回復 58# idontnow90 的帖子

AAADEF 三A相鄰有 \(4!\) 種排法

AAADBEBF \(C_{2}^{5}\times1\)

AAADEFBB \(5\times0\)

AABADEFB \((2\cdot5)\times8\)

ABABADEF \(C_{2}^{2}\times C_{2}^{9}\)

AABBADEF \(2\times C_{2}^{2}\)

以上 \( \times \) 前方代表 2B 的插入方法數，後方則是2B插入後2C再插入的方法數

故此類有 AAADEF \(4!\times(10+80+36+2)=3072\)

AADEFA 2A相鄰但3A不相鄰 \(3!\cdot4\cdot3\)

AADEFBAB \(C_{2}^{6}\times8\)

AADEFABB \(6\times C_{2}^{2}\)

ABADEFAB \(6\times C_{2}^{9}\)

ABBADEFA \(1\times8\)

故此類有 \( (3!\cdot4\cdot3)\times(120+6+216+8)=25200 \)

ADAEAF \(3!\cdot C_{3}^{4}\)

ADAEAFBB \(7\times8\)

ADAEABFB \(C_{2}^{7}\times C_{2}^{9}\)

故此類有 \((3!\cdot C_{3}^{4})\times(56+21\cdot36)=19488\)

綜合以上三類共有 \(3072+25200+19488=47760 \)

以上做完，其實比取捨原理的麻煩多了

作者: idontnow90 時間: 2014-3-19 22:20

謝謝寸絲老師...看來這樣真的不是普通的複雜...

作者: jackyxul4 時間: 2015-3-13 01:55 標題: 回復 56# chiang 的帖子

抓個小錯誤
填充2：中位數介在10和11之間，應該要兩個都代進去比較比較準確。
而n=10，期望值為13/4；n=11，期望值為3，不是137/30
列式是對的，不過最後總合的地方有加錯

我倒覺得是這樣啦，不要用sigma的公式代，直接列出來乘比較快一些
上下相乘加總就好
\( \matrix{1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15 \cr 10&9&8&7&6&5&4&3&2&1&0&1&2&3&4} \)

作者: deca0206 時間: 2015-9-14 13:46 標題: 中科實中中部科科第一，同字不相鄰的計算方式

想請問"中科實中中部科科第一"同字不相鄰
即為AAABBBCDEF中AB同字不相鄰，答案是24240
我看過板上老師的解法，但想請問以下計算想法有何錯誤之處
(BBBCDEF任排且AAA插空)-(CDEF任排且"BB","B"插空後AAA插空)-("BBB"CDEF任排且AAA插空)
\(\frac{7!}{3!}\times C^{8}_{3}-4!\times P^{5}_{2}\times C^{7}_{3}-5!\times C^{6}_{3}=27840\)
感謝老師們指正

不好意思，剛才突然想到錯誤處，修正如下
(BBBCDEF任排且AAA插空)-("BB","B"CEDF任排且AAA插空)+("BBB"CDEF任排且AAA插空)
\(\frac{7!}{3!}\times C^{8}_{3}- 6!\times C^{7}_{3}+5!\times C^{6}_{3}=24240\)

作者: mathca 時間: 2015-12-11 22:01 標題: 回復 1# t3712 的帖子

請教選擇6，感謝。

將自然數1、2、3、4、5…依序刪去2的倍數、3的倍數、5的倍數，其餘次序不變，得一數列\( \langle\; a_n \rangle\;=\langle\; 1,7,11,13,17,19,\ldots \rangle\; \)，則\( a_{100}= \)？
(A)313　(B)343　(C)373　(D)403　(E)433。

作者: thepiano 時間: 2015-12-12 09:39 標題: 回復 63# mathca 的帖子

選擇第 6 題
1、7、11、13、17、19、23、29
31、37、41、43、47、49、53、59
......
看看第二行的每個數字和第一行的相對數字差多少，就會了

作者: mathca 時間: 2015-12-12 10:40 標題: 回復 64# thepiano 的帖子

感謝。

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